I.KS GROUPES n ORDRE jr
cl" —: h, fil'' rrr a, (l ' Cfl -— cbl'"' al'"' '.
Si l'on prend A = o, u. = i , on a
j' = H — j' = o \ modp^.
;3,r/- ^x z^-n + ;3; r/- (^ j?'+ ;3y ) = o ^ex/p^-' \
On peut, au moyen de h, h', k, k' , faire ^i = i, |3', = o en prenant
l^-fi' = y = ?>, ■n = ?>'?',
i = JC' ^^ o, X
d'où un seul type
c'''= b, cli''= a, d-^ cd — cbi'''.
Si l'on prend X = i, ij: = o, on a
£ -- (xy' — yx') = rn = o J
modyu-.
En prenant
r, .-;':---: r = 0, ^=:Xt=/=I, Y)' = (3, ic'=j3'(3
rva-'
et choisissant convenablement h, h', k, k', on peut faire ^, = i , ^', = o. Si l'on prend X = o, [x = i , on a
i'^n'—{xy' — yx') =o
pi Y)' — ;3a; = ï) + (3', -o' - (;3x' + (S'y -i- £^y y^'-' ) = o
modp-
En prenant
et choisissant cçnvenablement A, h', k, k', on peut faire [i, = i, fl', = o. On a donc les premier et troisième types du cas /• — i > 5.
FIGURE (rs)(22). 69
On tire des formules (1), (2), (3)
E'==ri'—{j-y — j.v') = o,
(5,r/— ;5x = Yi + ;3;rj'- (î3x'4- (3'/'+ SX»'--'), en prenant
;' = x' = 7 = o, x=zi, ;=r/ = j'=[3, r, = (3|3'
et choisissant convenablement h, h', k, k' , on peut faire ^, = 1, ^'^ = o. On a donc un seul type, le troisième du cas r — 1 >*.
DELiXIÈME PARTIE.
DÉTERMINATION COMPLÉ TE DES GROUPES D'ORDRE p"
Figure (111)(1)(11).
25. D'après les types connus de figure (i)(i i), G aura des équations de la forme
ai'—bi' = ci'=\, di'=c^bf'a'^, e'' = d^ et hP' a''' , f/'=:(fic"'h?"a'', e 'de = dc''b'''-n', f-'df=d&'bV-'a'', / ^ ef = ed
et l'on a 0 = o, 0= o,i pour/; > 2, o = o'= o, ou o = o'= i pouryw = -2. Les conditions d'ordre donnent
«-!-£>. — èl' = [3 + £p. — ôp.' = y 4- £v — ôv'
= « + û.'-hô'l = jS -4- £i^' + â'f/ = -/■+- £v'+ ô'v = d'À' = ô>.'= ô'v'= o
et la condition de figure est que l'on n'ait pas X^^^UEEEvsEïX'z^tji'ifEE v'eseo. Si l'on a 0 = 0' = o, les conditions deviennent
« = £> = £/.', [3 = 3// = c/Jl', y = £V S £-/.
Si l'on a/^> 2, 0 = 0, 0 = i, les conditions deviennent
oc = ;3 = y = >. = jx = V = }/ = p' ~ v' = o
et la condition de figure n'est pas vérifiée. Si l'on â p — 2, 0 = è' — i , les conditions deviennent
ot ES/, (3 = p, y = v, >,'=/ji'=v'=o;
On peut donc écrire toujours les équations de G
<://'= c-''i>'H-«'>, e''=d-^^cyb^a'^, f-=d--^crb?'a''', e ' de = d&' bv-d', /-' d/— de'' b\'-a>', / ' cf = ed.
FIGCRE (ill)(l)(ll).
01 l'on en y\r(i /'■' e>'(t'f-'e/d' =pé'cFc'h'^'a^ a\ ce
et {/-eUi'y^J' t^'d-"' )-'/'- e^d-'f-e^'d^' = dr--'-^'é''b^'' a"'", le commutant j a, b, c,d\ étant abélicn, H" ... s'obtiennent en retranchant H' ... des expressions obtenues en y permutant les lettres accentuées et non accentuées de même nom; puis en posant (f'e^ d' )"=/'■" e''"d^"c'"h'^" a}'", on trouve par récurrence
Z„=M3, Y„=uy, \„—iix+yzl'[-U, K « = F [ ■ J "^ '^ ' ( ■ .......],
d'où, pour f/:=/>, (f^e^d'')P ^ d'^^'-*^>'^^--'^c'i-b*'ra''i'
*^/> = yf + y' - + e'j- ( - V + V ;) + ev [.r ( 14- /) + v;] + £v' x:,
»/'= ^J + ;3'= +£'/ = (- f^7 + fx'5) -H £^[ ] -H eix'xz,
A,,= otKH- a'^3 -1- £'/;(— >>j + >.'j) 4- £>. [ ]-i-û.' x:-,
en supposant a;, j, z <Cp-
Le changement de générateurs le plus général conservant la forme des équations de G, qui est ,
d, = (fic'O'a'', c',=.f=erd'^c'0''a'', f ^— f-' ev' d>'' c'' b''' a''' ,
avec o yà ^i^xy' — :;/')
et où l'on suppose 3c,y, z, x , y, z' <ip, do'it véritier
en général (j,j',j\ étant des entiers arbitraires </>),
£(j;-^o>+ô'^)=£(ô-+-2y), £(y^' + oy-+-ô';')=£(â'+2y'),
< -+- Evy, = L", 5 4- £/iy, = K", /• 4- £>.y, = H".
LKS GROri'ES d'oKDKE p'' .
PREMIER CAS. — p IMPAIR.
La transformation des exposants des équations de G résultant du changement de générateurs précédent est définie par
(I) ( r,)., +Y)>, +Y)''v, = 9(;x7 + fx':;), Ç?., 4-Ç>, +r'v, EE.9(vj + v'.^);
f ça, + r;3, + ry, = C„;
5(vj'+v';');
( ;■/.; + ?>; + ri
A^,, B^,, C^ désignant ce que deviennent A^„ B^,, C^, quand on y accentue x,y, z.
Remarquons que C'= \c'b^c^-, c'' b'^' a'' \, plus grand commun diviseur du commutant et du central, est caractéristique dans G et, à cause de la condition défigure, d'ordre ^p. Il y aura deux cas à considérer suivant que C est cyclique ou non.
1° C cyclique.
En prenant/non permutable à d etc^b^'d'' pour b, on aura
e-Ule = (/bV; f 'df—db, f'ef — ed;
d'où, en prenant/~!^e pour e,
e 'de = d, f 'dj—dh, f 'ef=ed,
et tout changement de générateurs conservant ces équations doit vérifier, en plus des conditions générales, les conditions suivantes, tirées des formules (i) et (2),
les formules (3) et (4) deviennent
2a, -t-t"-/, =aj, !«; 4-H"y; ' =«/-t-«'.V,
ç«, 4-ry, ^yr, ?«', + ;"■/', .^ ■// + /;',
FIGURE (l I l)(l)(ll). 73
et l'on voit aisément que les types de G correspondent à
a=:)/=;(3 = o, o£'=/=o, j3'=:o,i; a=:y = (3 = o, «' = 0, y'=i, [3' = o; a = yizzo, (3 = 1, N, a'=/=zo, (3' = o; ' a = o, "/ = i, (3=0, a'=y'=o, (3'=o,i;
a = y = (3^o, a'=o, y'=ro,i, (3' = o; a = y =: «'= y'=: (3'^o, (3=:i; a = y = a' = y' = o, (3 = — i, (3' = o,i;
=ys'-^/
2° C /«o/t cyclique.
En prenant c'b^a}- pour a, c^b^'a^' pour è, on a
e^^de =: da, /~^d/=db; des formules (1) et (2) se tirent les conditions suivantes :
et les formules (3) et (4) deviennent
e(j«i + /P.) + ryi=«7+«'--£'y^^, B{yc^\+y' ^\)^l'y\^cy' + a' z' -e y"z' , 9(5«. + ^'(3,) + n"y,= [3/H-(3'3 + £'y.-% B{z^[+z' ^\)+-fi"y\^^y' + ^' z' +t' y' z'\
Si nous laissons de côté le cas y^y'==o où G est produit direct de } c j par \a, b, d, e, f\, g^' de figure (ii)(i)(ii), nous pouvons toujours faire y, = o,y'| = i, et en supposant
Y. = ï = o, y', = y'=I' on"
3 = 0, B = yz', V'^-J,
s'«[34=(3, yii"(3; + Vs(3/+(3'3'-h£'/^'-^
et l'on voit que les types de G, pouryy > 2, correspondent à
LES GROUI'ES D ORDRE p
DEUXIÈME CAS l p =: 2.
TypeS = ô' = o deG\A.
Comme on peut prendre c^bv-a} pour c, on peut toujours supposer X — [a = o, v = i; d'après les conditions d'ordre, les équations de G non communes à tous les types seront
d'-=c, e^=zc-<b^a'^, p—ctb^a'^', e'^de—f'df—dc.
Le changement de générateurs le plus général conservant cette forme des équations de G doit vérifier ^"^yj"=;o, 'Q'=^\, yz^E^y' z'=^o et fournit sur les exposants des équations d(^ G la transformation
r,a, + r/(3, =(3y' + (3'5, r,«', + r/[3; =pj'+(3'^',
Ça, + r (3, + y,^ yj + /s, £a', -h Ç'(3', + ■/, ^ y/ + y'^'.
Des quatre premières on tire : a, ^\ + ^,a', E^aj3'4- [5a' et en remarquant que les deux seules hypothèses possibles sont : y = s' = i , j' = :; = o et j = ^' = o, j' = ^ = i , on voit que l'on a a,EEE^;EEEEO toujours et seulement si l'on a a^j35=£o ou a'^ P'^o. S'il n'en est pas ainsi, on peut faire a, = o, j3, = i, et en supposant a, == a = o, ^, = ^ = 1, on a a',E^a'. Si a' estE^i, en prenant ^ = s', yj = j'+ ^ s', i'=^, ?]':=/ + j3'^, on. obtient ^', = 0; si a' est ^o, on a ^'^o, iseej -4- jî's, j^'^^j'+p^', d'où, en ajoui tant, P'i Hs^'. Si l'on a a;^pE^o ou a's^ j^'s^o, on peut faire a,^ P,:e^o, et, en supp* sant a, = a = [3, = [3 = o, on a
on a donc a,ssP'|E^EEo toujours et seulement si l'on a a'sEs j3'sïso, et si cette conditio n'est pas remplie, on peut faire a', — o, P, = i. On peut donc toujours faire sur a, p, a', p' l'une des cinq hypothèses
avec a,, p,, a',, (3', = a, [3, a', j3'.
Dans l'hypothèse a = p' = o, |3 = a'=i on peut toujours faire y, = y'i = o, d'où le
type
Dans l'hypothèse a = p = a' = [3' = o, on a y, + yî^sEsy + y' et y,y',ïEsyy', d'où les trois types
* FIGURE (lll)(l)(ll). , ^5
Dans l'hypothèse a = j3 = a'= o, P'= i, on peut faire y', = o, et en supposafit y', = y'= o, on peut faire y, = o en prenant j = o, j' = i, (^'= y, d'où le type
a = (3 = a'=-/ = y' = o, (3'=i. Dans l'hypothèse a ^ a' = ^' = o, j3 = i , on voit de même qu'il n'y a qu'un type
Dans l'hypothèse a = a'= o, [3 = ^'= i, on peut faire y, = oet, en supposant y, =y = o. on a y'i ^y', d'où les deux types
Type5 = ^'=\ deG\K.
On voit comme pour le premier type de G ] A qu'on peut toujours ramener les équations de G, non communes à tous les types, à la forme
d'-:=c, e'-^dc^h^a'^, f- — dct h^' a«-' , e-^de — dc, f-'^df—d.
Le changement de générateurs le plus général conservant cette forme d'équations est, en tenant compte des conditions,
a, = c^6V<^ bi-=c^b'^ cfi , Ci = c, dt = dc''', e,—/^ed-^c'b''a'', ft=fd-''c''b'''a"', ^r,'— Y)|'=i
et fournit, pour les exposants des équations de G, la transformation
w, + r)'(3,EEE(3 + [3's, Yjoc'i + r/p'.-p',
•27' + y', + Çai-HÇ'(3, EEEy + (y'-t-i)3, y', + Ça', -t- Ç'!3', =y';
on voit alors qu'il y a six types de G correspondant à
«'=(3' = o, oc = o, (3 = 0,1, y — o, y' = o, i;
« = o, |3'=i, ot = 0,1, (3 = y=:y'=:o.
LES GROUPES D ORDRE /j"
Figure (11)(1111).
