Les conditions d'ordre et de figure étant
X ^ V sEi o, a'^v.'^—p,, {3' EEE v' E= — 0-, p'^(t' = o, pouff^o,
b'^a^ pouvant toujours être pris pour b et cb^' a^' pour c, on peut écrire les équations de G
cP=b^a<^, dP—b-\ eP=db^ai, fP~c, d-^cd^c, e-'^ce^cb, f^^cfrrzc, e^^de^d, f^^df=zdb~^ f^'^ef zi^ed.
Le changement de générateurs le plus général conservant cette forme d'équations est de la forme indiquée précédemment (n" 30) avec les conditions
; ?' = o, Y)' =5, /• = !, s^^z', r'=o, s' = s, ue=o, </es/,
h = aa;' + ys', k ~ ^a;' — y' -h os' -i- ^^z' — s' z', h' = o, A-' = — x,
et il opère sur les exposants a, j3, y, S la transformation
cc,^ = (X, a,Y) + [3,^ = (3 — s', yiC^ = ax -i-yz, — x + y,rj + 5,5 es (3j; — y + as.
On peut toujours faire [3, = o, = o. En supposant j3 = {3, = o = S, = o, on a
(Xil = a, airi= — z', y^\= a.x ■^- yz, —x^-y^ri = — y, tz^o;
on voit alors les trois types
Type r de G\\a\.
35. Les conditions d'ordre et de figure sonta'EEEEx, j3'eee;v, x'eeesv'eso, un détermina'
au moins de
étant ^o.
p p CT a X o V o
Le changement de générateurs conservant la forme des équations doit vérifier
SE o, « 5EE 1
FIGURE (ll)(ll)(llj.
et les relations entre les nouvelles et les anciennes valeurs des exposants sont
(i) ?a, + r(3, = « + .îx,
(3) ^yi + ^'°i-^-y"''- = V + (^ + P)''^'
•0X| + vi'v, = V,
Yiy, + Yi'iîi +yv = (5h-((3+ (7)^ (y
Ylp, + Yi'o-, = cr + 5v, Y)p', + -fl'CT', = a'.
D'après les formules (2) et les conditions de figure, on peut toujours supposer X, := X = o, V, = V = I, donc ^'^o, •t\'^\^ i et la condition de figure est que l'on n'ait pas p^p'sEEo-'^s o. Une discussion obvie montre alors que les systèmes irréductibles de valeurs des autres exposants sont
ff'
Type ni de ^\\a\
Les conditions d'ordre et de figure sont a'E^x, ^'^^v, p^x + x', o-^v -l- v', p^or'^o,
p. O CTO
y. p + X V CT -+- V
pour c, h^a!^ pour h et, par suite, écrire les équations de G
un déterminant au moins de
étant ^o. On peut donc prendre cb^ aX
c'-^zb^a", d^=b''ay-, e^=b^ay, P=c, d'^cd—c, e-^ce — cb, f'^cf=.c, e-^de — dWa^, f-^ df= db^^'^ay-, f-'^ef—ed.
Le changement le plus général de générateurs conservant cette forme des équations de G doit vérifier
^=1, ?'=0, Yl' =
Xr' = a;' + ( V + I )y,
h^OLx', ^ ES (3a;' -H j', rsi, s = o, h'^.xy, r' ^ o, s' ^ 1, z^ i, u ^ o, z' ^o, m' ^ I ,
112 LES GKOUPES D ORDRE /3°.
et la transformation opérée sur les éléments restants est définie par
Comme, d'après la condition de figure, on ne peut avoir x^o, v^i, les formules (i) donnent les deux systèmes irréductibles
Et l'on voit aisément, en supposant successivement x = v = o et /., = x = i, v, = v^ o, donc y]sso, que les types distincts de G correspondent aux 17 systèmes irréductibles :
« = 0, (3 = 1, y = O, 0 = 0,1; a = o, (3=1, y = i, â = o; a=ri, (3=0, y = o, ô=o, i; x:=i, v = o, a = (3=:o, y = o, I, (î=-o; « = o, (3 = 1, y, ô = o, i; «=i, (3=: 0,1, y = o, âz=0, I.
Figure (11)(1)(1)(11)
36. D'après les types connus (') de figure (i)(i)(ii), on voit que les équations auront la forme
aP= bP--
ci'=ib^a'^, d/'=c^b'^af, ei> = d^cy b^aP^ /i' = cT b"' aP' , i
d^*cd:=cbV-a'>', e-^ce^cby-'a^', /-^c/:=cbV-' a}-'
Les conditions d'ordre et de figure sont
' de — dV oT-, /-' df— de, /-' ef— eu
a = sl", (3 = £pt", (f> = ix-E'l", (J; = [3-£>", y=-e', £/ = £v = ), = fx = >>' = fji'= o, y'^0, X" ou iJ."^o,
(') HoLDER, loc. cil.; DE Séguier, Éléments de la théorie des groupes abstraits, Chap. IV.
FIGURE (ll)(l)(l)(ll). Il3
les équations de G auront donc la forme
ai'=bP^:i, cP= b^?a^'^, dP-= c^{b?a'^Y'^', e''= d^c^' b'^a?, fi'^zh'^' a'?' , d-^cd — e^^ce—c, f-'^cf^cb^a'', e '^ de t:^: db' a'- , f^df—dc, f''ef—ed,
avec les conditions ex^ev^o, a ou ^^ o. Un calcul direct donne f'''e-''dyc'''f"-e-dyc^=P'e'-d'^c^'b^a>\ avec U'=ij<'H-M, l' — z'-^z, Y' = 3'« + /+j,
H' = X [^^'5« + 7'5 + M^^jJ + « p ( 3) + / (2) + ^' «]'• on en tire par récurrence {/" e^ d^ c"^)" ^= f^^'e^'d'''c^''h''"a'^' avec
't + zii-'l'^^l'.t,
U^^ifu, Z^=:vz, Y,= vy -i- zu^l ^ t, \t,-= cse -^\ yu -h z( ) -'1' ' K,= y\z^ul',-'lU-hyzl''-'t+ul''-'f^^\\
H,= K\z^ul'',-'l[t + yzl''-U-hul'[-'('^\\ d'où {pe^d^(fy=d^té-rh^ra''r, avec
D/, = £3(l+«), Cp=:£'::(«--l)4-£j(l + «),
Ayj = p3 4- p'« 4- £'(a[7(«^— i) — s«'] — xs^«) + £a[x(M H-i) 4-y),
en supposant x, y, z, u<^p; enfin le commutant \a, h, c, d\ étant abélien, on aura {/"e^d^c"')-' (J"'e''d^'(f')f''e^d^c''f'''e^'dy'(f'=d^"c^"b^"a^'", Y", .... s'obtenant en retranchant Y', ... des expressions obtenues en y permutant les lettres accentuées et non accentuées de même nom.
On voit que le changement G de générateurs le plus général conservant la forme des équations de G sera
ai—f^a^, by=b'i'cfi, |r)' — yj^'^o, c^=z c^b'-a'', Ç^o. d^ — d^c'^b'a', O^o,
ei=r/''e=rf3'c^6*a'*, J\—f''e-dy'c'''b^'a''', zu'—uz'^o,
ii4
et devra vérifier
LES GROUPES n ORDRE /7".
r = vzz' u' -+- ^u'^[z{u' — i) -¥ y].
qEEa-Azz'u'-haii''[z{a' — i)+j], t = K", s = W.
En supposante, = c'"'7/ a?, d, = d^"-' c-"-^*'" h'a' , e, = e^d^(fh''a'' , q, r, s, t satisfaisant aux conditions indiquées eta;, j, :;, x'-, y' , z' u' étant </?, e fournit sur les exposants de G la transformation (T), définie par
T,Xi 4- Y)'v, = v^'a',
£5 — s' 7 H- ^pi + ^' 0-, E= A;„ £ ^ — ê' /• + rjpj + Y)' (7, = Bp,
lp\-+-iy\ = k'p, Yip 1 + Y)' ct', = Bp ,
A' et B' désignant ce que deviennent A^ et B^, quand on y accentue x, y, z, u. Discutons ces formules pour les différents valeurs de/>.
eut les
On voit sur les formules (2), et en tenant compte de la condition de figure, qu'on p toujours faire a, = o, p, ^ i; soit donc a, = a = o, p, = ^ = i, donc ^'ssso, ïj'sh^j/', formules (i) qui deviennent
montrent que tout système (x, v) peut être ramené à l'un des quatre
v.=zo, V =: O, I , N ; X = I , V =1 o,
qui sont irréductibles l'un à l'autre.
Soit X, = X = V, = V = o, les formules (3) qui s'écrivent
lpi~pz, Tflpi -H 5m" EEi 0-3
donnent pour (p, a) les systèmes irréductibles
p=;o, CT — 0(1, (,«■''); p=i, a- = o;
les valeurs de u comprises dans la parenthèse ne fournissent qu'un système pour p^— imod3. En prenant successivement ces différents systèmes (p, ct), les for-
i-i(;iiRic (ii)(i)(i)(ii). tx5
mules (4) montrent que les types distincts de G correspondent à
p— o, a—{i,i,i^), p'=o, I, cr' = o;
p = I, ff = 0, p' = 0, (j'r=0, I.
5oi^ X, = x = o, V, = V = i,N. donc m'^ssi, les formules (3)
donnent maintenant pour (p, tr) les systèmes irréductibles
et les formules (4) donnant respectivement pour (p', ct') les mêmes systèmes irréductibles que précédemment montrent que les types de G cprrespondent à
p = <j = o, p' = o, a'rro, i; p = (7 = o, p'=i) (t' = o;
p = 0, (7 = 1, 2, ..., /; — I, p'=0,I, ff'zrzo; p = I, 0-=:0, p' = O, a' =: O, 1 .
Soà X, = X = 1, V, = V = o, donc ^^^w', y]eso, (3) s'écrit
d'où, pour (p, a), les systèmes irréductibles
p = 0, (Tr=o(l, «, <^); p=:i, ar = o, I, ...,/? — I,
les trois valeurs de a entre parentbèses fournissent le même système si /> est ^ — i mod 3. En traitant (4), on trouve les types
p=:o- = o, p' = o, a'=:o, i; p = c7^o, p'=i, ff'^o, i,N;
p=:0, U = (l,i,l'), p'=o,l, ff'=:0; p=l, (T = 0, I .. .,/> — !, p'—O, ff' = 0,I.
Les formules (a) et (i) conduisent aux mêmes résultats que précédemment; d'ailleurs on a, en supposant a, = a = o, p, = ^ = i,
(3) Ip, ES ps + X5j;' a', r;pi 4- s«' a, se o-^ + :(«' — i)+v:;s'm',
(4) 'Ep\^Es pz'-[-p' u' — Kz'^u', Y)p', -4- -«'a'i = aj;'4- ot'm' — s' — vz'^ii'.
ii6
Soit X, = X ^ V, ;= V = o, donc
"^Pi — ps
Tipi -+- za' <7i B^ az -j- z( li — I ),
^p[^Bpz' -h p' u', np[ -\- su' a'j
on peut toujours faire a, = o, et en supposant a, = cj = o, on a
^Pl=p5, Yipi=5(M'— I),
ip\ = p5'+ p'm', y)p', + zii' a\ ==& u' — z' ,
en prenant ï) = o, w'= 1,5'= ff', on peut faire a, = o; soit tr, = C7'= o, donc
Ip^^pz, ■npi = z{u'—i),
£pj = p^'H-p'«', ■')pi= — -=',
si p est EEso on a u'^i, ^p\^Ep', yjp'.see — z' d'où les types : p'^^o, i si p est ^ o, on peut^ faire p, ^ i et en supposant p, = p = i*on a
^ = 5, n=z{u' — i), z p'j = z' -h p' u' , z{u' — i)pi= — z',
en éliminant z', on trouve zp', EEsp', donc deux types : p = i, p' = o, i. Soit X, = X = o, V, = V ^ I , — I , donc
Hpi = pz, i)pi -h zu'ui =az -+- z{u' — i) -\-vzz' u',
lp[ = pz' + p' u', f)p\ + zu' (t'i = az' -t- a' m'— ;:'— vs'^ «',
en prenant y] = o, s = m'= i, vz' = — ct on obtient a, = o; et en supposant a, = a- = o] on a
^pii^p^, f\pi = z{u'~i)+vzz' a',
^p'j ^ p^'h- p'm', ïîp'j -t- zu' a\ ^ a' a' — s' — vz'- u! .
Si l'on a p, = p = p', = p'=: O, donc
m' — I + v^'m'^ o, sm'ct', e= ff' LÏ — z' — vz"^u' t
en éliminant z' , on trouve za\ e^^ V, donc quatre types donnés par ct' = o, i .
Si l'on a p, = p = o, p'^o, on peut faire p, = i, et en supposant p', = p'= i donc^^EEw', on a
m' — I -t- V^'m'eS o, -o 4- zu' (j'^ HS (7' m' — 5' — vz'^ u' ,
et en prenant Zi'= 1, 5'= o, v] = cr' on a a', = o, donc deux types.
Si l'on a p^o on peut faire p, = i, p' = o, et en supposant p, = p = i, p'^ = p' = o,
FIGURE (l)(ll l)(l l) 117
donc ^^s, z'^o, on a
■n^z{u' — 1), zu'<j[^a'u',
d'où quatre types, donnés par a'= o, i.
3° p = 2. (x=:vr=:o).
En prenant comme précédemment a, = a = o, p, = p = i, donc S's^o, yj'sesi, les formules (3) et (4) deviennent
Pi = p, ■fipi + (7, = (j-h y,
pi = p^'+p', Y)p; + ff; = a;:' + cr'+y,
on peut toujours faire a-, = a', ^ o, d'où les trois types :
Figure (1)(111) (11).
37. D'après les types connus (') de figure (i i i)(i i), G aura des équations de la forme
aP—i, bP^a"-, ci>=za'^', di'=a'^", c^^bcr= ba}-, dr^ bd r=L ba}^' , e~^bez:^ba^, f-^bf^=.baV-', d^^ cd r=. ccC , e~^ce=^caP, /-ic/=caP', e-^de^da", f'^df—da"', f-'^ef—eb, ei'=c^b^a^, fp—d^c^'a-'.
p, y, P', S ayant les déterminations suivantes, correspondant aux types distincts de G| A :
