Les équations de G auront la forme
aP=:bP=i, cP=bPa'^, dp—b^'ao-', eP = b?' a""' , fp—b^'a'^',
d-^cd=cb'^ai, e-^ce= ob'^at, f'^^cf—cb'>"ar, e-^de — db'^a^, f-'^ df^dbV-' a^' , f-^ej = eb-'a^.
Les conditions d'ordre sont toujours vérifiées, la condition de figure est qu'un déterminant au moins de la matrice
soit ^o.
On établit facilement
les formules
^ :=^ y x' y -h y' x' s 4- y"a;' u -+■ êy' z + §'v' u -ht^z' u,
K = X^'j ^Vœ' z -+- \"x' u ■+- [xy'z -h II' y u -\-i)z' II,
(/''e^^Wy'c^')-' {f<^ e- dr 0=") {f"'e~dy'c='') — f e- dr c^ b^' a^' ,
W = y{xy' — yx') + y' {xz' — zx') -^ y" {xu' — ux') + o{yz' — zy' ) -^ è' {y u' — «/ ) + Ç(5i/— «^
YJ = l{xy' — yx')^l'{xz' — zx')+\"{xu'—ux')-^lx{yz' — zy')+[>.'{yu'—iiy') + -j{zu'—uz'\
(Nous formerons des expressions désignées par H", K", H", K'" en remplaçant dans H' et K' x', y, z', u' par x", y, z", u", x'", y", z'", u'" ; des expressions désignées par H"'K"' e remplaçant dans H", K", H'", K'" les quantités x,y, z, u par x',y, z', u' des expressions désignées parH" ", K""'en remplaçant dans H '"'K'"' les quantités a;', y, z', u par a?", j", s", a".)
{f'e'dyc'')P=b^pa^P, Hp= XX + x'y + «"^4- (x"u -hs{yxy -h y' xz +y"xu -\-èyz + è' y u -ir^su), Kp=: (3a?H- (3'j 4- ^"z + (5" M -^-tÇkxy -\-Vxz -irH'xu -^- [i-yz -^ n'yu + vzu).
(Nous formerons successivement des expressions désignées par H^, K^^, H^, K^, H™, K en ajoutant chaque fois un accent aux lettres x, y, z, u de H^, K^.)
Le changement de générateurs le plus général conservant la forme des équations est
a^b-^a^, b^—b-^'aS', Ci=f"e-dyc''b''a'',
d^— f"' e~ dy' C^ b'''a'''.
-- f^" e-" dy" c^' b''' a''' , /, — f' e-' dy" d'' b''' a"'
FIGURE (ll)(l I I l).
avec
(^Y)' — O^o et
II'
II
les relations qui en résultent entre les anciennes et les nouvelles valeurs des exposants ,sont
r)yi + Yi'X, = K',
Y)«, + Yl' j3i s Kp, fix'i -H Y], (3', EH K;,, r)a"i 4- r/ (3",
ny'; + -n'X';sHK% r)Ç, + Yi'v, =K"',
La discussion directe de ces formules étant compliquée, nous allons d'abord séparer les types de G en classes distinctes, au moyen de considérations empruntées à la théorie générale des groupes.
Nous distinguerons d'abord entre les types de G où le commutant est cyclique et ceux où le commutant est le central ; dans ce dernier cas, ou bien il existe un élément c non normal tel que le p.' p. c. m. des commutateurs c~' g~*cg, g parcourant G soit d'ordre p, ou bien un tel élément n'existe pas. On peut voir que dans ces deux hypothèses G contient un gp' abélien. Soil, en effet, dans la première hypothèse, / un élément non permutable à c, on aura par un choix convenable de a
d-^cd = coi,
'ce:
: caï', f~^cf:=.ca
et \a, h,c, f~^d\ est un g^/ abélien. Dans la deuxième hypothèse, on aura quel que soit c
d-^cd=icb^ay, e~^ce^=ca, f-^cf=icb
et j a, b, c,f~^e~^d\ est un g,/ abélien.
Les conditions de figure exigent d'ailleurs que G n'ait pas de gy abélien, car, s'il en a un, ses équations peuvent prendre la forme
d-'^cd = e-''ce — c, f-^cf=ca, e~^de = d, f-^df—db'f-a^, f-^ ef =z ef a^,
OU, si l'on prend dc~^ pour d, ec~^ pour e,
d-icd = e-^ce = c, f-^cf—ca, e-'de = d, f-^dfz=dbV; f-^ef—eb''.
j^ TES CROUPES d'ordre p* .
OU, si l'on prend b^ pour A (il faut [/.v ^ o),
d 'cd:=ze-'ve~c, f-'cf=:ca, c'de^d, f-'df—dh.
tUf=eb\
mais alors eâr^ est normal.
Lorsque le p. p. c. m. des commutateurs c-' g~'cg est d'ordre p, le g,,» non abélien \a, b,c,f-f(/, rf-T'e| où c est normal est de figure (iii)(ii). Inversement, si G contient ung^/de figure (i ii)(ii) \a, b, c, cl, e j où c est normal, le p. p. c. m. des commutateurs c-'-g-'cg, c parcourant G, est d'ordre p. La première hypothèse équivaut donc à celle-ci : G contient un g^» de figure (i i i)(i i)-
Premier cas. — Le commutant de G est cyclique. 27. On sait (' ) que les équations de G peuvent prendre la forme suivante :
aP = hP=:i, cP=b?a'', dP—b^'a'^', eP—b^"a'^", /P=b^"a^", d-'cd—ca, e-''ce = c, f-'cf=c, e-~'de — d, f-^df—d, f^'ef—ea.
Si l'on a ^ = ^'=^"^e^'^"'^o, G est produit direct par jèl du g-/ \a, c, d, e,f\ de figure (i) (il r i) dont nous counaissons les deux types. Nous supposerons donc que l'on n'a pas ^^^'^ ^"^^"'ssso. Comme G] j é j est un g^» de figure (i)(iiii), les équations s mod i 6 j pourront être réduites à
€'•=«=', dP=a'^, eP = fP=i,
pour p ^ 3),
(a=ra'=:o, arzza'rri pour /j = 2),
et les équations absolues de G auront la forme
c"=6M, dp=b?'a'^', cPz=bP"', fp=b?", d-'cd=cb'^a, e-'ce = cb'>', /-'c/=r cè> ', e-'de — dbV-', f-^df = dbV-, f'^ef—eWa.
l'hypothèse exigeant X — veesVe^jj.'^V'^[ji."^o, les équations seront en prenant J^a.| pourrt
cP—b^a'>-, dP=b^'a'^', eP=b?', fp—b?', d~^cd=^ca, e~''ce = c, f-'^cf^=c, e''de=zd, f-^df^d, f-^e/^ ea,
et l'on peut toujours supposer a = o ou i , a' = o pour /> > 2, a = a' = o ou a = a' = i pour ;> = 2.
(*) De Séguier, Élémentx de la théorie des groupes abstraits, n°' 143-14-6.
FIGURE (il) (il II). nn
En prenant fe'd^c'' (x^o, <^^x-h [3'j'+ ^"s + ^"«^i) pour c, ed'"' pour e, fd-^'''" pour/, puis e* pour e, a* poura, on obtient cP — ba'^ tout en conservantia forme des autres équations. En prenant /""e'" pour «./"'"e^" pour/ ((^"z" -i- f^"'u"=o, z"u"' - z"'u"~i), on obtient e''= i. Les équations de G non encore simplifiées prennent alors la forme
c = ba'^, di' z=. 0?', eP—\, fp— b?'", ( a = o, i ).
Les formules de la transformation la plus générale résultant d'un changement de générateurs conservant les exposants déjà fixés sauf a sont
1 = ^/ —yx' +zu' —uz' = x" y" — y" x" -\- z" a" — u" z" , ï) = o, |ï)'^o. o~xy" —yx" -^zit" —uz" = xy'" —yx" -\-zu" ~uz"', o=x'y" — y'x"~\-z'u" — u' z" ^ x' y'" — y' x'" -+- z' «'" — u" z" ,
^ai+^' = «^, Yi' =x +(3'y -+-^'"11,
l' p; = ax', r/ (3; E=x' + |3'/ + (3'" li,
o =ax", o = x" + ^' y" + ^"' u" ,
^'(37 ^ax-"', Y)'[37=a;"'+(3'/"+(3"'M"'.
Ces formules montrent que, si l'on a a = i, P'i^^"'e^o, on peut, en prenant ^'=ri', faire a, = o. Nous aurons donc à examiner deux cas seulement :
oc.— o, alors le groupe P des /j-ièmes puissances des éléments de G est d'ordre ^p,
a = I, p', p'" n'étant pas tous deux ^o, alors P est d'ordre/?-.
Soit d'abord a, = a = i. Si j3' est ^o, on ne peut faire p, = o, car on aurait a;';;==y==«'==a;"^j"EEHM"E:so, donc Dî^o; mais on voit directement que, en prenante^' pour c, e^' pour e, aP' poura, ^P' pour b, on obtient d''=^b, puis qu'en prenant /c/^f*'" pour/, eP"'f pour c on obtient/'' = i. On a donc le type
dp—b, fp—i.
Si p' est s^o, donc ^'"^o, on peut, en prenant /P'""' pour/, e^'" pour e, obtenir //"= b. On a donc le type
dp=i, fP—b.
Soit maintenant a = o. Si l'on prend dc~^ pour d, on a </''= i ; puis, en prenant /c~P"'
pour/", e~P'"<:/ pour rf, on a/''=i, sans que les autres équations changent. On a donc un
seul type :
cP=ib, dP---eP=fP—i.
' II y a trente systèmes (aa'[3 j3'p"j3"') correspondant aux quinze systèmes ([3^'^"^'") autres que (oooo). Nous désignerons les systèmes (i i j3 P' [3" p'") par a, b, . . . , les systèmes correspondants (ooj3 p'^''^'") par a', b', .... Soit, en sous-entendant (aa'),
a==(iooo), b=:(oioo), c = (ooio), d = (oooi), e=:(iioo), f = (ioio), g=:(iooi), h=(oiio), i=(oioi), jr=(ooii), k=:(0IIl), 1 =(lOIl), m=(iioi), n=(iiio), p=r(llll),
a, b, .... a', b', . . . désigneront aussi les types de G correspondant à ces divers systèmes d'exposants.
On voit directement sur les équations que, en prenant c pour d et d pour c, on ramène b à a, b' à a', h à f, h' à f, i à g, i' à g', 1 à k, là k'; si l'on prend e pour / et/pour e, on ramène d, d', g, g , n, n' respectivement à c, c', f, f, m, m'; si l'on prend c pour e, e pour c, rf pour/,/pour (/, on ramène j', m', c' respectivement à e', k', a'; si l'on prend ba pour b, on ramène e à e'; si l'on prend de pour d, on ramène a, f, 1 respectivement à e, n, p. Tous les types distincts sont donc obtenus en prenant seulement a, c, f, j, k, a', f, k', p'.
En formant pour chacun de ces types les carrés de quinze éléments ^ i et indépendants mod A, on voit que c et k ont modA un seul e^; a, f, j, k' en ont trois; a', f, p en ont cinq.
Or le changement de générateurs
c, = c, c?, = edc, ramène k ii c. Les changements de générateurs
f^=fec
c,= c, di=/d, ei=fec, fi=f,
Ct=/dc, di=/e, e^—fed, /,r=/ec, bi=^ba, c^zr^fc, d^=Lfec, e, = c, f-^^z^de
ramènent respectivement f, j, k' à a. Les changements
Z',= ha. Cl =: de.
di=fd, e, = fedc, /, — /,
rf, = fedc, e, = ec, f\=fc.
ramènent respectivement f, p' à a'. Il y a donc trois types
C*=: rf*=r a.
FIGURE (l l)(l II l).
Deuxième cas.— G a poun commutant le centrai, et contient un g,/ de figure (i i i)(i i).
28. En prenant pour cinq des générateurs de G les générateurs de ce g^» (qui contient le central, ici p. g. c. d. des g^,»), les équations de G qui n'expriment pas les puissances/j-ièmes sont
d-^cd=e'^ce — c, f' cf= cH'cû, e-^de = da, f^Ulf =. dltV- a^ , f-^e/=eh'' a-.
Si l'on prend /e~'^<i^ pour/, on obtient f~*df= db^, f~^ ef^ eb'. Le commutant n'étant pas cyclique on n'a pas X^ui^v^o, on peut donc prendre pour c un élément e~d'c'' tel que l'on ait x^o, "kx -h uj -i- v z ss i ; en prenant ensuite dcr^ pour d, ec~'' pour r, puis/e~^a pour/et enfin ba'< pour i, on obtient
d'cd r=: e^'ce =z c, /~^c/^= cO, e 'de =: da, /~'d/=: d, /''e/:=e.
Le changement de générateurs conservant la forme des équations doit vérifier l'un des deux systèmes de conditions
^ \ r: = x=u^x''=u"'^o, f) = x'i,"—u'x", l^^yz^—zf, r,>' ^ o.
, r, =xu' — ux'=xu"—ux'' = x'u"—ux"=x'a"—u'x"'~x"u"'—u"x"~o, * ^ ^ r^^y^z^y^ z" ^ o, l ^y z-- z'y, r/ ^ xa"- ux", lr>' ^ o,
et les relations entre les anciennes et les nouvelles valeurs des exposants sont, si l'on suppose (A) véi'ifié,
^'(3', = oLx' 4- «'"«', Y)«', = ^x' ■+■ P'"u' + tx' li,
^i^\ = 0Lx' -i-CA" u", -^iaî s (3 x" + P'" u" +tx"u\
et, si l'on suppose (B) vérifié,
2a, = oto- -^ al" u, t/(3, = j3a- 4-^'"" -^zxit,
?«; ^ a^y + «"=■ + tyz\ •o'P;'^ (3'/ + ^'z-,
lx[ ^ oL-y + a"^' + £/'-", r/ (3; = p^" + (3' ^",
1x1= eux" 4- «'"«", ^'(3';'s ^x" -H [3"'«"'4- £^"«"'.
Pour que l'on puisse faire a, = a';' = o, (A) exige ^'=^"=0 et(B) exige a. = «."'-^.o. i" Supposons qu'aucune de ces conditions ne soit remplie et prenons avec (B)
h ((xx" -î- a" //"' ) ~ P'y" + (3" z",
on oi)tienta, ïEE^',sso, a'j = ^';ess i . En supposant a, = a = ^ ', = ^' — o, a,' = a"=Jiï — !i"= i . on a avec (A)
x'yz"ii"^o.
z = II' = o, e= u' = yz", ï) = 5" EEi .r' a" z"p,= x', u"o^\ = p, u"^'l=oi'y"^oi"z"', y''a'; = ,3x"+,5"'(/",
et avec (B)
ixii", .ry'z"n"^o.
z'=u = o, l~u"' = y'z", Yi' = "«; = «', u"'^^=^, u"'x\=oi'y"+x"z" z"'^";=^x"'^'fi"u".
Pour que l'on puisse faire a', see^o, (A) exige ^e^o et (B) x'e^o. Supposons a'P ^ o,et prenons avec (B) :
z'^x', ""'=p, x=/-'sa'3-', j-' = ~x", ^•"'^-p'", x' = II' = x' ^- u" =0^ nous avons y.\ œee fi, ess i , a'| s^ pî's= o, d'où le type
ci'—b, di'~a, ei'=b, fi'—a.
Supposons a'^E^o, on peut faire a', = o, soit donc a', = a'= o, on voit que ji, est sso toujours et seulement si ^ est eee?o. Supposons P^o, (A) est impossible, (B) exige ^,^o; et, en prenant avec (B) h'ss^, a:-°'=s— ^"', on obtient P,;eesi, jî'i'sso. Soit fl=^, = i, ^"=P"'=o, doncu^EEEEi, x'"^o, a';=EEa"s". Si a" estïsïo, on a a'^^so, et si a" est ^o en prenant avec (B) z"^^ci."-\ on obtient a", seei, d'où les deux types
d' = b, di' :
ei> = b, fi' = a ; c'' = />, il'' — i , e'' r= 6f/, /'' — n.
Supposons ^ donc |5,hsso, on voit que les deux cas a" ^'"seo, a"^"pÉo, sont irréductibles l'un à l'autre. Si a"j3"' est ^ o, on peut faire a.\^EEèi, et, en supposant a", = a"=i, on a rli^P'% d'où /p - i types
c":^d''=i, eP=zba, fi'-^bP'a, (;3"'-. i , 2, ...,/> — i).
FIGURE (ll)(l II l). 83
Si a"[3"' est = :o, on voit les doux types
cl' = di' =1, ei'=b, fi' = ba ; t'' = cV' = i , e'' — b, fi' = a.
■i." Supposons maintenant a ^; a'" sso ou ^'eeeeeP"£sso, on peut faire a| = a'j'=o. Soit donc 'j.^ — rf. — a'i'— %" — o. Si l'on n'a pas P'eesP"sho, (A) est impossible, et d'après (B) on trouve les types correspondant à
p'=o, f3"=t, p = o, (3"'-o,i, «'=1, «"=0. si l'on a ^'sseP"e.^o, on trouve qu'il y a trois types distincts correspondant à
a'={3 = o, s!"=ij3"'=i; a'=a"=:o, (3 = o, ^"'— i: «'=«"= (3 = (3"= i.
Les formes quadratiques irréductibles qui se rencontrent dans les seconds membres montrent que, si l'on a a'^sa"^ ^^^'"rjisi, on a nécessairement a', ^a", ees jB,E^[i'î'?s i. Dans ce cas on trouve, comme précédemment, qu'il y a trois types distincts correspondant à
En dehors de ce cas on peut faire a', = %\ = o. Soit donc a', = a'= aj = a"= o. Si l'on a j3 EEE p'" EEH I , (A) est impossible, (B) exige ^,esP'|';esi, j'^'s^y"^";ssEo et montre qu'il y a six types distincts correspondant à
a = o, a'" =0,1, (3'={3"=ro; Ot =r o, 0c"':;=O,I, j3'::=0,I, (3"r=I.
Si l'on n'a pas j3e^^'"5:^i, on peut faire ^, = p,"= o; en supposant p, = [3 = ^f\= ^"= o, et remarquant d'abord que tout système (a a'") peut se ramènera l'un des trois systèmes irréductibles entre eux (i i), (o i), (o o), on voit que les types distincts correspondent à :
a = a"'=^'=:|3"::=i; ût = se" = I , |3' = o, i3"=:o,i;
a=ro, a"'=i:i, [3' = o, (3"=o,i; « = 0, «'"^i, (3'=(3"=i;
a = «"=o, 3'=l3"=o; ocrra"=o, (3' = o,i, (3"=i.
TROISIÈME CAS. — G A POUR COMMUTANT LE CENTRAL ET i\E CONTIENT PAS DE G^s DE FIGURE (lll)(ll).
29. On a vu (26) que G contient toujours un gy abélien contenant le central, et (jue riiypotbèse équivaut à celle-ci : les commutateurs de tout élément non normal, relativement.aux autres éléments de G, engendrent tout le central.
LES GROl'PES I) ORDRE p"
îë^eqûâTîôn^î^^u' n'entrent pas les puissances /)-iëmes péuven^rendre laiornîc
<l-'cd=,
e'ce =: ca.
f-'cf--
e'^de^dbV-aP, f-^ df — dbV-a'' , f-^ef—eW
ulitic
ao
oa ^ o.
nécessaires t;i. ou v ^ o, o ou l ^ En prenant /c"^ pour/, ec-'' pour/, on a f-^ ef = e, donc o'^ o, on peut alors prendre (!'''' pour d, ce qui donne f'^df ^ dh^'a, puis r/c^^ pour d, ce qui donne c^de =^ db^. Les équations de G sont alors ramenées à la forme
d-^cd^rzc, e-^cez=ca, f-^cf^i cb, e-'de = db^, /-U//~db^'a, /-'e/=^e.
Cherchons la condition suffisante pour que l'hypothèse soit vérifiée. Le p. p. c. m. des commutateurs relatifs à tous les éléments de G et à un élément /"e'J-'c^ est
\b'"a-', b-V-'—V^'oa-", b\>-ya^, b^+V-'yca \.
Pour que ce soit un g^, il faut et il suffit que tous les déterminants de la matric
"' - ~~ " ■' y soient SES o, c'est-k-dire que l'on ait
— Il —ij.z—p.'ii [xy .r-i-p.y ^
( «7 ) O = ;:/ 3^ H- |x' ^ « — m' =; ^ '■' -h fi' jcy — fx j- E^p.yz — a'«HE;(j?H-pi'y) — yu ^^yii — a)( jxz-h /ji'm).
Pour que l'hypothèse soit vérifiée, il faut et il suffit que ces conditions entraînent
On a comme condition nécessaire ix^^i, et, pour que les équations («) n'aient pas d'autre solution que aj^jsisssMsso, il faut et il suffit que l'on ait jjl'ssi (sia'estsso, on a la solution x^^y^^z^u^i; si [jl' est^i, les deux premières congruences quadratiques sont irréductibles). Les équations de G où n'entrent pas les carrés peuvent donc prendre la forme
d'*cd= c, e~^ce =zca, f-^c/:^ cb, e~'^de:= db, f-'d/m dba, /~'^/~
et un changement de générateurs conservant ces équations doit vérifier
zjc'"
-yu -yu ■ vu
uy"
■ uy"
„ti
'X" 4- j M" — uy'
-ff,W -" yyl!f
o ^ xu
n ^ xu"
ri ^ xu" r/=x'u"
•(, + Ti'EH x' u'"
ux -^- yz — zy -\- yu — uy , ux" -\-yz" — zy" +j«" — uy" ux"' -t- yz" — zy" -+- yu"' — uy" ux" + yz" — z'y" -^ y u" — uy ux" -h y'z" — z'y" + y' u" —
IIGUKK (l l)(l I I l). H.)
Nous classerons d'abord les types de G d'après le nombre de leurs e^ non normaux. Tout Co sera normal toujours et seulement si Ho^^Kj^eso a pour solution unique •rHSîj^EESE^M^^o, c'est-à-dire si, pour chacun des quinze systèmes (xyzu) autres que (oooo), on a H. -f- Kj+ H^Kj^i, ce qui donne pour les exposants des équations de G :
x + ^x^^x'-h^'-hx^' = X' -+- ;3" -+- a" ;3" = a." -^ (3'" h- «'" [3'" = a;3' + «' ;3 = a" (3'" -t- |3" a" = i ,
( X ,- a") (I -+- P + (3") Hs ((3' + ;3") (H- «' -1- a") =: (|3 + (3") (i + « + a") = (a' -4- a") (^'+ ^"') = o,
( yj + ^'^ a") (I + p'+ (3"+ (3'") = (3t 4- «"+ a") ((3 + i3"-t- p'") = (a + «'+«■') (|3 + ;3'-i- (3") = o,
On trouve que les systèmes (g g, ^„ g,„ j vérifiant ces conditions sont :
0 ■ o ,N j^^/, o , oX ,^/o • • ■
1 o I o/ \i I I ly \i o o I
iioiN /iiio\ /lori
Or, on voit que les changements de générateurs
c, = c, d^ = dc, e,=:i, fy—fe,
c, = c, d^ — dc, e,=/, fy — e,
c^ — c, d, — d, Ct — ec, /i=/d,
c^^c, d^r=dc, eyT=fdc, f^^ii^ed,
c, =:c, d^^^dc, e, =r ec, f^-^fedc
ramènent a respectivement à b, c, d, e, f ; d'où un seul type
Supposons qu'il y ait un e^ c non normal. On sait (26) que c appartient à un g^i abélien, et que les commutateurs relatifs à c et aux autres éléments de G doivent engendrer (ont le central. Les équations de G peuvent donc prendre la forme
c'=i, d'-^b^a'^, e'=:6?a«', f'=b^'a'^'; d 'cd—c, e-^ce — ca, /-'c/=cb, e'de = dbV-a°, f-^/f—dbV-'a^', f-^ef—eb'a-.
Los changements de générateurs déjà employés pour réduire les équations de la deuxième ligne, dont aucun ne change c, peuvent être répétés ici, et ils ramènent ces équations à la forme
d-^cd^=c, e'^ce=.ca, f-^cf^icb, eUle^zdb, f-^df^=dba, f-^efz=.e.
Tout e^ sera dans ; a, b, c \ toujours et seulement si H^^seK^^o exige j'5=3=emsso,
8() LKS GROLI'KS 1)'0UI)I\K //'.
c'est-à-dire si, pour tout système Qryzu) autre que (jjooo), on a no + K.h- H.jK.^ i, ee qui
donne
a + -3.+ «;3 sH a' -+- p'+ a'[3'- a"4- (3"+ a"(3"E= s('(3" -h ^'=«"= 1 ,
a'(n-|3') = I3"(n- a") = (3 + (3') (I +« + «') = (=«.+ «") (P + P") = (« + ot'-t- «")(! + (3 + ;3'-4-|3") 3^ o, (=(' + «")(?■+ [3") = (« + a")(i + ri + |3") = (« + «') (?-^-i3'') = (|3 4-P'+(3")(n-« + ^'+«") = o.
On trouve qu'il n'y a pas de systèmes { ^ g, g„ j vérifiant ces équations. Ainsi il existe
toujours un q., hors de \a, h, c \, permutable ou non à c. Si cet e^ n'est pas permutable à c, les équations de G pourront prendre la forme
d-'cd:
c'ce — ca, f^U'f=cb, e~^de = dbV-a'', f-^ df zrz dbV'cfi , f^^ef—eWa-,
avec les conditions nécessaires p. + v + [av;^ [ji.S'+ o[j.'^'( + o'-i- 'Co's^ r . En prenant /"r^ pour /, on n f-*ef = eh'' et il faut o'^s r ; en prenant dc~'' pour d, on a e~Ve = db^i et il faut p.^^i; en prenant alors /r/" pour / on a f~^ef=^e, et l'on a vu qu'alors i| faut [j.'^Hi ; les équations de la deuxième ligne peuvent donc prendre la forme
d''cd = c, e~'(:e=zca, f 'c/^:c!i, e 'dc^^db, / ' df :^ dba, / ' ef = e.
Clierchons à exprimer qu'il n'existe pas deux e^ indépendants mod ]a,b\ qui soient permutables, autrement dit que G n'a pas de gi^ abélien principal, c'est-à-dire que l'on ne peut pas trouver g ^ f"e-d-(f , g' =. f"' e' d>' c^' tels que l'on ait g-^^ g'- = i, g'~' gg' = g^
étant ^o. La permutabilité de g, g' esl
un déterminant au moins de exprimée par
■ zx -\-yii — Il y
Il X ■+- )■;
équations vérifiées par trente systèmes l"', -^i
ayant un déterminant au moins
o. Les conditions g- = g''^ ~ i exigent que {x y z u), (x' y' z' u') soient deuj systèmes de solutions de
ay -!- Cf.' Il +■ X z -v- y H = 3 / + ^' M -t- X u + y z + y 11 ^ o.
La condition cherchée est donc que ces deux équations n'aient pas deux systèmes de solutions formant une des trente matrices précédemment trouvées. On trouve que les
systèmes f g qA pour lesquels cette condition est remplie, sont :
FlGURi: (l l) (l I I l).
Les cliangemcnts de générateurs
rt, T=: a, rt, =: a.
ht— h, c,=:c,
h, = ùa, c,—/c,
b, = lia, r, — c.
hi ^=ba, b,= b.
ZC, -C,
d, z=z d, c/, ' - edc\
<l\ — (le, (7, =1 de, dj — d.
^fc,
e, = c, e, = ed.
ramènent la forme d'équations a respectivement aux formes b, d, e, f, g. Un changement ramenant la forme a à la forme c doit vérifier, outre les équations (i) à (G),
(lO)
0 ^i ./'C -i- Y II,
1 ^.f'"z"'-^Y"'ll"',
O Bs y +11 -\- j-ii + yz +yii, f) "^ y + II' -\- x' II' + y' z' + y' II' , o =y" + II" + jc"ii" +y"z"+y"ii", ■n Hs y'" -+- II'" -h jv" II'" + f'z'" + /' II'".
On trouve, en essayant les dilTérenls systèmes de solutions des équations (i), (7), (()), (2), (4), (3), ((3), lesquelles déterminent complètement le changement de générateurs, (|u'auciin de ces systèmes ne vérifie simultanément (8) et (10), Il y a donc deux types distincts de G,
dK=b,
Pr^-b;
n'ayant aucun g|„ abélien principal.
Supposons maintenant que G ait un g|„ abélien principal \a, b,c, d\, les équations de G auront la forme
c'=d'-—\, e-—bPa=', f' = b'>' a^' , d-'cd=rc, e-'ce = ca, f'cf-cb, e ' de — dbV-cfi, / ' d/— dbV-' tfi', f'',-f~<d)'n^
avec les conditions a -i- v + p.v e£s tjio' + gix'eeee'C 4- 0' + "Co'eesi. En prenant ec' pour c, fc' pour y on a/~' ef= e, donc /~'d/=^ M^'a; en prenant c/c^ pour d on a e~'d(; = dh^, donc e~' de = db, et l'on voit comme précédemment qu'il faut ^'^^ i pour qu'il n'y ait pas de g:j2 de figure (1 1 i)(ii); la deuxième ligne se ramène donc à
d U:d — c, e-^Cf — cn, fhf--zcb, tr^de = db, fUlf~dba, /'(■/= r.
Vn calcul déjà plusieurs fois répété montre qu'il y a toujours des Cj hors de | a, b,c,d\, les équations de G peuvent donc se mettre sous la forme
d-'cd—c, ,r'cc — ca, f'cf-.cb, e 'de - dhV-cfi, f UIJ - db'!-' <^' , f -'ef z^. cW a-,
{\i. -t- V + ,av =^ fjto' + oft' = Ç + ô' + î-î' 32 1 ).
88 LKS OROUPKS I) oninu', //'.
Le cliangement de générateurs fait dans le cas où il n'y a pas de g,„ abélien principal ramène la deuxième ligne à la forme
(I 'cd = c, e-'cc~ca, f 'cf~ch, c-'dc — dh. f 'clf—.dba, f-','f—e
sans changer la forme de la première. •
Il y a quatre formes d'équations possibles, correspondant aux quatre systèmes ( a, ■^) (jui sont : a = (o o), b = (o i), c = (i o), d = (i i). Un changement de générateurs effectué sur la forme a et conservant la forme réduite des équations de G doit vérifier, outre les équations (i) à (6),
j o EE= ,/■; + y II ^E^ X z -^ y II = X u -+■ y u ,
{ o :h: x w -h j'; -\- y u ^Ei x' u' -i- y' z' + /' «' = .v" u" -\- y" z" + y" u"
et il détermine a,, [5l, par
( 8 ) ïa, + 4' ;3, = x'" z"' + y'" a", ne, -+- t/ ;3,
(7) et (G) montrent que les seules déterminations possibles de i^x"'Y'"z"'u"') sont (1000), (0100) (0010), (0001), (1100), (ooii),
donnant toutes a, ss j3, ee^o, donc conservant la forme a. On voit ensuite que les changements de générateurs
«1 := ab-, rti= a.
h^^b, c'i = c, f/, = de, c^ =fcdc, /, = fd,
hf = ba, c,=;r, d^-=dc, r?, = e, f\'^f'^
ramènent la forme b respectivement aux formes C et d. D'où deux types de G ayant un g,
abélien principal
lesi
Si [jl'' + 4îJ- est non carré, les doux premières congruences (a) sont irréductibi si ^'^-h^tj. est carré, on peut vérifier toutes les équations (a) en prenant xbe^— t.,y,^ u^t,z, /, et t., étant les deux racines de t^ — i^'t — [xeeso. Donc l'hypothèse qu'il n'y a pas de g/- de figure (11 1) (11) est vérifiée toujours et seulement si u." -f- /jacst non carré.
Faisons le changement de générateurs le plus général conservant aux dernières équations de G la forme
d^^cd = c, e-^ce = ca, /-'c/=cl>, c-^dc=idbV; / 'df=:zdbi''a, f'^ef=e.
FIGURE (ll)(l I I l). 89
les douze premières formules de la transformation générale deviennent :
(1) o ^ a?:' — zx -h y II' — Mj',
(2) o = xh' — iix' -hfxiyz. —,zy') i^ [j.' {y ,1' — iiy'),
(3) ■E.^xz" -zx" +yit"-uy",
(I) t] EEB X u" — ux" -hiJ-{yz"—zy") + ix'(yu"—uy"),
(5) l' = xz"' —zx'" +yu"' — „y"\
(6) T)'= j7m" — ux" -+- iJ.{yz"'— zy" ) + ^'\yii'"— ny'"),
(8) Y)>, = x' u" — a' x" ^ ij.{y' z" — z' y" ) + p! {y' a" — a' y" ),
(10) r, 4- -n fJi', = x' u'" - «' x'" + jJi (.>■' z'"— z'y'" ) -^ p.' (y' a'" — n'y" ),
(II) o = x"5"' — i:"x"' +/'«"—«"/',
(12) o = x"u'"— a"x'"+ ix{y"z'"—z"y'") + ^' {f „'" — li'y'").
Si l'on prend
on obtient [x', = o. Supposons donc [x', = [a' = o, donc \j. non carré; en prenant
ïi = 0
Y)"=fJlN-',
II" = 0
on obtient a, = N, non carré arbitraire. On peut donc toujours réduire ix, jx' aux valeurs N. opar un changement de générateurs dans lequel on a i — a7= 1 , ^' = x' = a;"= x" = o. Le changement de générateurs le plus général conservant aux dernières équations de G la forme réduite
d 'crt—c, e ^cez=cri, f 'c/—cù, e^dc — db^, f Ulf—da, f"^cf~i'
vérifie les douze équations obtenues en faisant dans les formules (1) à (12) [x, = [x = N, [X, = ix'= o. Ces équations peuvent être simplifiées.
Comme on ne peutavoir arssjF^fsssf^ai^i^so, on ne peut avoir a;- — Nj'-;^Ns- — u^^^o. I'. v>.
go LV.S GHOb'l'ES I) OUDKE //'.
Supposons, par exemple, (.a?- - Nj')^ o; les équations (i) et (2) résolues en z' cl u' donnent
(^î iXyî) w' = — N/ (-j;' -h «/ ) +^( «.2;' + Ni!v' ).
Ces valeurs portées dans les équations (7) et (8) donnent
(7) \—x{z^:'-i-uy)+y(uj;' + l^zy')]œ"
(8) [N7(5y+ u/) — .r{tix' + Nsy')]a;''
En combinant linéairement les équations (3) et (4) avec chacune des équations (7) et (8), on trouve
N(x/ — y.r')£ -4- (xj' — Nj/)-/! = Nn'(.r'— Ny').
En opérant sur les équations (i), (2), (5), (G), (9), (10), comme on vient de le taire
sur (i), (2), (3), (4), (7)' (^'^)' on t''ou^'e
F.es trois expressions xx'—'Hyy, xy' — yx et a;^ — Nj-^o vérifiant quatre équat linéaires et homogènes, il faut que tous les déterminants de
N^' Nyi' l Y)
soient isso. Donc, en remarquant que l'on doil avoir ^yj' — iq^'^o, on a les deux ditions
N-o'(r,Y)'— N2ï') + N^;'(y)Ï'— ÏY)') + r)(N|2— -0^) qui donnent
et, par suite,
|'=WY1, •fl' = &)N£, wN==:±l.
con-^
On a donc entre \ el /] les deux relations
FIGURE (l l)(l I I l). qi
Comme on n'a pas ^ï:^ yjEEEO, le délerminant de ces deux équations est sso, ce qui exige
.rj"'— N/j' =0, jry — jj-' toN (./■'— ^y-) = o, et, par suite,
d'oii l'on conclut
Si l'on était parti de l'hypothèse N:' — «^ p^ o, un calcul tout semblable aurait conduit aux mêmes résultats.
lin opérant respectivement sur les é(|uations (i i"), (12), (3), (4), (5). (6), (7), (8), (9), (10) comme on a t'ait sur les équations (1). (2), (3), (4), (7), (8), (5), (G), (9), (10) on trouve
x"=(^l^y", y"'=<^x", :"=&)«", «"'=t.jN:;".
Les conditions (i) à (12) se réduisent alors aux deux seules équations (3) et (4), jtes les autres raie deviennent
toutes les autres étant vérifiées; et les huit dernières formules de la transformation gêné
( 1 3 ) ^«1 H- wri,3i = (XX -+- ex.' y H- «"3 + a'" u,
( >4 ) riJt, + wN£;3, = P>.x -f- P'/ + (3"5 + i3"'«,
(là) la', -t- (or)(3', = &)N(atN v-H a'j^H- a"« H- «"N:),
117) la", + wri;3'; = a^" + «' j" + «" -" + «'" u" ,]
(18) r,a", + (o N ïj3", = ^x" + (3'/" + |3" c" + (3" «",
(19) ioL'l -^u>r^P>"[ = w ( a N /" -H a' ^" -H ot" z" -+- a'" m" ),
(20) Y)3!';'+ o)Nt(3';'= oj(pN/'-t- [3'^"4- P"«"+ P"'N;"),
Le déterminant commun des seconds membres est
Avant de discuter ces formules, remarquons qu'il est possible de simplifier les équations de G. Les équations du groupe quotient G\\b\ sont en effet
ai'=\, ci'=a<^, di' = a'^', ci' = a'^\ //' = a«", I d'cd = c e-^^ce^ca, f^'cf—e, e-'dc = d, f'^df—da, f-'ef^c\ ' '
G|j 6j est donc un g^. de figure (i)(i 1 1 1) <lont il existe deux types correspondant ici à
92 i,Es ciioii'r.s 11 or.DfiE /> .
Les ('(jnations de G auront donc les deux formes générales
ai'-=bi'=:\, ' ci'—b'î^a'^, d''=h?', ei'=bf^', f'>—b'^" (3: = o, i), d^cd = cb^\ c^ce = cb'''a, f 'c/=::cb'", e-^de=dbV; f ^^df=dbV-a, f~^ef—eU'.
Kn prenant l?' a pour a, on peut faire X'= o. On ne peut avoir X^V'e^o, sans quoi le p. p. c. m. des commutateurs c~^ g"^ cg, g parcourante, serait d'ordre/?, donc, comme on l'a vu, G contiendrait un g^ de figure (i i i)(i i), contrairement à l'hypothèse. Si À" est ^ o, en prenant //" pour h, on peut faire A" = i. Si A" est eeeo, donc'A^o, en prenant fcP' pour /', on peut encore faire A"=i. En prenant /"'rf pour rf on peut faire A = o. Il faut (xpzèo, sans quoi le p. p. c. m. des commutateurs û?"'^~'^^, g parcourant G, serait d'ordre /;; on peut donc, en prenant fd"'^'' pour/, faire v = o. Aucun des changements de générateurs faits jusqu'ici ne change la valeur de a; il en est de même pour celui qui ramène \i. x' aux valeurs N, o et dans lequel on a ^ = a; = i , ^ = a::':= x" = .2;'"= o. Les deux formes générales des équations de G sont donc,
d ' cdz= c,
di' = b?', ei' ; f-'cf=cb,
b?', f'^br,
de-db^, f 'df—da, f'ef-
Remarquons que le groupe P des puissances /j-ièmes des éléments de G est d'ordre/* toujours et seulement si l'on a a = o ou hien a — i, [3'e=s; ^"see ^'"eeeeo. Il est facile de voir que, en supposant a = [, [i'= ^" -.- p"'= o, on peut avoir a, = o, en sorte que le deuxième cas se ramène au premier. Faisons, en effet, dans les formules (i3)-(2o), a=i,
a'= a"= a"'= [3'= ^"=: ^"'= o, a, = i , a\ = a\ = a'^'= o, il vient
En éliminant [i,, ^',, [3",, [3", on trouve la condition unique OU, en tenant compte des formules (3) et (4),
Il Y
On peut la vérifier en prenant par exemple a; = 1, j = o, ^ = « = o = ^•"= 7"= o,; z"^^ ^, u"— N-, ce qui donne D = p^ — N. Nous avons donc seulement à considérer deux;; cas: i°a = o, 2" a = i sans que l'on ait p'= ^"esï [3"=o. Dans le premier cas, P est
