x — V z :^ IX X IJ." z ^^'J X — v" z ^EaO
}. y ■+}.' z ^;^ ixy -h ix' z = v / + v' z ==o,
IIUIIIK (V*l)( I I I).
la condition de figure est que ces équations aient pour unique solution
Le changement £ de générateurs le plus général conservant la forme des é(|uations de G est de la forme
«, = c^ //1 aS, è, r-- c^ b'^^'aS'i'' ',
. pC"^r,-/'--V'>''
dt=z/-cyd-^c'/j''a'', et—/''ey'd''c''b'''a''', ft—/-"ey"d'="c'"0^"a"",
avec les conditions
trouvées en examinant successivement les différentes hypothèses que l'on peut faire sur/ et s. Du changement G résulte d'abord pour les exposants X. [t., v, A', u.', v', A", a", v" une transformation définie par
-h V, i" = >. ( j; )•' — y y ) + "/.' ( .1- z' — z .r' ) -t- /." ( y z' — z y' ), + v', r ^ À (.r y"-ya-") + V (j.- z" - z ," ) -^Y {y z" - z y"), + v; c" = >,(.r' j'" — y'x") + /.' (a-'s"— s'.c" ) -+- l'\y'z"— z' y" y,
+ v,r/' = |:i(x r'— >-x') + ,a'(.r ;';./')+ ,u" (j ='-; .v' ), + V, r/' ^ pL(^- /"- j ^•" ) -h p' ( .,■ ;"- = ,r" , + ,a"( / ^"- ; y" ), + v", r/'= pi(.î7'/'— r'.r") -h ,a' (./•';"— ;'.r") -t- ,a"( r'-' — -'/" );
)., ; /y- + ;a, Vp'-' + V, r' = V (.r / j ^.' ) + v' (xz' — z x' ) + v" (je'-; ,v' ),
/.; ï p'- ' + /jl', Ç'/y-' -h v', Ç" = V (x y"—y.r") -h •/ (.r
lA^p''
Proukr cas. — /-^i^i.
Si l'on a v :^v'=si v"ss o, on a nécessairement v,ssv', ss v", -:^o; et si l'on n'a pas v^Esv's^ v"^Eo, en prenant
on obtient v,E^v', ^5 O, v", seei.
En supposant v = v's^v"sso, on ne peut avoir [ji.;sEpi.'Ess[x"H^o, sans quoi le commutant serait cyclique; en prenant alors
.r=p." y=-lJ', z=iJ., r/r^iM.r'y''-yx")-^iJ.\.i'z"-z'.r")+iJ.'{y'z"-z'y")^.o,
LES GIIOLPKS
on ohliont u-
I. Soit donc jji, -- a = a', = a' = o, [x^=[J.\—\, donc 'tics formules (i) deviennent
>,iç -^.i-O.y' + 'l.' z'),
■Q.y"-y-'t.'z"), >,", ç + ç's^>.(.ry'— v'x")-4-/.'(.r;" — ,^^-") -H>,"(.r'^" — :;'.»•"):
la condition de figure étant alors A OU X'^o, on voit que l'on peut toujours faire A, = 0,
Kn supposant v, = v = v, = v'=^ o, v", = v"= i, donc jeïs = ^.o, ^"^sj';"— ::'y", on voit par un calcul analogue au précédent que l'on peut faire sur u., a', a" les deux hypothèses irréductibles Tune à l'autre
Si l'on a [j:, = (j. = a', = (j.'= \j1\ = u," =^ o, donc r]"^ o, comme la condition de figure est X ou X'^ o, on voit que l'on peut faire A, = o, \\ = i, a', = o. Si l'on a a, = a = o. a' = u.'= I, Y-\ — H-" = 0' donc='Hso, rj'^scc::", yj"EE:Ea;'^", on voit (fue l'on peut réduire A', À" à l'un des deux systèmes, irréductibles l'un à l'autre X, = 0,1, A', ^ A", = o.
En résumé, on peut toujours ramener les trois dernières équations de G à l'une de quatre formes, irréductibles l'une à l'autre,
e ' de =: d, ('-'de =z d,
/-hlf=da"'-', f-'e/=eb"-',
f-Ul/^da"'-', f-U'/=ec,
c-h/c = d, f-'d/=zdb>'-', f-'ef=ec,
e-'de = dai''-\ f-'dJ—dbp-\ f-'cj—ec.
On peut remarquer yu'az/cwn ^y» G de figure {rs\){\\\'), r'^s'^i n'a tous ses ^j,abéliens ; car il est toujours possible de trouver un gy«-. non abélien • A, g, g' \ = G' où l'on a D' = \gP, g", g~' g'~' gg'[ < A. En effet, les valeurs respectives de g~' g'"' gg' dan les quatre cas ci-dessus sont :
/,(yz'-zy')/,'-' „(x:-:x')j,'-' ^ ^yz'-zy ^(xz'^zx-fp'-' ^ ^y-J-zy [jlxz'-zx'),,'-' ^ (.yz'-zy' ^{xz'- :x')/)— ' (j(xy'-rr')/,'-'|
En formant le déterminant des exposants des générateurs de D', on voit que, dans \i premier cas, il est toujours esso et que, dans les trois autres cas, on peut le rendre sans faire G' abélien en prenant 7^37'?= o, xz' — zx' ^ o. Or on a vu (14) que, si c^ déterminant est sh o, on a D'<;A.
Deuxième cas. — r = * > i .
Comme dans le cas de /•>*, les formules (2) montrent que l'on peut toujours faire sur V, v', v" les deux hypothèses irréductibles l'une à l'autre
V,=ryzz:v, = V ~o,
rir.cr.i: (rs i )(i 1 1).
En supposant v = v' = v" = o, les trois dernières équations de G sont
('-^de = d(hV-a>y"\ f~' df :=. d{bV-' a'')i
Les déterminants de
n étant pas tous ïso, sans quoi le commutant serait
cyclique, il y a toujours un des trois générateurs tel (|ue le p. p. c. m. de ses commutateurs avec les éléments de G soit d'ordre/)-. Oésignons-le par/ en sorte que l'on a Vix"— tjL'X"3^o et que l'on peut prendre b^'a^' pour <7, h^"a^'" pour h. Si alors on prend /~'e pour e,y^r/ pour (/, on voit que les trois dernières équations de G sont ramenées à la forme
e--'de = d, f-Wl/^:dai''', f-'e/= ehi>'".
En supposant v, = v = v', = v' = o, v", = v"= i, doncj'ss: ^so, ^"^^^y'z" — z' y", les formules (i) et (2) montrent que l'on peut toujours faire V, = a", -= o, et si l'on a X'i = A"= a'i = u." = o il reste
7, ç -+- f/,r ^ .r(/.,y'+ ).' z'), l\ ; + ix\ £■ = .rO.y" + l' z"),
À,ri -H f^ir/= -f(lJ-y' -
l!r,~hiJ.\r/~j:-{ij.y" + lx"z"),
formules permettant de réduire toujoui's X, [i., V, v' non tous ^^o (condition de figure) à l'un des deux svslèmes, irréductibles l'un ii l'autre,
Kn résumé, les trois dernières é(juations de G peuvent toujours se réduire à l'une des trois formes, irréductibles l'une à l'autre,
e-' de = d, /-'df=^ dai''-', /-• ef = eb'''"',
e~^de = d, /-'df~ daP'~', f-'efr=ec,
e-^de=^da'''~', f-^ef - chi'"-', f-^ef=ec.
On peut remarquer ^\^x aucun g^jn défigure (rri)(iii), r^i, lï a tous ses g/,'"- abéliens, pour les mêmes raisons que précédemment.
Thoisième cas.
On voit sur les formules (2) et (3) ((u'il y a à distinguer deux cas, suivant que les
déterminants de
sont tous Li = o ou non. (La condition de figure exige qu'un
élément au moins de cette matrice soit ^ o.)
.f4 i.KS (;i\oi:i'Es d'oiuiuf: //'.
Supposons les trois délcrminants sso, choisissons e, /non permutables modlrtl et prenons c'"!)^" pour c, les trois dernières équations de G s'écriront
e-^de = c''d'i''~', f-^df~ c'''a'''''', /~'e/= c«'''''"' ;
en prcnant/'V'~'''r/ pour cl, ca'"''' ' pour c on les ramène ii la forme
e-' rfe = da>i>'-', /-' df ■= da'-'i'"' , f-'^ef=^ ec. '
l.c changement de générateurs le plus général conservant cette forme réduite doit vérifier
■f,"= o, V' = yz"— z'y", X'= '>■{-'■' f — y. r") 4- V {x' z" — z' r" ),
et fournit la transformation
l,i = xÇl.y'+Vz'\ l\'c~x{lf+-iJz").
La condition de figure étant X ou A'^o, on voit qu'on peut toujours faire X, = o, X', = I, d'où une première forme réduite des trois dernières équations de G
e-'de = d, f-'dj^daf'\ f-'efr^ec.
Supposons qu'un déterminant de
soit ^ o et choisissons d, e, /de manière'
que ce soit ij.'v"— Vit."; nous pouvons alors prendre c''' b^' a'' ''"' pour b, c''" h^" a'" ''' ' pour c, puis /V/ pour cl, f-v-e pour e, ce qui donne
- ' de = da?'i'"', /-' df = db, /-' ef=
ec.
Si le commutant est un gy on a X = o; si c'est un gy on a X^o et, en prenant a' pour a, on peut supposer A = i , D'où deux nouvelles formes réduites des trois dernières équations de G
e-^de=d, f-'d/=idb, f-'ef=ec,
e-'de = daP'-', /-'d/~db, /-'e/=ec.
Si l'on a e"' de = d,/~' df = da^"',/-' ef = ec, donc g'' g'-' g g' = c' ''-''' a-''''-'-'" »'"" ,7n
sorte que le déterminant des exposants des générateurs de D' est s à B,, h; o
,, . <^;. t:;, jz'-zj
on peut rendre ce déterminant = o et par suite (14) avoir D'< A sans que G' soit abélien en prenant j^^sj'eeeeo, j;;' — ^a;'£EEEo.
KiGUUF. (r*i)(ii i). 45
Si l'on a t~^de^daP'~\ f~^df^db, f-^ ef =^ ec, on obtiendra de même D'<::;A, G' non abélien en prenant s e^-'hso, xy' — yx' ^ o.
Si l'on a e^^de = d, f ^ df= db, f-^ ef= ec, donc g-' g'~' gg' — c^'-'^' b-^''-''-^' , le
. Si l'on n'a pas
déterminant des exposants des générateurs de D' est
C, C; yz'-zf
ai=a'sE5 0, 7."^ o, on peut rendre ce déterminant ^o et, par suite, avoir D'<; A sans (juc G' soit abélien en prenant A^^ss A'^ïeso, xz'—zx' ou yz' — zy'^o. Si l'on a aE^a'EEEO, a"^o, on a
.o,"[y{j,z'-zx'y+^'(yz'-zyf+{y'-^fi){ji-z'-zx'){fz'-zy)],
car on a toujours tzz'(z + z')(xy' -{-yx')^^o. Si la forme quadratique entre crochets est réductible, le déterminant peut être ^o et par suite D' peut être < A sans que G' soit abélien. Si la forme quadratique est irréductible, c'est-à-dire si l'on a
pour /? > 2, (;3 — y')^-i- 'r/JS' non carré, pour/; = 2, y = (3'= (3 4-"/'= I,
poui' tout gy» ' non abélien G', le déterminant est ^o, donc D' = A. Les types correspondants sont donc les seuls de figure (r^ i)(t 1 1) (a-^j, r>> i) dont tous les ^y"' soient abéliens. Nous allons les déterminer.
21. Le changement de générateurs le plus général conservant la forme réduite des équations de G doit vérifier
et fournit pour les autres exposants une transformation dont les formules mod/j sont
«,? = «x-H oc'/, a', |hs ajp'+ a'j-', a"ç == ax"H- a'j"-!- a";", a,-r) + '^,xz"+y,x'z"= ^x + p'y, a, r) + i^\xz" -^ y\x' z" = ^x'+^'y',
a, C + (3, j." + y.y'z" ^yx + y' y, a\ Ç + ^\yz" + y\y z" eh yx' + //,
a'; n + r^\xz" h- y\ x'z"= ^x" + p'j" -h ?>" z" -t- ex",
Les trois premières montrent que l'on peut toujours faire sur a, a', a" l'une des quatre hypothèses irréductibles l'une à l'autre
oc"— o, i;
oc'j=oc':=o, oc", = «"n=o;
OC.rr: oc :
. ce rr a, — a — O.
i'') LES cnoupES d'ordre />'.
Les types ayant tous leurs gy"=abéliens corrcspondaiità l'Iiypotlièse a, =a = a'| = «'=:(), a, = a"= I, qui ajoute la condition ^ess". Les foi'mules restantes permoltent, en choisissant convenablement i] et Z, de faire P", = y", = <*• K'i supposant ^, = ^ ce qui ajoute deux conditions déterminant t] et "Ç, il reste
Il (
~'(P. J + yo')^ y^ + /J. ="(13', V + /, j') ^ -/x' + /r'.
Soit/>>2. Ces quatre formules sont de même forme que celles que l'on obtient ( ') dans l'étude des g^/ de iigure (i i) (i ii), si l'on y échange r/ et e et si l'on y remplace h\n\vb~'. Les calculs faits à cette occasion montrent ici que le caractère quadratique de (^ — y')- -H 47^1' est précisément un invariant et qu'à la valeur — r de ce caractère
(juadratique correspondent les —
types
Soit/> = 2. En faisant y, = y = ?i = ?'= y', + [3, = y'-f- ^ = i , il vient en résolvant
(3, = (3^/ -4- y' j^' + ,r x' + yjV
Si l'on a [i = i,donc y' = o, en prenant a: = y' = o, ic'=j=i, on obtient l^, = ij y'j -~ o, d'où un seul type
C?-rr= C,
cb.
r-=a, e~'de = (l, f ''df=db, f-'ef-ec.
Quatrième cas. — r=s^=i.
22. On voit sur les équations de G comme sur les formules (i), (2), (3) qu'il y a deul cas à distinguer suivant que le commutant, toujours abélien principal, est d'ordre/)' oup*
Le C.OM.MrTANT KST l"> G,,-.
Le central A étant alors égal au commutant, on peut prendre pour n, h~\ r les trois commutateurs des éléments d, e, f pris deux à deux et écrire les trois dernières équations de G
(• 'de=ida, f 'df—db-\ f-'ef--cc.
( ') De SÉGiJiER, Eléments de la théovie des groupes abstraits, cliap. IV.
FIGURE (rSl)(l I l)
Les formules (i), (2), (3) donnent alors
E, =xy' — yx',
1) H^ zx' X z' ,
en sorte que
Tj ^= .37 Z —~ Z JC ^
l'^zy"-yz".
n" ~yz" — z'y".
joint de
= D, d'où !'(
^=J). ^=ny" -^=Dk'
^=Bx"
an • ^ Dx',
dA
â-n' = Dx.
Le changement de générateurs le plus général conservant la forme des équations de G opère alors sur les exposants restants la transformation
;^, + c';3, + ry> ^ A;„ i^\ + ;'?',+ i:'y\ ^ a;,
r,3t| H- ri';3, H- r/'-/, = \i,„ n:/.] -+- -/l'I^'i -!- Y)""/', = H),,
Ça, 4- c ;3, + ç"y, ^ c,„ w, + ç' .3', + ?"•/, = c;„ Kn résolvant, il vient
■fix'[ -hf]'?'[-hr,"'/[ = B]„
KA +?'?■; +?"-/! EEE^c;.
I)a,= (ax- -t- 3£'j+ a"3 + £j;j);"+ (;3.r + p'y + 3":; — sx;)/"^ (yx 4- 7'/ + y" z + £J-)x", l);3,= («.r + 3t'j-i- x'z -i txy)z' -+- {^x -h ^'y -h ^'' : — sxz)y' + {yx -h y'y -h y" z +eyz)x', I)y, Bs{ocx-i- cx'y + x z -h £xy)z -h{^x-h p'f -^ ^"z — txz)y -+■ {y x + y' y + y" z -\'£yz)x,
et six autres formules obtenues en ajoutant successivement deux accents aux lettres a,, ,3i, Yi et aux lettres a;, y, :; qui sont dans les parenthèses des seconds membres.
Ces formules définissant une substitution linéaire et homogène opérée sur les neuf exposants a, ^, ... montrent que le rang de leur déterminant est un invariant et
que D
«1 Pi 7i ^1 Hi /i
. D'où trois cas fournissant des types certainement
distincts, suivant que le rang est i, 2 ou 3.
On voit ensuite que a, , p, , ... sont tous es o toujours et seulement si a, p, . . . le sont. Il y a donc un premier type de G dont les équations sont, en sous-entendant les équations
/|8 • LES oiiOUi'ES d'ordue //
communes aux autres type?,
cV- — cl' —fi' —
Tout élémcMit est alors un e,.
i" (]e type misa part, supposons le déterminant des a, (3, . . . do rang i. On peut trouver
X, y, z, x', y, z' , n'annulant pas tous les détei'uiinants de
et vérifiant
ot.r + Cf.' y + a." z =px + (3'/ -+- 'fi" z = yx + y' y + y" z = o, «j-'-h «y + aJ'z'- p.r' + p'y-^p'z'=yx'+y'y'-+ y"z' = o,
ce qui donne a,ïsfl,ï^Y,£Hsa', -E^p'^Ef^y', eeeeo. Supposons donc que Ton ait constamment aESE j3^Y^^*'==P ==T'==o (donc on n'a pas a";EEEp"E^Y"Eso), les six premières formules du système non résolu, deviennent
d'où
o = oCz = ?>"z = y"z = «" z' = P" z' = y"z', z^z'=o, \)^z"(xy'-yx'),
et les trois dernières résolues donnent
'fi"y -i-y"x.
{xy'-yx')P\ ^
On a donc piEE^yi^sio toujours et seulement si p" eee; y" :eee; o. En ce cas, comml (xy' — yx')a\^=ix"z", y."^o, on peut toujours obtenir a", =; i. D'où le type
rf/'=I, C'''—l, /''=(i.
Si ji" ou y" est ^ o, on peut faire [iJ", = o, y", = i . En supposant ^", = ^"= o, y'^ = on a os^^'.ysEsi, xx\-:E^x"s" -+-x". On peut donc toujours faire a", = o, d'où le type
dp = 1, eP—i, fi' — c.
2" Supposons le déterminant des a, fl, ... de rang 2. On peut trouver x,y, z non toi nuls vérifiant OEHEaj? + a'j+ a"5E^Pa; + P'j+ P"5ssya; + y'j'+ y" = , ce qui donne a, E^3,EE^y, EEEÊO. Soit donc a, = ^, =y, =a = ^ = y = o, les trois premières formules non résolues donnent o ses a'r 4- a"3EEE; |3'jk -f- [3"- ;^ y'j + y"^, donc y^E^z~io, o^=x\y' z" — z'y"). Les six autres formules non résolues deviennent alors
xfo\-xy"'fi\ + f /. ^ a'/+ «"^', .r/'<-^y'^", + ï"/, ^ «>"+«",.«,
FIGURE (r5l)('l I l). /)()
On 0 y',^y°5^o toujours et seulement si y'ssy"ee£eo. En ce cas, les (|uatre premières formules deviennent identiques aux formules rencontrées (') dans l'étude des g^,. de figure (tii)(ii), mais a'^" — p'a" est ^o. On a donc immédiatement tous les types de g,,« correspondant à ce cas y' = y'~ ^■
Si y' ou y" est ^ (), on peut faire y', = <n Yi = i • Soit donc y', = Y' = o, y", = y" = ' > ''-'^ deux dernières formules donnent ossz', x^E^y' , et les quatre premières
xa, — xy" ji', = a', x a", — ^j" ;3; -+- j;''/ — x" = a' j" -+- :«" ;", .r::" p', = |3', ^;" ;5'; — x' z" = [3' j" -+- ;3" =".
On a ji', sso toujours et seulement si ji' est ï^ o. En ce cas on a a?a', =sa', et comme a' est ^o, sans quoi le déterminant est de rang i, on peut toujours faire a; — i. Soit donc a^ = a' = I , donc x~:-~ i , il reste
On peut toujours faire a", = [5'' = o, d'oîi un type
di'~\, cl' — a, p' — c.
Si p' est ^o, on peut faire j^'^^i. Soit ^i=[3'=[, donc .z-z"esi. L'équation a?a'| — a;j"ssa' montre que l'on peut faire a', = ^^. Soit a^ = a' = o, donc v"=^o, l'équation J7^", — a;'ssp" montre que l'on peut faire p", =0. Soit jî', = P" = o, donc a;'sso, l'équation a:a", — a:" ssa"^" montre que l'on peut laire a", = o. D'où un type
di- — \, (;!' = b, p' = c.
3" Supposons que le déterminant des a, ^, . . . est ^ o. Si P désigne le groupe des puissances /;-ièmes des éléments de G, on a ici P = A. D'ailleurs si C désigne le commutant de G on a aussi C = A; et CP étant le p. g. c. d. des g,/ de G, il s'ensuit que tout g^/ de G contient A. Deux éléments quelconques de G, incongrus mod A, ne peuvent être permutahles, sans quoi le commutant serait d'ordre 5/y-; leurs /^ièmes puissances ne sont pas dans un même g^, sans quoi le déterminant des a, p, . . . serait nul. En conséquence, tout g^/. de G est de figure (i 1 1) (u) n'ayant pas d'e^, hors du central. On sait qu'il n'y a que deux types de g,/ jouissant de ces propriétés; les équations qui les distinguent sont
di' — h, ei' — c, f-^de — da, di' =r a, c'i' = ^, c "' de =: da.
G a toujours des g,/ du deuxième type. Soit, en effet, G obtenu en adjoignant /"à un g^/
(' ) De Séguieh, Eléments de la théorie des groupes abstraits, chap. IV. I'.
LES Cr.OLT'KS I) OKIHJ. p
lu premier type, ses équations seront
(II' = h, ('I' =
f-Ulf=dc'lA'
— ,-Y/i3/TÏ
ce' (j^- a'
(iX'J
En prenant /" 'e^i^" \/-!^'* ' pour/, et posant q = c'h^a', cf = c'' h^d'' , les équations deviennent
fl"':
-' (le=.da.
J^df--.dq, f~U:J^.e,,'.
Un g,/ quelconque sera | a, 6, c, g, g.\; il sera du deuxième type si g 'g' ' gg' est dans ]g'', g'''[, c'est-à-dire si l'on a
a: x' ix(xz' — zx') + \i.\yz' — zy')
z z' l(xz'-zx') + r(yz'-zy')+xy-fx'
un déterminant au moins de
quadratique des déterminants E, Tj, C ilc
étant ^ o. Le premier membre est une fonction
On trouvera des valeurs de x, y, z,'
x',y, z' vérifiant cette équation en prenant ç, y], 'Ç non tous nuls annulant la forme qua dratique, ce qui est toujours possible, puis x' , y' , z' vérifiant X,x' -+- ^qy' + ^z'ï=o, puis x,y, z vérifiant les trois équations compatibles. rj' — j.z'r^^;, zx' — xz' :^^r^,yz' — zy'-^~'Ç. Ainsi tous les types de G du cas actuel s'obtiendront en adjoignant f à un g^/ du deuxième type, et auront par suite des équations do la forme
"'</('=: da.
di' = a, ('I' ~ b, fi' — cT b'fia'^, ( y ^ o ). /- ' (//■ — de'' bV- a'-, f- ' ef = e&' bV-' a>', ( /j.v
■Vft' ^ o).
En prenant /'ê~'(/'' pour/, on ohùcnl /~' fi/=^ de' b^, f~' e/= ec'' L^'. En prenant c"'7>i^*' pour c, on obtient/"' f/= ec, (ij. ^o). En prenant /^ ' pour/, c^ ' pour r, on obtient] /'"' d/= (/c'b. En prenant c^/^ pour i~' on obtient enfin
di'~a, ei':^e:'b~\ p' ~ eib'^a'^, (y + jS-/ ^o), e-^de — da, f~'df—db'\ /'c/=ec.
En conservant cette forme réduite, le système des formules de transformation résolues! devient
D ^{x +az )z"+(^z -y )/' + (/j +yz )x",
o =(x +a; );'+(,;3: ^- y )y+{y'y +yz )œ',
o ^{00 +az)z -^(^z -y )y ^{y'y +yz)x,
o ^{x'+az')z" + {^z'^y)y + {y'y +y-J)x",
l)0C,= (J.'"H- 5!=')y + ([3;" /')/'-+- (-/j/"+ yj")y.
FIGURE (/■.* I )( I I l). 5l
Les formules non écrites déterminent y,. Yi, ^,. On peut prendre y" ss3"^o, donc D^^xÇyz' — zy'), x, y, z solutions de (3) et telles que v'y + ys soit ^ o, x' , y', z' solutions de (2), (4) et (i) qui ont pour déterminant (y'j 4- Y-)^ ^" solution de (S); on obtient ainsi a, = o.
La recherche des types par la discussion des formules ci-dessus étant trop compliquée, nous allons suivre une autre voie. Remarquons, en supposant a, = y. = o, que les équations deG|; cj sont
dP = a, ei' = h-\ p'^b^, j e • d,- - : da, /" ' dj= db-\ f- ' cf :j e, \
G\]c\ est donc un g^/ de figure (i i) (i 1 1) dans lequel le groupe des puissances/j-ièmes est un gjr abélien principal, et qui contient un g^/ de figure ( 1 i)(i i) ayant des e^,;. Or parmi les types degyde figure (i i)(i 1 1), il n'y en a que deux qui jouissent de ces propriétés ('); leurs équations sont, eu désignant par a, c les générateurs du central, par d, e, / les autres générateurs du groupe,
■' l e'hie=:da, /-'df=d,' f-'ef^cc.
dP~i, ei'=za, fP = c, \ ' J J < J J
Si G admet un groupe quotient G\\b\ du premier type, ses équations prennent la forme
df — b?, e'- = f/>? , //' = b?'a, e-' de tn dbV-a, f ' d/ = dbV- , /-' ef—ecbv-.
\in prenant b^a pour a, b^' pour b~\ cb^" pour c, on ramène les équations à la forme
di' — h'^, ei'-=^c'y, f -h'^'a, e "' f/e = rfa, f ^df=db~\ f~'ef-ec, (3^o).
Du changement de générateurs le plus général conservant cette forme d'équations résulte une tiansformalion d'exposants définie par
(Il o = zz" + (;3.r + p'y -I- p" z ) v' + y.f" ,
( 3 ) .. .. z'- + (;3.r + ^'j -+- ^" J )y -^yjr,
(-1) o ■^;'^"-i-(i3x' + (3y -+-(3'';')7"-Hj'x',
Ki) I) =;'5 +(^.r'-f-;3>'H-j3";')r +j'^',
(7) i) =:"' -hiPx"-hP>'y'-^P,"z")y" + y"j:'\
(S) Dp", = ;'';'-4- (,6x"+ py'+ P":"}y' +-y".r',
C) De Séciikh, lilcments de. la tlic'oric i/ci i^roiiprs ohstreiils, cliap. IV.
Les équations (2), (8), (f)) en en retranchant respectivement (G), (4), (i) deviennent
dp; ^(;i,);"+|3"r, o =-((3-i)?'4-p"r'.
l']llos inonlreflt qu'on a [i, =-- r, fl", sso toujours et seulement si l'on a ^ss t, p
Les équations (r), (4)» (7) en y considérant a:;", j", -"comme inconnues admettent un système de solutions et un seul tel que D soit ^ o, à savoir
Pf^yz'-zy' ^r,
(3 s" E^ |3 ( ,rj-' - yx' ) + P" ( 5 V' - j^' ) = (32 - P" ?.
En substituant dans (8) et (9) ce]les-ci deviennent
j Px + i3'j' + [3". ;:
Py (3'/ + *• [3'> + ^
/ (3a- + ;3'jH-i3"5 3
/ [3jr'-+-|3'/+[3"^' ='
Supposons d'abord p ss i , ^"ees o ; les formules deviennent
1) =c'3 + (a;'-(-[3'7')7 +ya^,
(2), (8"), (9") qui équivalent à (2), (8), (9) sont vérifiées identiquement, (i), (4), (7) déterminent ic",/", 2". En prenant vs= s ^ss'^o, ic'ss— (^' + .1) v', ic^j'"', on obtient p', ^so. On a donc le type
di'=b.
ei'=c, p'=ia.
Supposons que l'on n'ait pas simultanément ^^si, ^"^o. Si l'on fait ^,ss;i, (2') et (9') exigent ^r'— (:^'=o, donc j = o alors (3) donne z=r^o, (2) donne Yi^E^^^xy , (G) donne XS^s^xy', d'où ^eesi. On ne peut donc faire J^r^-' que si ^;:^i. Si |3 ^ i en prenant a; = I, j = o, s = o,/=r, {^ - \)z' -^^^" , d'où a;"= - 2', j"=o, z"^j^\, D = i, on obtient p", = o. Soit donc |3';=:|i"=o; (8') et (9') donnent C'^ïs?"^" donc a:"=y'EEso, alors on ayi = 'C = o, donc :; = z'=o, s"EEsi, D = ^S et les formules
FIGURE (rs\)(ïi l). 53
restantes donnent
(3) o ={^x +^'f)y-^xx,'
(r>) ^"^[3', = (Px'+(3'7')/ + /x',
La relation générale d'invariance indiquée au début et relative au déterminant des a, j3, ... devient ici ="^^,ï£s j3; combinée avec (2') elle donne 2"^(^, -+- i)'-es(j3 + r)-.
On a donc ^,ïeh— i toujours et seulement si l'on a '^^^— i. Soit d'abord ^ h- i ^ o. En prenant jsso, a7y';^i, (^ + i)a;'^— ^'y', d'où 5"s=i, on obtient P',;^ho. Soit donc [î'i = j3' = o, les formules deviennent
xj^jj'y'H^o (jp/' — 7x')(;3, — i) = ;3 — I, (.r/' — 7x')-^=(3jx'-(- j;v'. Si l'on fait x'^^y^^o on a .rj'EEHi, ^,^|3. Si l'on fait x^y'a^oet si l'on pose ^ ;;sÔ
d'où ^ESi— — g avec 9(0- — 1)^0, on a
d'où 0 + 0,==o.
On a donc^^ tvpes distincts
(II) rf^' = 6''-9, ePrrr, /P=o, (e=:2,3,...,'~
Soit maintenant ^ + is^o, alors on a
xy'-yx'^,, o^P'jS |3',^;3'/n o e= (S'^j'.
On a [3', sso toujours et seulement si ^' est sso, ^'^ carré toujours et seulement si ^' est carré; et si jB'est ^o on peut toujours faire suivant les cas P', = i ou N non carré arbitraire. Donc trois types
(III), (IV), (V) d'-^b-', e"T=c/M^\ Ji'=a, ([3'^-=:o, 1, N).
Supposons maintenant ^^sei, donc [3"^o, alors (2') et (9) donnent î^ese'C's^o donc jsESEEso, d'où ic'Ess— 07=', /'s^^o, s'Eso^y, Dss(icy')-. (6) donne alors a;/;Eisi et il reste comme formules de transformation
5/} LES GnOfPES n'or.DTtE //'.
En prenant )''-=^;j3"~', .rs^ |3", 2x'y^'=— ''^' y"- — s'-, on obtient [3", i, 3'
'oii le type
di' — b, cl' — c, fi' =: ba.
Si (î admet un groupe quotient (jj\b\ du deuxième type, ses équations prennent la forme
dl' :- b':
<il' - b't>' a , fi':zz.cb
-'de — dbVa, f-'d/^db'^, /-'<-/:=: et/yH-", (3=î^o).
Comme précédemment on peut les ramener à la forme
di' — b?, ef—b'i-a, fi'z^cb^^", e-^de—da, f-^ df =i db-\ f-''ef=:ec, (i>^o).
Les formules de transformation de cette forme réduite sont
o = J-' +{^x + P'y + ^'z )y" +- zx", Dp,=j- +(P^' +(3'j- ^;5"-. )y' + zx\ o ^yz +{l^a- +P'y +l^"z )y + zx, \) =/3"+({3j;-'-t- ^'y' + !fi"z")y-+-z'x'', Dp; =/=' + i^x' + (3'y' + r^"z' )y' + z'x', o =y'z +(px'4-(3'r' + [3"s')j' +z'x, o =yj"+((3.r"+(3'^"-i-[3"5")/"+j"x", J)P; ss/'j' + ((3a:"+ (3V"+ P''^')/' + :"x', 1) EEE^/'j +((3x''-i-[3'j"-+.(3";")j +;V.
Et l'invariance du déterminant des a, [3, . . . donne D^jEeee^. On peut remplacer (8), (9) en en retranchant (G), (/(), (i) par
qui équivalent ;i
Dp,.= ïp +Ç (,P") + y),
En prenant x = 1, y = 0, z = o, x' = i — ^", y' = i , ^' = o, x" = o, y" = o, :■" — "^i on obtient ^,~^'\~i. Soit donc |3, = p", = [3 = [3" .-- 1, (2"), (8") et (9") donnent s' + s"e5=-i, y'-\-y"E^ï, x'-hx"^EEo. Tenant compte de ces relations on trouve en ajou-
FiGur.E (rs\)(i 1 1). 55
(ant(.)et(2), (/i)et(5), (7)ct(8)
d'où en ajoutant (5) et (7') ^', =;^'. On a donc/» types distincts entre eux
(VU) d''—b, ei'=b?a, fp = cb (^' =z o, 1, . . ., p — 1).
Reste à savoir si ces types sont distincts de ceux précédemment trouvés. Les équations des types (I), (II), (III) pourront prendre la forme dP =1)^, e''= 6^ a, /"= ch'''' toujours et seulement si l'on peut vérifier avec D ^ o les équations
(3) o = s' +'^xy -^ yx,
(7) o =z"^ -'rPx"y' + y"x\ (9) Y) = zz" -^px"y +y"x.
Pour le type (I), |5 = i, (i) et (9) donnent Dsso.
Pour le type (III), [3 — — i on a z?=3z"EEiyx" — xy"EE^o, donc Di^so.
Pour les types (II), |3(^- — 1)^0, des équations (i), (3), (7) on tire
;2^"2= (P + ifxyx"y''-^{!^xy"-^yx"f ou, en posant 3iy' =z u, vz" = v
Les doux racines de l'équation en - sont i et p^. La racine i donne D o. Soit donc psHp-w; en remarquant que Dhs C'a;' -f- r]'y 4- ^'-', on a pour déterminer .r', y', z'
(4) Oy'--Ç')^'-t-(^"y)')y + (-"|')5'=o,
(6) '^yx' +xy' -^ zz' =0,
(9') r*' +ri'y' -+-^'c' =(j3-i)£:'.
L'équation ('j) peut être remplacée par
jG les groupes d'ordre p'^.
Un simple calcul montre que le délerminant de ces trois équîitions est ^o. H a le
mineur p^'^o par hypothèse et le caractéristique correspondant i^y x o est
=s() en môme temps que s({3 — i) + ^. Or, on peut prendre de manière à vérifier toutes les équations et la condition D ^ o
(p-OMP + O
Les types (II) rentrent donc dans les types (VII).
Les équations à vérifier avec D^o pour faire rentrer les types (IV) et (V) dans les types (VII) sont
o^zz" +((3>-^)/' +yoc",
I) = z'z' + (i3'/ - x')7" + j'x", o=:'z +([3>'— x')/ H-j'cr,
On voit immédiatement que si l'on a j3'— I et /jss 3 mod/j, donc — i non carré, ou [5= N et^^i mod4. donc — i carré, il est impossihle de vérifier (3) et (7). Supposons donc p'=i,^sEi mod 4 et remplaçons (9) en en retranchant (i) par
1) = 2 ( j?j" — yx" ) = — 2 ï'.
Pour vérifier (3) et {•]), il faut prendre -e^jj, z"^i"y', ir^^i"^;^ — 1, alors (1) devient
( //" + 1 ) yy" - xy" + yx" = o
et comme il hnixy" — yx"E=o, on doit avoir i -{- i"eeelo. Alors x, j, x" et y" étant liés par
( 1 ) 2 yj" - xy" -(- jj?" 5= o, y y" ^ o,
a;', y, z' sont déterminés par un système qui équivaut à
-yx'+(x"+y)y'-iyz'^^- 2;'.
-yx' -^{x +7)7' +0-' ^o.
Or le calcul montre que le délerminant de ces trois équations est =0, qu'il a pour mineur ^
FIGL'UE (a-5i)(i I l). S"]
et qu'on peut annuler le caractéristique correspondant en prenant a^j' + 1 es o. Donc pour p^Es I mod 4 le type (IV) rentre dans les types (VII).
Supposons maintenant /);se3 mod4 et [3'=N que l'on peut prendre = — i. Un calcul analogue au précédent montre que pour vérifier les équations il faut
. iy"
xy" — yx' + 2 yj" = o , y y" ^ o.
- yx' 4- (.z; —y) y' -+-;-'
Le calcul montre encore que le déterminant de ces trois équations est^o, qu'il a pour mineur ^' et qu'on peut rendre le caractéristique correspondant s^o en prenant
Donc pour p^^3 mod4 le type (V) rentre dans les types (VII).
Les équations à vérifier pour faire rentrer le type (VI) parmi les types (VII) sont
o = ;:;"-+- (x H- z)y"-i- yx",
o ^ z- -i- ys -h 2 xy,
l) = yz"-zy".
Or, on peut satisfaire à ces équations et à D^o en prenant, par exemple :xe^o, rsEE — I, GE^i, a;'sso, j'^i, s's^o, x";^— 3,y'^E i , s"e£es2. Donc le type (VI) rentre parmi les types (VII).
Il est impossible de déterminer les exposants a, ji de manière que pour chacun
des sept systèmes (a:, >',;) autres que (0,0,0) on ait y, es o. Prenons donc x, y, z tels
x' y' que Yijs; 1 et ir'.j, ^', a;", j", s" tels qu'un déterminant au moins de soit^isi
et que l'on ait
\,,z'-i-li,,y'+ (:,,x'^\,,z"-i- li,,y"-i-Cpx"= o.
On définit bien ainsi un changement de générateurs, car on a
I) EE A,,x + ]i,,y -t- C,, : = I ,
.■)8 LES ciioi l'i.s D'onnuK. />''.
cl les équations de G se trouvent ramenées à la forme
d'-—c, e-z= cil/fia'', p—ctb^'a^', e~'dc — da, f'UlJ-dh, f~'ef—ec.
Autrement ilil, on peut toujours trouver un élément liors du central, tel que son carré soit hors du p. p. c. m. do ses commutateurs.
Nous allons d'abord déterminer les types de G qui n'ont aucun e. hors du central.
Pour que l'on ait ^'■ — i, il faut et il suffit A^,=^£i B^,;. i; C^^s^^o, ce qui équivaut (') il A/, + H^, -+- C^,+ B^,C/,+ C/,A^, -H- A^,B/, + A/,B/,C^,Eso. Donc, pour qu'il n'y ait aucun e. hors du central, il faut et il suffit que, pour chacun des sept systèmes (\r, y, s) autres (|ue (0,0,0), on ait A^,+ B^, + C/,+ B^,C^, + C/,A,,+ A/,B^,-4- A^,B/,C/<ï^i • D'où sept relations entre les exposants a, [3
Pour conserver la forme réduite ci-dessus des équations de G, les conditions nécessaires et suffisantes sont, comme on le voit sur les formules résolues de la transformation
et, A'^,, B^^, Cp désignant ce que deviennent A^,, B^,, C^, quand on accentue les lettres x, y, z, on a ^', i^ A^jS'+ B^,r -I- C'^,a;'. Or on peut toujouis trouver x, y, z- vérifiant C^^sho, ApZ -+- B^j'E^i. En elfet, C/,;^ïo donne
si alors on a A^z + B,, js^eo pour tout système (y, z), il faut ai^sy, jissaEso, ^'s^y ss 1 a Puisqu'il n'y a pas d'Ca hors du central, il faut oc^ee ys:? i; mais alors on voit que (/erf)- = i.|
(') L'équation
l'<, « parcourant tes produits /, à k de n variables a-,, ..., x„, n'admet pas d'autres solutions que
Xi= .. .:^ x„ :^ o.
Supposons que ce Uiéorème, vrai pour deux variables, soil vérifie jusqu'au cas de n — i variables. Les rclalioiia| i; !'/,,,= .r„i:i>/,^,,„,+ v|>^,^,^j. (/, = I, ...,/). i;i\,„| = i, vp„.„, = o),
monlrcut que l'on a
L'équalion X„ s: i équivaut donc à c'esl-à-dirc, d'après lo lliéorènie admis, à
HGi;i!E (rs i)(i 1 1), ')^j
Une fois r, y, z ainsi déterminés, en prenant a:'ï=?; i , j'seeg'e^o, V^eesAj,, z"te^B^„ on a un cliangement de générateurs (car \)^:^ 1) qui donne ^', seïo. Les équations de G peuvent donc se réduire à
d-~c, c^=c^ba'^, /*=cT7*?a'', e-^dc = da, f'dj-db, f-^ef=Lcc,
et pour qu'il n'v ait pas d'co hors du central il faut et il suffit que l'on ait
o = (^ + a')(i + [3')(i +y-f-y')s(;3'/)(£-+-a') = ,3'(7 + 7')(i + a + a'), \ =v. -y- y + 7.y = a'n- ,3' + y'+ ol"'^' -t- a'y'+ |3'y'+ s:';^'-/'.
Les systèmes (a, y, a', ^',7') solutions de ces équations sont
La transformation des exposants dans les équations de G résultant du changement di; générateurs le plus général conservant la forme de ces équations, est définie par neuf
équations, dont cinq seulement contiennent les nouvelles valeurs a,, Yi Si l'on
applique ce changement de générateurs au type a, il est facile de former tous les systèmes
de valeurs de .r, y qui satisfont aux quatre équations ne contenant pas a,, y,
(iliacun de ces systèmes .r, y, .... définit un système a,, y, auquel correspond un
type isomorphe au type a; et tous les types non obtenus de cette façon sont distincts du type a. On trouve ainsi que les types isomorphes au type a sont les types a, f, j, e, q. b, C, n, m. kv h. s.
On trouve de même que les types isomorphes au type d sont d, i, g, p; et enfin que les types isomorplies au type 1 sont 1, r.
Ainsi il y a trois types distincts n'ayant pas d'e^ hors du central, les équations qui les distinguent sont :
rf-izzc, c-^=icl), f-^=a\ d'^rrzc, e':=i, f^:=b; d^^C, e'^=cba, /^=:rc'(7.
Supposons maintenant que G ait un e. hors du central. Les é(juations étant ramenées il la forme toujours possible
f/^=cY6?«^ e'-=b, /'■=crb9a'^', e-'de--da, f-'^df—db, f-'ef—ec,
il existe r, y, z non tous i^o, tels que (/=e'>/'")- = i. Faisons le changement de
!i;énéra leurs
LES GROUPES i)'or.rtiîE //'.
d^^if-eyâ''.
f,=J-''eyd-',
f^^ef=z ec'' a-'' .
et les équalioiis de G deviennent
d^—\, e-'—h, p—cry^-a'^-, e-'derz^dc--a-^, f~'df~dc''ba'.
Prenons alors c'a'' pour a, c'ha' pour h, c-"u^" pour c, les équations deviennent
d'=i, e-=c^ba^, f'—cth^'n^', e-'dc = da, f-<d/=id/>, f-'ef=ec.
Nous allons d'abord examiner le cas où tout e^ est sïsf/ niodA, c'est-à-dire où {f-e^d')'- est 7^1, sauf si l'on a js^:;^o. La condition nécessaire et suffisante pour qu'il on soit ainsi est que pour tout système {x, y, z) autre que {x, o, n), on ait
Ap-+- Bp-H C;,+ A,J},,-|- A,,r>;,H- B;,C,,+ A,,B;,C/,= I,
c'est-à-dire
a' H- 3' -H / 4- a' p' 4- «'y' +13' -/se i,
Les systèmes (a, y, a', (3', y') solutions de ces équations sont
br= (i,o, i,o, o), c =( I, I, i,o,o) e = (o, i,o,o, l), f =( I, i,o,o, I )
Par la même mélliode que dans le cas précédent, on trouve que les types isomorpTOs au type a sont les types a. b, d, p, q, n. c, h, m, k, (]ue les types isomorphes au type e sont les types e, s, que les types isomorphes au type f sont les types f, g, r, 1, que les types isomorphes au type i sont les types i, j. Il y a donc quatre types distincts lorsque G a huit Cj et seulement huit formant un complexe élément du cogrédient; les équations qui les distinguent sont :
e'=6, /^=i:rt; e-:=zcb, /^=;c; e-=icba, f^^^c; e'^z^cha, f-z^cb.
Considérons ensuite le cas où il y a des e^ dans plus d'un complexe élément du cogrédient. Les équations étant ramenées à la forme toujours possible
d-=ic-ib^a^, e'-—crb?'a'^\ P=a, e-'de = da, f-'df—db, f-'^ef—ec.
HCfRE (rsi)(ï I l), Gl
il existe, par hypothèse, un syslemex,j,z,x,Y',z', tel que l'on ait(/-e^c?'")'-=:(/^W/'')^r± i
et qu'un déterminant au moins de
soit ^o. Je dis que l'on a nécessairement
œv' -\- yx'^Eï . Si, en effet, on a a-y -h yx'^^o, donc œ'^E^x, y'^^y, il faut nécessaircment.s + r.'ssi; on aura donc (/e-^r/-^)-ss=(e^'J'^)^^i ; d'où, en annulant l'exposant de a, l'égalité impossible
a .r H- a' j H- I -1- xy = xx -l- ot' y + .ry ^^ o.
On peut donc l'aire le changement de générateurs
([ui donne aux équations de G la forme
6?'=e2=i, f'=a, e-'' de — de' Vf- a, f-'df—dcyb-', f-'ef—ecyb'".
Km prenant c'h^a pour a, cy/r'' pour h, c'' 1/' pour c, on ramène les équations à la l'orme
d^=e^=:i, /'-—ctb'^a, e'^de^da, f-'^df^-db, f-^ef—ec.
Considérons d'abord le cas où il n'y a d'e^ que dans deux complexes éléments du cogrédienl. Comme la condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est que, pour tout système (a, .V, ^) où s estiii3i, on ait
A,,+ !},,+ C/,+ A/,H,,+ A,,C/,+ r>,,C;, -f- A,,1Î/,C,,= I, ce qui donne la seule condition ^1^=50, les systèmes (fl, y) qui conviennent sont
Or, si sur le type a on fait les changements de générateurs c/, = d, e, = e, /', = Je, Jd on obtient les types b, C. Dans ce cas, G n'a donc qu'un type :
rf^=e^ = i, p = a.
Dans le cas où les e^ appai'tiennenl à plus de deux complexes distincts du cogrédient, on peut les prendre pour générateurs, il n'y a donc alors qu'un type :
Le co.mmi:tant kst d'ohdiie i'-.
Le commutant n'étant pas cyclique, on peut réduire les trois dernières équations de (i à la forme
e^^de = dbVa^, fUlf=da, f-^ef=eb.
LES r.nOL'PRS D ORDIîE /r
puis, en pf^nant / ^ pour e, f^d pour d, à la forme
' de -~ d, f'hlf - da, f-'ef-
Si alors on avaitv^-',
:=o, G serait produitdirect de \c\ par un ii^, do figure (i i^
Supposons donc que l'on n'ait pas ^ ssy^^sy"^ :o.
[.e changement de générateurs le plus général conservant cotte forme réduite d'équations doit vérifier
z = z'~o, l = a:z'', r,~ys", Ç = o, l'~x'z", ■(î = y' et opi-ro sur les a, [îi, . . . une transformation définie par
''(.rj'— r.r')^ o.
;"(at, j? + |3|.r') + y,i" = aa? + c/.' y, z" {x\x -\- 'pl^x' ) + y', ;" =:^ y..i' -\- x'r',
z'{a:[x -H |3;.r') + y\ i" = :<j-"+ «>"+ a";"-}- E.r" z" , z"{a\y + (3>') + y';r/'^ ^,r"+ ^'j"+ ^"."+ sj".", y'ir^y.r" + yy' + y"--.
Si l'on a y^s^'i^o, donc Yi^^Yi— '^"' YTi^"' ^'^ P"^"' '•''''*-' Ti = '- ^' Y '^i' Y est 5^ o, on peut faire Yi = «» Yi = ' ' Yi — "•
Soit donc d'abord y, = y = y', = y' = o, y", = y"— i, donc "C";— z" . On peut toujours déterminer ^" et r," de manière à faire a", = ^fi\ = o ; et en supposant a", = a" = 3", = ^' = o. donc ^"^zx" z" , r{''^^iy" z" , il reste
La discussion de ces formules, qui a été effectuée (') dans la rcclierclie des ^y de figure (il) (i 1 1), conduit pour /) > 2 aux p -i- 5 types distincts, pour lesquels les exposants a, ^, a', ^' ont, par exemple, les valeurs suivantes :
(3' oo — I 1 lo I — I,
( ') De Skgviku, Eléments de la lliéorie dot groupes abstraits, Cliap. IV.
KKIIRE (r.9l)(l 1 I ).
cl , poui' p = 9., aux cinq types
Soit inaintonant y, = y = o, y'^ = v' = i , y'^ = Y"= o, donc jEsy^o, 'C"-^rj,y. On peut toujours déterminer î" cl-q" de manière à l'aire a, = [î, =o. Soit a, =a' = ^'i = [i' = <), donc ^"-^rj"^o, il reste
^,yz"^^.r.
Ou voit alors aisément que les types distincts de G sont
;3 = o, « = o, !3"=ro,
(3=; I, 3(=zo, ;3"=o,
l'.i. (cherchons s'il existe des g^/ de iigure (in) (i 1 1) ^'•'"^ ^""^ '*^^ g/'"' ' =^""^"'' i''*^'liens. Si le commutant est d'ordre p^, le déterminant des exposants des générateurs A„ a;, a-j'—rx' \i,, h;, a-z' ~ z.r' oa, en posant: xy' — yx'—^, .Tz' — zx' =r^, y:' ~ :y' = 'Ç,
de D' est
(;3y'-y;3')-:=+(7a"-=t-/')r,^^(a'|3"-|3'a")Ç^-4-(y«'-a-/'-t-;3y"-y,3");r, -+-(s(^'-;33('+p'y"-y'|3")ÏC + («^"-H='"+-7'^"-=«'7")-''?
Si /> est > 2, il existe des valeurs de i, yj, "C non toutes ^o et rendant le déterminant ^o. Kn prenant x,y, z tels que l'on ait
puis x',y , z', tels que l'on ait
,j? — ri/ + ;3 = o,
jcz'—:x'=rt, j:'— ;/'=?,
on a I)'<A Aucun gy n'étant abélien, il en résulte que /««/§•/(/>> 2) r/e/îX'^Mr^(i 1 i)(iii ) à commutant d'ordre p^ à des gy non abcliens.
(Vi
i.F.s onorpKS d onoRK />"
Si/j = 2, ('crivons le déterminaiU
en remplaçant \ par rj 4- C. la partie formée par les six premiers termes devient
et l'on vérifie directement, en parcourant successivement les types distincts de g^- de tigure (iii)('iO î' commutant d'ordre /j', que cette forme quadratique n'est jamais irréductible. Si donc on prend H, y), X. solutions non toutes s^o de
KÏ+ K'r, -+- K"r + hU + L'ïr + L"r,; eeh ; + r, + Ç e= o,
puis ,r = y = r ^ i, puis x' , y' , z' solutions de
.r' +}■'=":., .r'+z'^fi, y' -h s' = Ç, d'oîi .r' t -+- y' r, + z'
on voit que le déterminant sera s^o. Dans le g^- correspondant à cette détermination du système x,y, z, x' , y', z' on aura donc D' < A. Ainsi, dans toiu g.,' de figure (i 1 1) (m) à commutant d'ordre p^ , il y a des g.y non abélicns.
Supposons maintenant le commutant d'ordre p-, le déterminant des exposants des générateurs de D' est
XJT -^a.'y -[-(x" z + ZXZ xx' + ol' y' + a." z' + ex' z xz' — zx' ^x+^fi'y + rfi"z + Ejz ^x' + ^'y'+^'z'-hEf'z fz' ~ zy' 7^- -^'/'y +y"=^ yx' + y y' + y" s' o
On sait(i3, i/|) que G'=;A, ^, ^'| supposé non abélien a tous ses diviseurs ahéliens toujours et seulement si ce déterminant est ^o. Si l'on n'a pasy^y'EEEo, y"^ o, on peut prendre
yoc^ y' y -h -/"z - yx' + y' y' -h -/' ;' ^ o,
!*• «j *idU
y^-zy'=o.
alors le déterminant est = o et G' non abélien à des g^,- . non abéliens. Supposons donc yE;^y's^o,y"'^o, c'est-à-dire considérons seulement les types où l'on a y = y'=o, ^'" = 1, le déterminant se réduit à
(xx + ix'y -\-txz dLx'+x'y-^zx'z xz'—zx'
P>X-^!fi'y + tyz '^x'+l^'y'-^ty'z' y='-zy'
Figure {rs)('2-2). Gi
ou en développant modp
Ainsi, pour que tout g^r • G' non abélien ait tous ses diviseurs abéliens, il Faut et il suffit que la forme quadratique ci-dessus soit irréductible, c'est-à-dire que l'on ait
(|3' — 3()-4-43t'î3 non carré poury>>2, (3 = a'= a + {3'-- r, pour/)=;2.
Les gj," de figure (i 1 1) (i 1 1) à commutant d'ordre p"- ayant tous leurs g^^ abéliens sont donc donnés par
' oc'^S, |3' = o, ;
' — /A pour
' — Il ;im-\ .
0C=:O, Pr=:£x'=(3'~l,
pour p
pour p>9..
Figure (rs)(22).
24. Kn tenant compte des conditions d'aulomorphisme, les équations de G auront la forme
l.a condition de figure est que X ou \i. soit ^o. Si l'on pose
g^:zdïc', g'^^dy'c'',
on trouve aisément
g' g ^ dy+y c''-^^ [ bV-V -'d'r'-- fy, é'"' o '^ ' ô'o ' " ( ^'^'''~' «*'''' Y^' ' ■'''
g- -z d-y C--*^ ( bV-l"-- cO-P'-' )'^ ' ' ' , gV'-: ;,: i>V «■*/•
avec
A,,= 7.x -\- !x' y ->r- el.xrf,'-\ H,,— (3x-t- ;3'/ -h ciJ..ry//'
I.e changement de générateurs le plus général conservant la forme des équations de ('• est de la forme
ai—b'iai, h^'-b-^'a' I''' ', Ct--dyc''b'a'', dt=: dy'c''' b'' a'''.
(U) I.KS (iROL'I'ES I) ORIHIE /> .
avec les conditions
( :r,' - Y, ;'/>'-■< ) ( -ry' -yx')fào
et opère sur les exposants des équations de G une transformation définie par
(3) a,rj+;3,T,
>., ; + .u, i' — ). ( J:y' — .>•./•' ) :^- À, ■fi/V-"' + ,a, r,' — /i( .J'j' — J-r' ) h= o
- 1{,, ^ If- /, - a; Y) 4- ;5', r/ - h;, - //^ /. ' = o
mo(l/>-,
Los formules (i) montrent qu'il faut distinguer les trois cas
Supposons d'abord r — i >5. On a ,a, = o toujours et seulement si a est =o. Supposons a=/;a', donc (condition do figure) X ^ o. En prenant a' pour «, on peut faire X = i ; et en faisant A, = X = i dans les formules (i), il vient
£ 4-/',u', c'hi xj' — yx' ino(l/j'% p',Y/'=;^'(.r)' — ^i-x').
On a donc iL^i=^v> toujours et seulement si a' est h=^o; si ^ est ^ o on peut faire iJ-, = i, donc u., =/>. Supposons a^^o, en prenant b^a^i'"' pour a, on peut faire X = o, u. = i. Ainsi on peut toujours ramener X, a à l'un des trois systèmes irréductibles l'un à l'autre
>. — 1 , [i.--o,p; l—o, ii.^\
Supposons maintenant r — ^ = s. Comme précédemment, si jj. est ssïo on peut supposer X = I, et en faisant A, = A r- i , a ~ pij.', tx, = pu.\, les formules (i) deviennent
c -i- /'n^c.' :^^xy' — yx' modp-, Y, + p',y/ ^ix'{xy'~y.i-'),
et permettent toujours de faire li.', = o. Si tx est ^ o on peut encore supposer [x = X = o. Dans ce cas il n'y a donc que les deux systèmes irréductibles
Supposons enfin r — s; on peut toujours prendre bv-a^ pour h, donc supposer A = On a vu que G a tous ses g/,-»-' abéliens toujours et seulement si l'on a
iiGUUG (rs) (22).
c'est-à-dire si un déterminant au moins de
est ^o, c'ost-à-dire si aji — ^a' est =^0. Je ne déterminerai que les types pour les(juels cette condition est remplie.
Soit donc X, = A, a, = [j., ï. et u. ayant l'un des systèmes de valeurs trouvés plus haut; on peut toujours, en prenant
'i~ {.i-y' — y.r') = l-np'- '+>[-n' — (.Q''— JJ^')] = o iiiod/j'
et choisissant convenablement h et /i, faire dans les formules (a) a, = 0, a', = 1. Soit donc a, = a = o, a', = a' — ■ 1 , donc ^^o; les formules (i), (2), (3) deviennent
(1) Uç-i-ry'- yx')] + i:.i'=l-np'' ■'-hn[-n'—{.ry' — y.r') =0 moû/j\
(:>.) ^,l'p'- - — {y-^-clj-y/y ' -I- />V/) EH ; + p; £'—(/'+ c/.j;'j'/>'' '+/>V«')=o inod/y, (3) 3, r/'- •?,,-/>'/. ==ri-H[3;Yi'— H;,-/j-/.' =0 imu\p<.
Séparons alors les différents cas.
Si l'on prend X = i , m =: i, on a
^ — (j;/ — jx') = o I
|3,ri'- ((3^4- 13'/) = n -^ ^; n'- ((3^'+ p'j') eh o )
On peut donc, en prenant ,t'= y = o, ^ = x=y=i, y]'=!3, yj = ^' et choisissant convenablement h, h', k, k', faire [^, — i, [i', = o; d'où un seul type
ci''—b, di'"=a, d^cd — cai"'. Si l'on prend A = i, lk =p, on a
l — {xy' — yx')-Jr pc^ ^p[ri' — {xy' — yx')] ^o\
y ~\ ■+- (3', ç' — y' -^ o I mod/j-.
[3,r/'- (;3.r -+- P';-) = t) + (S'.Ti'- (P*'-+- P'/') - "
On peut, au moyen de h, h', k, k', faire fi, = i , |3', = o en prenant
d'où un seul type
