p,H- <j\) = r{p + ff')+ 2.Ç
Ii]n dis|)osant de * on peut faire p, = o ; soit donc p, = p = o, donc
o^E^ rz'{'7z + <j' u) — ss' ^^ z'{<jz' + a' II), s'^ <7'^^B r\z{<j z' + a' u' ) -\- z' {a z -i- <j' u)\, *'-(7, = /■;[(7 3 + cr'w].
Si l'on a a'^ o, on ne peut avoir i'^f.^o, car il faudrait pour cela
donc ou bien ;'^s^a'sso, ou bien o-j'h- tu 'seets -h a'w^so, donc dans les deux cas zii' — itz'^o. Mais en prenant s'esjsso, z }sb\ , <j'u^— <7, a'r^u', on obtient o-,e:so,
Si l'on a t', = a-'= o, donc oe;s(tz'-e^*, 5'-a-,:^rz-(T, les conditions de figure exigeant (T^o, il faut z'=^o, donc - ^ o, donc a-, ^ o; en prenant n ees u'^ on peut faire a-, = r. Ainsi, tout> système (pa-p'^') pour lequel (p — T')--i-1p'a- est carré est réductible à (oooi) ou à (oroo), ces deux systèmes étant irréductibles l'un ii l'autre.
Soit (p, ^1 p', o-'i) = (po-p'o-') = (ooo i), donc sz-i^(r-hs)u=E^z'(s' — s) -=u\r-\-s —s')esso, d'oîi, en éliminant r, 5, s' (rs'^o), zz'^eeuiu'^zu^z'u'^o. Les formules (3) deviennent
d'où, par multiplication, (s«'+ w:;')'a, ^,HEs/^a[3. Comme on a (zu' -h uz'y-^^s'^^ o, on voit que a, ^, est ^eo toujours et seulement si a^ est^o. Supposons a^'^o, on peut toujours faire a, = o (si l'on a a ^ o, [3:sho, on prendra ii'^z^o, — s^r^^uz' ^o); soit donc a, = a = o, donc 5's'p,sEEO, *'«'^,e^ ^r. On a P,ss50 toujours etseulement si ^ eslîE^o; si j3 est ^o, en prenant :;':^m^5^o, «'^j3, r^zu', on obtient {3,eesi. Supposons ajîl^o, en prenant «^s'^s^o, s^a, a'^^, /-^ajB, on obtient a,^p,^ 1.
lO^
LES GROUPES 1) (»l!l)l!l. p' .
Tout syslème (aji) est donc réductible à l'un des trois systèmes irréductibles entre eux :
(oo), (Ol), (il).
Si l'on a (a, p, ) =^ C'^?) = (<^")' 'es formules (/j) rencontrées dans l'étude des g^, de tlgure (i i)(i)(' 0 donnent en les résolvant
s 'ji ^^ y z a — 0 u
y II :■' + 0' :■ II' , s'^y\
on en tire
■v'( 7i + ô;) EEE y + ô', 5"7, ô; =e y a'
s'-o,y, = oy'.
Hemarquant que le déterminant commun des deux couples de formules ayant pour carré *'* est ^o, on trouve aisément les systèmes irréductibles auxquels peuvent être ramenés les systèmes (y^y'S) pour/?>3. Il y a d'abord
y — o = y'—ù' — o; puis, si l'on a yeeeS'^^o, Sy'eee^o, mais S ou y' ^o,
yziro, Ô=I,N, y'=ô':zro;
si l'on a y^'^^e^o, mais y' ou o ^o et o hesy'seeo,
y=:â=ry'=o, ô'=i;
si l'on a y^'^^o, y ou o' ^o, oy'^^==^"' ^ ou y' ^o.
yz=0, Ô=I,N, y'=o, ô'— 1;
si l'on a Sy'?^*^ ^'t carré, Y^^^'^^o,
y=zo, â = N, y'=N, â'=o; {p = 1 moAq);
si l'on a Sy'^o et non carré, vE^o'ss^o,
y = o, ô = i, y'=.N, â'=o; (/j p^ 1 mod4);
si l'on a Sy'^ *^» Y^'=="' Y "" ^' ^o»
y=o, ô=zi,N, y'=: I, 2, . . ., p — I, 5'=i;
si l'on a y^'^o, S^y'^O' ^f^ prenant meehs'eeso, zu'^^ez-^^, on obtient Yi^^i; soit
FIGURE (ll)(ll)(ll). Io5
donc Yi = Y =1, donc
s'= = 5 k' — o' a z', 5" ô; = — uz' 4- ô' 3 u',
on en tire ou bien ss^m'eeeeo, d'où S'S',e^i, ou bien m^ee^'^eeo, d'où o'ehe;S', . Les systèmes irréductibles sont donc
si
l'on a Y^'^o, ây'EEso, 0 ou y' ^o, les systèmes irréductibles sont
yr=l, 0 = 1, y'=0, ô'=l, 2, ...,/) — (.
si l'on ayS'^Y^^' •'^ peut comme précédemment faire Yi = •, ■5, = i, î, . • ., i ^ . Soit
donc Y, = Y — ' > ^'i — ° ' donc
«" = zu'—^'uz', 5'-^ôi=— -/«^ -t-âsS
on en tire ou bien s^em'^eeo, donc 5'^^— us' et
, ' , l d'Où «'."^ô'^i^., ô.yi^â/
ou bien M^z'^o, donc /ï^sm' et
5«<'si, u'H,= è, ^^y\ = i, d'où aiyisây'.
Ainsi, polir toute valeur de S' autre que i ou — i, on doit nécessairement faire m^s'^o et l'on trouve alors comme systèmes irréductibles
Pour S' — =ti, si Sy ^^^ carré, on trouve pour p^^i mod4 : 0 ^ i, y'= ij *% • • • '''"'' et 0 = N, y'= '. i^, ■ ■ •. i^~^', pour/7^ i mod4, la deuxième série se ramène à la première. Si oy' est non carré, on trouve pour p ^ i mod4 : 0 =: i, y' = «. '^ • • . ^'''^ et o = N, y'= I, r, . ,., j/'-S; pour yo^i mod4, la deuxième série se ramène à la première. Ainsi on a comme systèmes irréductibles
§ = 1, /=r, 2, ...,/> — i; d = N, y'— i, i^, . . ., ïp-'; (p — imodlt);
d = i, y'—i,2,...,p — i â = N, y'=i, iS ..., iV'"3. (/^ = 3mod4).
Si l'on a (a, ^,) = (a^) = (o i), on a z'^u^o, z^i, r^s'^^u' et sur les for- P. 14
Io6 LES GROUPES o'ORDRE /)*.
mules f/i) simplifiées on voit immédiatement que les systèmes irréductibles sont
Si l'on a (a, j3,) = (a|3) = (i i), on a s'^ w, u'i^z, sme^o. On voit sur les formules (4) qu'on peut alors, en faisant m :e:so et disposant de x elx', obtenir y,sEs y',sseo. Soit donc y, = y = y, = y' = o, on a
s'{z — u)ôt = èz + è'u, s'{z — u)^'^^§u-h§'s, «2 = 0, x'~z^—u^.
Remarquant que l'on en tire /^S, S', ^oS', on voit aisément que les systèmes irréductibles sont, si So' est e^o
si 00'^ o est carré.
y = ô = y'=zo, ô' — o,i,'S;
i, y' = o, â'= !,<■'; y = o, (î = N, y' = o, è' = i,i^; (j5 = iniod4)|
SI
oS'^ o est non carré,
(/? = 3 mocl4)
(/? = I mod4) (/> = 3mod4)
Soit (p,a, p', (T'^) = (p!Tp'a-') = (oioo), donc s' z'^^^sz, s' u'^^^rz + su, sz'^rz' -\-su'^<. d'où ^'^5^0, r^u!"^, ^'shs^m', y]^:3mm', ^'sso, y'^st/-, on voit sur les formules (3j qui deviennent
z^a.'^^^aii! , s(Ha| -+- M'Pi)iii a'(3,
que tout système (aj3) est réductible à l'un des trois systèmes irréductibles (00), (01^ Si l'on a (a, p,) = (a ^) = o, on voit sur les formules (4) qui deviennent
s^M'y, = yc + y'« — i! z'-u, zuii! y^ 4-5M"^âi= ôs + â' h + i! zii^.
que les systèmes (ySy'o') irréductibles sont
y'r=i,N, o' = o, y — 0,1, ô=ro, i,N; (/>i3)^
y — y—0, O=zo,i,i, à' — o; y = y' = o, d = o, d' = i,c,i'; ip =
FIGURE (il) (il) (il). 107
Si (a,p,) =:(aj3) = (o i), on voit de même que les systèmes irréductibles sont
Si(a,[3,) = (a[3) = (io) donc u'^z^, u^o on trouve pour système irréductibles y = y'=:o, è =zo, 1, i, i-, P, à'z=o; y = y':rro, d = o, â'=:i,«, P; (/)^imodi2)
y = y'=o, d — o,i,i,i-,i', ô'—o; y = y'=o, d = o, ô'm; (ps );
\ 2 mod 3 /
3 mod /4\ I mod 3/'
Soit(p,o-, p\u\) =: (p (7 p' d') ^(oNio)donc^ s' z'^^ru-{-sz, s' z^ru'-i- s z', ISls'u'^E^Nrz-hsu, s'u = Nrz' + su', d'où N/-=N(=='- Ns'-) = Nm'^ - m% jeeeehm^ - Nm'='=o, d'où enfin N^'-'-H «*^N(N;'--h M*). En examinant séparément les trois cas seuls possibles: uz-u'z'^o, u^z'^^o, s^m'e^eo, on voit que ces relations équivalent à z^e^(x>u\ «s^wN^', r^^u"- — Nz''^,s'E^(ii(u''^ — N:'*),^:^o, co désignant ± i. Nous supprimerons désormais l'accent aux lettres :; et «. Les formules (3), qui deviennent en résolvant
montrent que tout système (a^) est réductible à l'un des deux systèmes irréductibles
Si (a, [3,) = (a^) = (00) les formules (4) résolues et combinées linéairement donnent,
en posant Y-f-o'=o, Ny'+o = '|, y — o'=o', Ny' — 0 = '|', y, + 0', = ç,, ..., d'où
T=^(?-t-?')' «'=5(? — ?')' T'=^ ('!+-']'')' ^ = î('| — '1'). et supposant d'abord /7>5:
( M» — N z' )^ ij;', = 4/' m" + 2 N 9' a 5 + N ij;' 5%
Si l'on pose y 0' — Sy' = A, on voit aisément la relation
<|;'2 N(p'»= (J.2 N<p»+ 4NA,
qui avec (w- — Ni*)*A,^A donne
Io8 LES GROUPES d'oRDRE p^' .
donc on a t{^',s^',9Hso toujours et seulement si l'on a iJ^'^ç'eso et jle caractère quadratique de 'Y'^ — N^'^ est invariant.
Soit '\i"^ — N(p'- non carré, on peut en prenant a) = i, s = o, fi" = 9' si 9' est carré, co = I, u = o, ^z.^= f' si ç' n'est pas carré, obtenir ?',sei. Soit donc ç', = (p'= i, donc
ou si l'on pose m^-+-N^*se^^ 2?/3^p, «- — Ne" étant ^o et carré (condition nécessaire et suffisante pour que h et s existent)
On en tire en éliminant <* — N^»^ puis ^|/'
{Y—t^<\>'^)t + {fi — (ù^'Y^)v = 0, 'ùt — ij^iC = I.
On vérifie, en tirant t et c, que ces équations équivalent aux deux précédentes et entraînent/^ — N^'-^o et carré, pourvu que 'j/'/ — Nsoit non carré comme l'est j/'^ — N. On pourra donc toujours prendre / et (^ et par suite s et a de manière que 'W ait une valeur arbitraire telle que ■Ij'^ — N soit non carré. Ainsi tous les systèmes (9''j>') où (|/'2 — N(p'2 eg( f,on carré sont réductibles à l'un quelconque d'entre eux. Soit donc ç; = 9'=i, 'f, = 'j^'donc
d'où l'on tire si co = i, p=o, / = i, d'où ^^o, m^^i; et si isi^ — i, t\
y^ ti,'2]vj' ^'QÙ ""^ j.'i'— n' N^''^^= m,>2__]v' 0" il <''*"C toujours a- — N-^^w et par suite 9,^9, wv|;,^(|(. Les systèmes irréductibles (ç'jiç'i]/') sont donc
9 = o, I, . . ., /j — I, J> — o, I, ...,^ ) 9'=i, 4'' 3i"t*'''''*'i''6 (4*^ — N non carré).
Soit -y — N9'- carré, on peut faire 9', = o; en supposant ç', = <p'= o donc '^'^o on ai ^M^o, (w- 4- N 2- )'!»', 2^4*', ^t 'on peut toujours faire '\\ ^ i. Soit donc 'W = 1];'= i, on a] M- + Ns^^i, ce qui exige avec susso, s^o, m^e^i, et par suite (oçiEesç, i];,^'];. Les systèmes irréductibles (çij;(p''y) sont donc
lj> = 0, I, ...,/> — I, 9' = 0, l]/'r=I.
Soit (J^'ssç'eeso, donc <|;',e^ç',^o, on voit immédiatement que les systèmes irréduc-
FIGURE (ll)(ll)(ll). lOg
tibles (ç'I) sont
cp = (|/ = 0, 9 = 0, ']i = i; cp = i, 4' = o; (^ — 1,1,..., — —, ij; = i.
Pour p = 3, on a N= — i; en opérant comme précédemment sur les formules (4), et posanty'-4-Sï^<p, y — o'^^'\/, y + S'^^'l', y' — ^^^^'^ y', + 0|^^?.. •••. 0» trouve
on en tire ç^ + ^j;5sEE<p^i^^.
Soit 9^ + vj^^sEE — I, on peut toujours faire 9, = i, car, si çsee — i, en prenant «^o sE^i, on obtient 9, ^si, et si 9, = 9 = i, on a isesu^ — z'^ — •]^uz, ^3i'\>^^;suz -+- t{/(a^ — z^); en prenant alors 3 EEEo, M E^i, w;e^v{^, on obtient ^J^,e^i. Si I, =']/= i, on a iee^m^ — 3^ — uz, wss«^ -4- uz — z-, donc u^o, u^^i, et par suite z(z ■+- w)see o, s'^eeew — i, (|/',^s^', 9'iEEs(i + 3-)9' — 3^ On voit que si 9' est eesi, on a nécessairement 9,^:^1, et que si 9'= — I, en prenant s + «sso, co = — i, on obtient 9, se o. Les systèmes irréductibles (9'ji9'']/') sont donc
Soit 9^+.j;-EEEi, on peut résoudre la congruence quadratique 9,^0; si 9, = 9 = o, on a o^i^zu, (o'\i,^<\i(u^ — z'-)et l'on peut toujours faire '■|',eesi en prenant seso, (ù^^'\i, S,ï •]) , = <\i = i on a ojssM- — z- puis, comme m- + s^eesi, '^^^(m- — s-)-^', 9jEee9'. On voit que les systèmes irréductibles (9'|9'.|/') sont
9 = 0, 4/ = !, (p'=:0,I,— I, 4'rro, I.
Soit 9^^pïEso, donc 9,se^J;,eeeo, on voit directement que si 9' est eeei on a nécessairement 9',=^! et que si 9'sH — i on peutfaire 9, =0. Si 9', =9'= i on a '1', E?^M(a^ -t-^^)'^'; si 9'| = 9'= o, on a ^meeeo, 9', ^^cd'I'. On voit donc que les systèmes irréductibles sont
cp— 4 = 0, (f)'—0,l, 4' = o, I.
Si (a, jî,) = (aj3) = (oi), donc ^e^o, m'sssco, on voit sur les formules (4) que les — — — systèmes irréductibles sont :
IIO
LES GROUPES d'oKDRE //'.
Type JV de G | A.
