I. II. m. IV. V. r. ir. iir.iv. v
(3 00000 (si /> est^3) o I o o o (si/)=:2),
yooiii ooiii
ôooooi ooooi
( ' ) De Séguier, Éléments de la théorie des groiif.es abstraits, Chap. IV.
Il8 LES GROUPES u'oRDRE p" .
Les conditions d'autoniorphisme, fermeture et permutabilité, donnent :
X s X' = yv = ôv = pp. + yp = (3' p.' + âcr' = yp' + Pp.' + £p — « = âff -H P' p -|- ep' + a = o.
Les éléments normaux sont de la forme d'c^b'', avec les conditions
vs ^ vy ^ pa; -Hpy + ffs^p'x4-p'y-+-(T'.j^o;
on voit alors que la condition de figure est que l'on ait v et [x ou [x'^o. On peut donc prendre a' pour a, c'est-à-dire supposer v = i et les conditions d'ordre deviennent
X = X'=y = â = Pp =P'p'= Pp' + £p— a = P'p + sp' -+- a = o.
Ainsi le type de G|A qui convient seul est le type I avec a;s;£[jLsss£[jL' pour p^T., (pouryo = 2, il faut a^s a'E^jxssi).
On peut prendre e<i~^c'^ pour e, /(/"?' c"' pour/, puis ce que devient e~'/~'e/pour b, c'està-dire supposer p = a = p'= 0-'= o; les équations de G prennent alors, en changeant un peu les notations, la forme simplifiée :
aP = I , bP=z «E, ci> — ««, di' —a^, ei' = oï, /'' =ia^,
c-^bc = d-^bcl=Lb, e-^be=baV-, f-^ bf = baV-' ,
d-^cd^:^ca, e-^ce:=f"^cf^c, e~^ de ^^f~'^df^: d, f-^ef^^eb.
Si l'on pose
{f'''e'''d-'cy'b=''f''e"d'-cyb''—Pe^d:'''c^'b^'a^', {f'e''d'cyb'=)-\f'''e'''d~cy'b''')-^—f''e"d-cyb''f'''e'''d~'cy'b=''=b'^'a^'; {f''e<'d'cyb'')"'=pwe^wd''-wc'wb^»'a^»', {f''e'^d'cyb'')P= b^"*'ah,
on trouve, en supposant tous les exposants </> :
V'=t;'+p, U'=m'+m, TI — z'+z, Y'=/4-y, 1^ =u' v + x' -^-x, ^' =L\x.x' u-\- ^ ix! V + y' z-^ [Luu! V + \x.v{ j -f- p' m' (
X'rr: uv' — vul , H"=pa;M'4- \i! xv' ^ yz' -^ ]j.ii! uv 4-p('' (
IJ.XU -h ix' XV -h ys -+- ^j.' u
2',"- U + p.uU' i'r ' 2', < + p' f< ('2 i';-2 l[t + ixi' 2',"- '('"))
Ap=:a7-|-P-4-yMH-â('-t- £'MÇ'(p'(' — p<<) -t- £[^(i -h m -+- c) + y.3 + «(>].
Le changement de générateurs le plus général conservant la forme des équations de G
FIGURE (l)(lll)(ll). iig
est de la forme
ai = a^, hi = Scnb^a'\ c^ — Sc'^'b^-'a''', d^ — S" c^'lfi' a''" , e ^~ f^ e" d'- cr b^ a'' ,
fy=f'e'''d'cy'b^'a''',
avec les conditions
Ôfc^o, y) = Ç = £mc = £h'('' = o, y/r— rr)"=5, l-\- pj— uv' — ^'u' , £/ + /t = H",
fJiS' « + fi' ^' (' + r/ 3 — Ç' j = p.f ' «' + f^' t' ,/ + r/ s' — C'r'
= Y-l"u + fx'ç"i' + f{'z — X:' y = ij.l"u'-i-[J.'^"v' -+■ n'z' — K'/^o,
et fournit sur les exposants des équations de G, la transformation :
(i) 9fi, = Ç(fij<-+-fxV), 6/i',iES£(/i«' + /iV),
(2) 9«,= aV+(3r + £(^'4-VÇ'), Ô(3i=aV'+(3r+E(r + ïi"Ç").
( 9yi= <zy + (3s H-yw + â(' + £'j/,p(fjL'(' — ij.u) + Eyz, I 0a,= a/+(3s'-+-y«' + ôi''4-£«V(juL'c'— /jl;/) + £/^'.
1» ^ impair.
Les formules (i) jointes à la condition de figure donnent [>., = o, [i.\ = i en prenant par exemple m = jji', v = — pi, jxu' -+- [j. V'=^ 0 = ^ ^ i. Soit donc [x, = [a = o, pL, = [x'= i, il faut ajouter comme conditions au changement de générateurs v^o, Ô^Çt»', et, en tenant compte des anciennes, on a .
Y)^ÇsyEE^3=i^so, l = ue', 6 = -n'K"—K'ri"siH>'\ A = H", ^'p'+r/s'— Ç'/=f i^' + V'^' — Ç"j'=o,
et les formules (2) et (3) deviennent
(2)' Mi^"a,= aY)'+i3Ç', uv'^^,= <xn"-hpt:", c"y>=y,
(3)' «(^'«ô.saj'-f (3='+yM' + ôc' + £'«'t^'^
On voit sur les formules (2)' que l'on peut toujours faire sur a, [3, y l'une des six hypothèses, irréductibles l'une à l'autre :
en ayant toujours a, = a, |3, = j3, y, = y.
Si l'on a ; a = ^ = y= o, (3) qui devient uv^8,^^8 -+- t'u'ç' montre que
pour /» > 3, G a deux types : ô r= o, i; pour /> = 3, G a 1111 type : â = o.
Si l'on a : 0L = ^ —o; y = i, N, il vient v"^^ee^ i, u$^^^v' ■+■ (y + z')u'. On a donc
pour y? > 3, les deux types : a =: (3 = o, y = i,N, ôr=o;
pour /) = 3, les trois types : oc = [3 = o, y = i> ô = o; a = (3 = o, y= — i, ô = o, i.
Dans les trois autres hypothèses, ^ étant ^ o, on voit que l'on peut toujours faire S, = o, d'où les trois autres types (pour/?>3)
2° ^ = 2 (p.^(jL'=ri).
Les formules (i) donnent p:, = (x', = i; les formules (2) permettent, en choisissant convenablement i' et ^", de faire a, = ^, = o et, en supposant a, = a = p, = ^ = o, ajoutent comme conditions \'^r('Q, ^"es;y]""C'. Les anciennes conditions deviennent alors :
B = l = n'^"—K'-f]"=i, uv~u'v'~o, u + v=u' + v' = i, A=H", n' z-^K' y = ri' z' + ri' y' =n
v" z-^ii"y = rt" z' -h K" y = -n" K",
les quatre dernières et la troisième exigent js 5^ j's'eeeo, et les formules (3') deviennent
y,syM + ô(', ôi = yî/'4- ôc',
c'est-à-dire
en prenant « = (''=1, u'=v=:o: y^^^y, â, ;Eiâ, en prenant u:=ç'=zo, u':=v=i: y^^BÔ, âj^sy,
d'où les trois types :
yr=o, 5=;: 0,1, yz^d^i.
Figure (1)(11)(111).
38. D'après les types connus (') des figures (11) (m), G aura des équations de forme
aP=:i, bP—a^, cP—a^', d'>=cyb?a'^, eP—ctb^'a'^', fi'=cy'b?'a'*',
c-'bc=iba'^, d-^bd—ba^, e-^be — baV-', f^^bf—baV-",
d-^cd—cd', e-'^ce — cd'', f-'^cf~cd'', e-^de = db, f-^df^zda?, f-'^ef=ec.
(') De Séguier, Eléments de la théorie des groupes abstraits, Cliap. IV.
FIGURK (l)(ll)(lll). 121
Les exposants des générateurs autres que a dans les seconds membres ayant les déterminations suivantes, correspondent aux types distincts de G| A :
