IGUUE (l l)(I I I l

(l'ordre /j; dans le deuxième cas, d'ordre p^ . Il y a donc distinction complète entre les deux cas.

Supposons d'abord 7. = o. On a ^,;;^ ^', se=î ^'^ s^ ^'î'^s o toujours et seulement si l'on a

^sEE j3'ee^ |3"s5£ j3"'s^o; d'où un premier type

Supposons que l'on n'ait pas ^ = [3' = ^"= ^"'= o. Les formules (i3), (i5), (17), (19) donnent y] ^o, et nous n'avons à nous occuper que des formules (i4). (16), (18), (20), auxquelles il faut joindre

'i = œz"—zx" + yu"— uf'^o, xu"— ux"-^^{yz"— zy") = o.

Si [5l est ^ o, on peut faire |3, = o en prenant

5 = «=zo, ^ = (3', r^-;3, c"=;3', «"=Np, ce qui donne bien

Soit donc ^, = [3 = o, donc oes[3'j-h- '^" z -\- ^"' u. Si l'on a P'^o, on peut faire j3', = o. Car, si l'on a [i'^s^'Eso, on fera fl, = o en prenant a7=j' = M = o, z = i, a;"=N, y"=o, ce qui donne ^£s;— N, D=3— N-; et, si l'on n'a pas ^'ss;P"^eo, on fera P', = o en prenant j:;"= y" = o,x = ^'-', j = o,z" = i, «"= o, ; et w solutions de P"M-l-fl"'N5ss i,

|i"r. + ^"'m = o, ce qui donne ^ese-^'-', p'2D = N. Soit donc ^', = ^'=0, donc fl" ou |5"'^ o, en sorte que l'on a

; = M = o, xu"+'Syz"=o, l = œz" -\-yu" ^o, D =: to'N(^^— N7-)(N;"^— «"2) ^ o. On peut toujours faire ^", = o, [3'|'= 1, en prenant

// Qtif

ce qui donne

^«/ij«, lorsque P e*< d'ordre p, G a /e* </eMJ Iv/'f.y

Supposons maintenant a— 1, [i', j5l", j3"' n'étant pas tous ss^o. En faisant dans les for-

q^f LES CROUPES d'ordre />".

mules (i;i) à (20) a, = a = i, a, = a'= a'^ — a" = a™ = a"'= o, il vienl

^ 4- a)y);3, s a-, YH-(oN£p,HE^(3a" +|37 4-{3"5 -i-(3"'m,

coY)^; = x", wN^K = px" + (3'/' + p"^" + ;3"' II",

auxquelles il faut joiiulre les formules (3) et (4). Si j3 est ^o, on peut faire ^, = o en prenant .r = i, y = c = m = o, »■" = j"=o, :;"= i,m"=; [3, ce qui donne l) = w^N(N — p^), ? = I . En supposant fi, = ji = o, on a

i:; = .r = ,r3"— ^^"+j«"-«j", r,sP'j + (3"-- + ;3"'« = ^«" — mj;" -H N(j:;"— sy"), (t «i' -^i^o)- Si l'on fait ^'Îssï^^^so il vient

et, comme on doit avoir Na"- — m"-^o sans quoi D est s^o, il faut fl"eE;^"'sso. Supposons d'abord fi'^ = [î"= [3™= ^"'= o, on a

a:" = 7"=o, l = x = xz" + yu", r, eee (3'/ = x«"+ N/s", D = co«N(x«— N/')(Ni:"-— «"2)^0, x((3; — |3') = o, j(;3;(3 — N') = o.

Si Ji' est sso on a jfeso, donc ir^ o, donc ^', sso. Si ^' est ^ o et [3', ^ ]5l' on a ics^(

donc y^o, donc fl', P'seeN\ Ainsi G a primitive i de p, correspondent à

types qui, en prenant pour N une racin^

(3 = o, (3'=o,^ ...,i ' , (3"=l3"r=o. Supposons maintenant P" où ^'"^0. Si [3' est ^o, on peut faire ^', — o en prenant

ce qui donne D = i . Soit donc ^', = ^' = o, d'où

j^o, E,^a- = xz"—za;"-uy', r, = P" z + ^"' u = jcu' — ua:" —Nzy", p"« + (3"'N5 so|

et en résolvant les formules (17) à (20)

Nxj;"— ■r,([3"3"H- (3'" h") = o, N'^xj" — yi(|3"<<"+ (3"'N5") ee^ o, w(r,'— Nxî)p'; = Yix"— .r{[3"3"+(3"'«"), (r,='— Nx2)(3';= Nr/r" — .z-(P"h"-+- (3"'N:").

Si [i" est ^o, on peut fiiire p", = o en prenant .r" = o, 2"=Xfi"', a"= — X[3", s= p".

FIGURE (il) (il) (il). 1,5

Il = — Np", car les autres équations de condition deviennent

|3'"(>,.^ + Nj") — ,/■ = o, P"(Xx' + Ny") + 3"^— N[3"'-'= o, N^r/' + X(j3"2— N(3"'^) = o; or on a un système équivalent en remplaçant la première par

P"x+î3"'(P"2— Nî3"') = o,

d'où l'on tire, en éliminant x et y",

N (3" ( ;3"2 — N lî''^ ) + X{3"' = o,

ce qui détermine >.. On a d'ailleurs D = -j}-N^"~-(^"- — N^'"-). Supposons donc ^"i = ^"= (), donc ^™[3"'^ o, nous aurons

et nous pourrons toujours faire P'|'= i, d'où un type correspondant à

Figure (11) (11)(11).

30. D'après les types connus de figure (ii)(i i), G aura des équations de la forme

ci'—b^a'^, dP=b^a''', e" — dV- ifi a^ , f i' — cff-' c^' b^' at ,

d-^cd^Lcb^af, e'^ ce — cb'^' a?' , f ^cf= cb"' af ,

e-^ de^db^a^, f-^ df= db''à*^^, f^ef^ed.

Les exposants X', a, ix' ont les déterminations suivantes, correspondant aux types distincts de (i I A :

I'. II. m. iv.

Les conditions d'ordre donnent

ff = p =EE fAV = fXX = o.

()6 LES GROUPES d'oRDUE p" .

puis, en retranchant désormais un accent aux lettres p, i,

et' + £/ — fi/' = a' + v/J -+- pV + x^l' = p' >.' -H x' fi' = o,

(3' 4- £v — p/ -^ P' + £v' -H o->.' + yjm' Hii a' ?.' -h v' fi' = o,

et la condition de figure est que les déterminants de

p p (7 ff X x' V v'

ne soient pas tous sao. On voit que les types 1, iV, 1', III' de G| A conviennent seuls. Si l'on pose

g = /•' e- dy c"" , g' — J •'' e~ dy' c'' , g' g — f^ é'- d^ c^' V^ a>^ , ^''= f'é^'d^'C^'b^'a>^\ gi'—d^pérb'^ra>'r,

on trouve par récurrence

U' 4- ;<'+«, Z'=::'+;, Y' = ^' «+/'-(- j, \! zzz jc! -\- jc , H'= p^.r' + p'M.r'-i- X y's 4- s'j« -H m( " j H- x' /'« -h :' ( j 5

K'= o-îa^'-i- a'«J?'-l- V j's 4- ;';« -t- m( *' j -I- v' r'« + ;■ ( ) > U,,=:i'«, Z„= ('5, Yv= cj 4- «;2^^' <, Xv= t'j;,

H,==:fp^5 4-px«4-xj5 4-xTj//4-::('")11ir''+>'='«-r'-'.<+'<«-r'('2^)+-''- "^

I)^=|ji: 4- £«';, Cp =>.'«,

A/,:= 3!J: 4- 2('j- 4- "/= 4- "/' « (l — - £ ) flt' 5 « 4- ï' J « ( X '« — Xl)

4- £ ^xz 4- p'.r t< 4- X >' : 4- J M 4- M [ " ) 4- x' j M 4- = ( H »

Bp= 'px 4- (3'j 4- 05 4- ô'« (i — s.)''^'zu — e! ZLi (v'« — v;)

et l'on a g~' g'~' gg' = (P"'-"''b'^''~^'a}^''~", ti[, K[ désignantce que deviennent H', K' quand on y échange-les lettres accentuées et non accentuées de môme nom.

Le changement de générateurs le plus général conservant la forme des équations de G

l-UiLT,E (il) (il) (il). ~ 97

est tic la forme

ff,z=i'!rt5, b^=b^d'-', c^^d'c'b''a", d^ — d''c''b'''a''', e^ — f"e-dyc''b'"a', f ^ — J"' e-' dr' c-'' b"'' a'' ,

tous les exposants étant </?, avec les conditions

(çT/' -- Tii' ) / .s'^ o, s'^zu' — uz', /• ^ o, A'^K'i — K', h'^\\\ — H'.

Examinons séparément les différents cas.

Type I de (1 1 A.

31. Les conditions d'ordre donnent a'^j3':^o, et la transformation opérée sur les exposants par le changement de générateurs est définie par

( X, ç -)- V, i' = s'(y.z -+- y.' u ), z, yj + ■>, rj' = .?' ( v ; + v' u ),

pi ï -+- !7, l'^E /'(p^ + p'«) -(- ^(x; H- x'«)> Pi ^j -h o^i yî'eee /-(a- + a' u) + .ç(v^ + v' m),

p'i i -I- ff'i^'= /•(ps'-t- p'«') -h *(x;'h- -a' u'), p\n H- o-jr/— /•(ffj'-f- o-'«') -|-i(v^' + v'«'),

(3) a,ï + ^,:'=3c/', a,r) + [3,ri'=(3/-,

( ■/iÇ + Oi;'=A,„ y,YH-(5, Yi'=li,„

A^,, B^, désignant ce que deviennent Ap, B^, quand on y accentue les lettres x, y, z, u. On tire de (i)

( 2r/ - r;^') (x,vi - v,x; ) e^ s'^ (x-/ - vx').

Si l'on a xv' — vx'e^o, comme on n'a pas x^v^x'^v'e^o, on peut toujours faire x, = v, = x', = o, v, = 1. Si l'on a xv— vx'^o, on peut toujours faire x, = vj=i,

:52. Soit d'abord x, =:x = v,=v=x', = x'=o, v', = v'=i, donc^'^u^o, y]';^5V£eh3m'"; les formules (2) deviennent :

PiE, = pzr, p,n-hatzu'-ss<jsr,

p[^ = r{pz' -h p' u'), p[-n +a[zu'^= r{az' -i- a' u')-h su'.

9^ LES GROUPES d'oudue />".

La condition de figure exigeant que l'on n'ait pas pssTs^o'^o, on peut toujours faire l'une des quatre hypothèses, irréductibles l'une à l'autre

a,--o; Pi = o, o-, = i, p, = o, I,

Pi — i, p'i = (7, — 7; = o.

Soit p, = p ^ 7| = T = (7, ^ t'= o, p'^ = p— I, donc i^ ri', r] ^^su' ; les formules (3) deviennent

et permettent de faire toujours l'une des trois hypothèses, irréductibles l'une à l'autre :

x, — o, [3, = 0,1; cc^—i, ;3, = o.

Si l'on a a, = a = |i, = Ji = o, les formules (\) deviennent

y, su' H- âi zu'-^ riz-, y, /•«■ = y ;' + / n', y\ su' ■+- ô', - u" = o;' -^ 0' ;/' + e' -',

et donnent comme systèmes irréductibles auxquels correspondent les types distincts de G :

y = 7'=o, o=ri,N, o'r=o;

yrry'=o, ô =r o, I , o' = o ;

y = -/=o, o = — I, d'=ro, t;

(/^>3), (/^>3), (/^ = 3), (/^ = 3), ip l 3), (Z-*^ 3), (/>>3).

Si l'on a a, = a = o, J3, = |3 = i, donc r^^zu-, les formules (4) deviennent

On peut toujours faire o, = o', = o; donc en supposant o, = o = o, = o'— o, y.ja =^,| YifM'ssa;' + £'3', on voit que les systèmes irréductibles auxquels correspondent les types! distincts de G sont

y = o, y'=o, 1; y = {^,i,i'), y' = o, {pl^)\

les trois valeurs de y comprises dans la parenthèse fournissent le même type si /? est ^ I mod-3.

i-i(ii:r,K. (ii)(i i)(ii). 99

Si l'on a a, = a = I , [3, = [ï = o, donc «'ss \ , s^^o, les formules (1) deviennent

y, r~.r-hyz,

On peut toujours faire

Il — Il Ô'= O, I

O, et les types distincts de G correspondent à

Soit p, ^ p := o, a-, = T = I , p'i = p'= o-, = 0-' = o, donc i=u'-, s ri= — z' u' mules (3) deviennent

et conduisent pour a, [3 aux trois mêmes hypothèses irréductibles. Si Ion a a, = a = p, = p = o, les formules (4) deviennent

les fiir-

7i '0 + Oi :;« ^= oz, y\ri^o\zu'-'=oz'-

Klles ont la même forme que dans le cas p = a = o, p'= i, 1'= o, a = ^ = o. Les types distincts de G correspondent donc aux mêmes systèmes irréductibles de valeurs de y.

Si l'on a a, = a = o, ^, = P =^ I , donc z^^i , les formules ('î) deviennent

y, r, + 0, « -= vC + ôc,

y 1 ri + o\ u'- = x' H- "5-' H- o' «' + s' ;'.

On peut toujours faire o, = o, = o et Ion voit que les types distincts de G correspondent aux trois systèmes

Si l'on a a, = a = I, p, = ^ = o, donc ^eesu'-, yjeeso, les formules (4) deviennent

y', «'2= x'+ y 3'+ y'«', ô', ^m'^— âc' -)- 5' «' + ê'c'.

On peut toujours faire y, = y, = o, et l'on voit que les types distincts de G correspondent aux quatre systèmes

(5 = 0,1,. ô'=:o; ô^ — I, (3' = o,i; (yazrS).

lOO LES GROUPES d'oRDRF. //'.

Soit p, = p = tÎ = 0-'= o, CT, = (7 = p'i = p'=: r, donc^ïEEM", r^^M'*, -q^^u' (z'u' -h s). J.os formules (3) conduisent encore aux trois mêmes hypothèses irréductibles sur a, 'i. Si l'on a a, = a = ^1 = [3 = o, les formules (4) deviennent

yiii"'=yz y^ it'{s -]- z' II') + di zii-EE^oz,

y\ ii'^^yz' +- y' II', y\ ii {s + z' ii') + ô, za"^^^ o;'+ o li + t z' ,

et l'on voit que les types distincts de G correspondent à

doux valeurs de o' comprises dans une même parenthèse fournissent le même typ« si/) est ^ I mod 4-

Si l'on a a, = a = o, ^, = ^ = i, donccsssi, les formules (4) deviennent

-/',«'' EEE y,z' + y' h', y'^u\s + z' li) + ai a'^— j: 4- ô;' H- ô' m' -t- s' x;'.

On peut toujours faire o, = o', = o, et les types distincts de G correspondent au? systèmes

y = o, / = o, i; y = (.,<, t^), 7' = o; {pl'i),

les valeurs de y comprises dans la parenthèse fournissant le môme type si p est mod 4-

Si l'on a a, = a = i, ^, = ^ = 0, donc u'^^i, * -H m's'i^e^o, les formules deviennent

y^=x-+-yz, (î, =ô,

y', = x' + yî'+ y', ô', s = ô:' + â' -1- s' ;'.

On peut toujours faire y, = 7', = o, et les types distincts de G correspondent aux p systèmes

Soitp, = p = i, (7, = c7 = p', = p'= 7', = 0-'= o, donc "^EE^rz, yjssisEs^'ssEo, les for-

HGIT.E (t l)(ll)(l l). loi

mules (3) (levieriiiciit

et permettent de réduire a, ^ aux quatre systèmes irréduetibics

3t = o, I, ;3 = o, I. Si l'on a a, = a = ^, = [3 = o, les Ibrinules (4) deviennent

et les types distincts de G correspondent aux 2p -+- 21 systèmes

Si l'on a a, = a = o, [î, = [i = j, donc rc=E? ;«'% les formules (4) deviennent

'•if / "^ ' 1 1 I '^t t

On peut toujours faire 0, = 0, = o, et les types distincts de G correspondent aux systèmes

yr=o, y'rrro, 1; 7 = '' 7' = o,i; ( /^ = 3 ),

7 = 1, 7' = «', «* ; ( /^ = I inod 3 ).

Si l'on a a, = a =; I , ^, =: ^ =r o, donc s ?=s i , les formules (4) deviennent

On peut toujours faire y, = y', = o, et les types distincts de G correspondent aux p -+- 3 systèmes

Si l'on a a, a = jS, = fi = i , donc z^e i , teeeem'^, les formules (4) deviennent

On peut toujours faire Yi = 7, on a

l.F.S GROUPES D ORCUK //'.

o; en supposant y, = y

= O, donc a^EFEaj'ss^o,

et les types distincts de G correspondent aux/; ■+- 3 systèmes

33. Supposons maintenant x, ='■/. = v',=rv' =i, x, = x' = v, = v = o, donc l==s'z, "il^^s z' , ri^EBs'u, yj'ssej'm', les formules (3) deviennent

s'(zpi -h z'at) = r(pz + p'«) -+-.'!:, -«'(«p, -^ ii' a,) = /'(a: + a' ii) -^ su,

s'(sp'^-h s'œ',) = /■(p;' + p' II') -hsz\ s'(iip\ -+- II' a\) = r {(!:■' -i- a' ii' ) -+ su'

et donnent, en résolvant et tenant compte de s'^^zu' — //:;',

s'-pt= ru' {pz -h p' u) — rz'{az -h a' ii) -\-ss',

.v'2ct,= 7-[!TJ-+(0:'— p)«;— pV/2], s''p[ = r[p'u'-'-\-(p -a')ll' z' — r;z'-^\,

s'^a\ ^E rz{(jz'-\- 0-' II' ) — rii( pz' -+ p' u') -h ss' .

Les deux formes quadratiques i, et p\ ont pour discriminant commun (p — ff'j- + 4p'T; on peut donc avoir p',cr,:;:^o toujours et seulement si (p - cr')- -i- /j p'cr est carré.

Supposons d'abord (p — a-')- + fip'u non carré, ce qui implique p''y ^ o, les équations résolues donnent par addition

«'(Pl-+- '^\)= ''(p H- (7)+ 2S.

En prenant 5 ^Eo, u'b^q, gz -+- o-'mee^o, iiz' ^ o, on obtient donc c;'*+ !\p'a non carré et

o. Soit donc ?, = o ==^

o = ruu' p' — rz'((jz + o-'(/) h- ss',

s'^a^= r{az^-+ g' uz — p' a--), s'^p'^= r(p' ii"-— a' u' z' — <7z'^),

s'^-u'^ aEir[2azz' — ap'ww'-f- a'(zu' + uz' )];

en prenant 5'=Eo, sssem'ee^i, ct'— ap'u^so, teesei, «p'+j = o, on obtient c7',e^o. Soit donc a\ = (t'= o, donc p'a non carré et

o ^ uu' p' — zz' (

s'^<7^=r(uz^-p'u^), s'-'p',~r{p'u'^~az'^);

en prenant asEs'=o, ;: = «' = i, rp'=i, on obtient p', = i . Soit d

onc

donc T non carré et

vu;\\\f. (ii)(ii)(ii).

O ^ Il II' — zz'tj'^^s,

lo.i

en prenant j^eehs'seeeo, m'-'Neeeeo-, s^eei, on obtient a-, :eee:N non carré arbitraire. Ainsi tous les systèmes (pTp'a-')où (p — a-')- + 4p'a- est non carré et ceux-là seulement sont réductibles à (oN i o ).

Supposons maintenant (p — t')'--+- 'ip'a- carré, on peut (aire p'| = o; et si p'| = p'=o, les formules résolues donnent

d'où

.■<'-pi= r\pzii'— z'{<7z + o-'h)] +• ss', o~z'[(p—v')ii'—(jz'\,

i'-o-'i = /-[zivz' -+- q' a' ) — p«;'] + ss', «'-(7,= rz[rjz + (ff'— p)u\.