VII

d' = ba.

di'= ba,

eP—i.

Vlll'.

cl' -~ b.

dP=a^,

eP~ I.

IX'

(■-■zzza

ci'=a'"'.

dPzz:-b,

eP^zi.

cl' = b,

dP=ba'

On voit immédiatement que les types I, II, V, VI, VII, VIII, X, I', IV', VIlI', IX' ont le gy non abélicn \a, c, e\, que les types II, H', III' ont le gy non ahélien J h, d, e [, que le type V' a le g» non abélien { ha, ec, er/{. Nous allons voir que /es types restants : IV, IX, XI, vr, VIT ont tous leurs g^,'- •■ abétiens, c'est-à-dire que, pour chacun de ces types, un déterminant de

•^ 1} ■^ P J-^-^ tJiA^

h„ b;, yz'-zy'

est ^ o.

Pour le type IVMa matrice est on a

y y xz — zx

;si ses trois déterminants sontsso.

ce qui est impossible si G' n'est pas abélien.

Nj Nj' .tz'—zx'

on a

Pour le type IX la matrice est

; si ses trois déterminants sonts^^o.

xy'— yx' = N;( ^v::'— zy') — x(xz'— zx') = N v'( j z' — zy) — x'{xz'— zx') = o.

Si l'on n'a pas x.^p.yi;^o il faut x'^^^x, y' ^ 0/, z'^ 6g d'où x' — ^y^^EEo.o, incompatible avec riiypolhèse. Si l'on a x^y^o, donc - ^ o, x' ouy ^o, il faut x"^ — Ny^sso, incompatible avec l'hypothèse.

Le calcul est le même pour les types XI, la forme quadratique a?- — Ny étant remplacée

par X- -^ xy — \ (r""^' — i )j-.

4o I.ES GROUPES d'oRDRF, p''

Pour le type VI' la matrice est minants sont nuls, on a

y -\- z + xz y' œ-^-yz

; si ses trois déter-

{xy' + yx'){i -^ zz') + {z + z')(xx' + yy') + {y + y') zz' -{- xz' -^ zx' = o, z [{X + y)(x'^y) -- r'J + {x + y) z' + y'zz'^ o, s'[{x + y) (x' + y') + j ] + (^'+ /) ^ + j zz'^o.

En faisant successivement les deux hypothèses zz'^ei^i et zz'^eeo donc z -+- s'£=s i , on

trouve que ces trois équations ne peuvent être vérifiées que si les trois déterminants

sont =HEO.

Un calcul analogue donne le même résultat pour le type YH pour lequel la matrice

y-^xz y'-^x

de

est

xz'—zx'

.t-'+Z+j';' yz'—zy'

Figure (rsl)(lll).

20. Un g//"G de figure (rsi)(iii), r^s, a, en tenant compte des conditions d'automorphisme, des équations de la forme

ai'' = lj''' = cP=i, di'=v'<b^a'^, eP = et b'?' a""' , p' = ci' b^" a"^" , c'^(k'z=dc'bV-i''-'d'p'-\ /-' clf— ec^l/V-'/'-'d'-'i'"", f-'cf = ec''" b^''''^' a'"'''"'.

Si l'on pose

g=:feyd^, g' = f'eyd^\ ^/'z=:cfv6'V«V,

on trouve

g' g —/'■*'- ey'+y d^'+^ ( c'' W-i'"' «>-/'''^' Y'y ( d*' b^"''''"' «>■'/''"' )-^' - ( c''" bv-"''"' a''-"'''" ' )■>•% g-^ g'~\g g' = {c'' bt^p'~' a^p"''yy-y-'\c^' bV''''''' a*-'p"'')'^~'--^\c''" aV-'p''' d-''''''~')y-''~-y',

gii—yuZgiiy^HX ( cV 5li/''-' ^Xy»'-' )Exr ( c^'it*'/''-' «'>''^')S-r- ( c"'" bV-'P'^' d-'P""' fy- ;

kp—cux^oc'y-^ <x" z + t{\xy ~\- 1' xz + l" xy) p''-\ B/,— ^x +''^' y + j3"^ + E([J.xy + p.' xz H- p-" xy) p'-', C,,=:yx-^-y'y-+- y" z -i- i.{'jxy -h v' xz -+- v" xy ).

Un élément normal /"e^^^ étant défini par

).'d"-+- 1" y = ;x'x + iJ." y = -/x -h ^j" y = o,