I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII
oooooo o o
r. ir.
iir. iv.
vr. VII'. viir. IX'.
Les conditions d'automorpliisme, fermeture et permutabilité donnent :
^ s (3fx -4- yv = (3>'-t- /y' = (3|x"H- yv"s [3> + y"v = j3V"+ y°y"= v + pt"= o, ô + spi ss (3pt' + yv', â-f-£pt'-H(3>4-y'v = o, ô'-i- gv's (3>"+ y'v", a' + r/ -h (3 >' + y" v' s o,
et les éléments normaux étant de la forme (fh-^ avec
fj-x -h vy ^ iJ.' a; + v' y i= /jL"a? -+- v"y ^= o,
^ fX' — V
la condition de figure est qu'un déterminant au moins de
alors que les types de G | A convenant seuls sont le type I, avec les conditions
5 = X = ô's v + p."s o, un déterminant de le type IV, avec les conditions
d = X = V = v'=fX = |Jl''=0, — fji'=v"=ô'^o,
le type I', avec les conditions
fi' ^ V, fx ^ p.' ^ ô, v'^v"==ry,
soit ^ o. On voit
un déterminant de
LES GROUPES D OKDHE p" .
et le type III', avec les conditions
Prenons alors </, = ddh"^, /, =yc'7/', d'où
en déterminant a;, y, x',y' par la condition p — [xr' — vy'+ [jl"^+ v"j'^o (on ne peut avoir [;lese; vb^(ji."se;v"bso), puis prenant h, = ba'^'-^^^', c, — ca-^'-'''~^''', on A/~'d,f, =</,, e~'d^e = d,bf, f~^ e/, = ec,; on peut donc toujours supposer p = o. Une forme d'équations de G commune à tous les types sera donc
aP=i, b''^ a^, c'' — a^', d'' = b? a^, e'' = ct'a'^', /'' = èP'a*" , 6-' hc — b, d-^ bd — ba'^, e-^ be = baV-', /-' 6/= baV'' , d-^cd—cd', e-^cc—ca"', J"'^ cf — cd'" , e-'de = db, f-^df=d, f-'^ef-
En posant
on trouve
fe"d~cy b"" = g, f''e'''d^'cy'b'''= g', gg—^'e^^d'-'c^'b^'a}^', g-^g'-^gg' — c^'.-ï'ô'^'.-x'aHl-H'^
£■"' 1= /^ii» e"!!' f/'''»> c^"* a"'i',
„p__ c^fij&fa^'f^
U'= «'+?/, 7J — z'+z, Y'=^■'«+/^-JK, X'r::^';/+^' + 3;;
y' py — V ex H- V cj ;< -H fx ;/ 1 14-
-f- Vu{vu' -i- y') + ix' ux' -+- 'jz{vii' -t y'} -+- p.z{uz' -+- x').
puis, par récurrence,
H^=:vV2"
\]„—wu, 'l„-\-wz, Y,„=:«',)'-|- «c2*-'^, \„—wx-\-zul'\-H,
Jtu
vu I I + v"y(' — vj-c -t- ju.'^ ( I + V j« -t- fi'^M + VJ5 H- ^x
d'où, en faisant (v =p et en supposant les exposants </v,
A/,= ox-\-à'y-^-az+»'u + x\>--\{\ — i){ozu + o'uv)-+-i'ii\ — iJ.z''-+ii.'zu — vyi.' — -\)uv^—-'j'uv-\-V'v^] -+■ i[-^"yv — vxv ^vyuv + -y yu-^-j uv -^ [x' xu -{-Myz + -J zuv -^ [xzu^ix.xz'\.
FIGUP.E (l)(ll)(l II). 123
et, le commutant \a, b, c\ étant abélien, Y,, X,, H, se tirent respectivement de Y', X', H' en permutant les lettres accentuées et non accentuées de même nom.
Le changement de générateurs le plus général conservant la forme des équations de G
est
«,= 0!^, 6, = c^6^a'S Ct = c'^'b'-'a''', d^— f e" d^ cy b^ a'' , c^z=J'''e"'d'cy'y'a''',
avec les conditions :
^ =1 zu' -{- pm, Y) =('«'+/>«, /nô + HO' H- A ES H', — H'
o = f/, o=.ii", o = H", — H", (en prenant « = m"=:o),
^' = —u'z" + pm', n'=u'i'" + pn', m'§+n'o' =117—11",
^■n^pl, Y^'=c'„ + pl', ^"-n^pl", ^^"^" ^^^^°'
(j,f,j'\ I, l' , l", m, m , rt, n' désignant des entiers arbitraires) et fournit sur les exposants de G la transformation
(i) 9fx; = ^(fjis' + p.';/'+^''i'') + Y)(v;' 4- v'«'+v" (.;'), ev', = |'(j:ji;' + fxV+fA"('") + ï)'(v3'-Hv'«'-+- vV)'
( %';™|(fxs"+fxV') H-ï)(v5"-t-y'V"), ev';=$'(ix3"+fx"i'") +ï)"(v;"+vV"),
(2) ôôi = «<'(<îj — â'c), 9ô; = m'(— aô"4-<5'('"),
(3) ây+ô'/+A(3-+-ôa, = A^, ô/ + ô'^' + A'/ + ea; = A;, ô/"+ô'/"+/i[3"4-ôa'; = \;,
(H", X", Y" se tirent de H', X', Y', en y remplaçant x' , y', ... par x" , y", ... ; H", X'", Y" se tirent de H', X', Y', en ajoutant un accent à toutes les lettres; A^, B^,, C^, A'^, B'^, C'^ se tirent de A^, Bp, C^, en accentuant d'abord une fois, puis deux fois, les lettres x,y, )
x" p IMPiUIl.
Type 1 de G|A (X = 0 = Ô'= o).
39. Comme on n'a pas a^Eu,'^ix"'sso, on peut déterminer z, u, v vérifiant u^o,
U.Z -h tj.'u -h ii."i'^£i ; en prenant alors e^=/''e"d', a, = a", /?, = b"aS^', c, = c"a ^^■, on a e~' h^e, = /*,«,, toutes les autres équations conservant la même forme; on peut donc supposer [).' = i et, en tenant compte des conditions d'ordre, écrire les équations de G (en sous-entendant les équations communes à tous les types)
bP=cP=i, dP=a'', eP^a"', fp^a"", d^ bd — baV-, er^be = ba, f~^bf=ba-'', d-^cd = ca>, t'-'ce = ca''', f-'^cfcay'.
124 LES GROUPES d'oKDUE yo".
En faisant dans les formules (i ) a\ = — v,, a"= — v, on en tire la relation
qui conduit à distinguer les trois cas : [j.v"+ v^ non carré, carré ou ee^o.
Soit [Jiv"+ v^ non carré, donc f^v"^ o; en prenant z" := o, s = c"= i, i> el y déterminés par o :ee; V + v'V EE2 — u.x" -+- v (y" -h vx" — ^r) +v"(j — tj"), on obtient v,eeeo; en supposant V, ^ V ^ o, donc u.v" non carré, les formules définissant complètement la transformation sur les exposants [x et v" sont :
^=u'{zu'-v'^'a'+|J.zz'-V'vi''), o = iui5c"-v"w"=p.(.r^"- 3cr") + v"(jr"- t'j"), 9(s^•"- w")^o;
en faisant z-' = :■"= r = o, m'= u.:-, c"^ = N^-av"-', 0 = ik^:-\ on obtient [/.,;eeei, v'^^N; en supposant u., = [x = i , v'^ = v"= N, on a :
9 EEE «' ( zu' — v' vu' -+- zz' — N ('c' ) = (^' ( 5^ - N (^^ ) s N-' m' ( — ^"- + N p"' ), o = zz" — N et'" = xz" - ^.^" + N (yv" — ty").
Les deux équations
N(Np= — ^■^) = ^"2— Nc"% 55" = Ne/' donnent
3" ES w Ne, ç'"=WS, W^^I,
et il reste, pour déterminer la transformation sur v' :
(z^—'Nv^) ~{za'—-j'vu'^zz'- N('c'), w(52 — N('2)v;EE^v'5a'+N(5f'— c^'— cm'),
en déterminant s' et v' par les deux équations
N ( vz' - zv' ) = v' c«' - N vu', zz' — N ('(/ = 5^— N c- + (v' C — 5 ) m',
dont le déterminant est M(s- — Nf'-), on obtient v,^eo; en supposant v, = v'= o, on a
vz' — ^c's — cm', zz' — ^vv'=z'^ — Nc^ — zu',
les formules (2) disparaissent et les formules (3) deviennent :
m'(52— Np2)a, = 3(3 4-a"c,.
m' ( 3= — n c2 ) a', eee 0(3' + ot' m' -h <3c" c' + £' h' ( — 3'= + N c'2 -t- 3' a' ), 0)m'{32 — ]N ('-)«■; = Nstc + a."z.
La première et la troisième montrent que l'on peut toujours faire sur a, a", les deux hypothèses, irréductibles l'une à l'autre : a = a, = o, a"=: a", = o,r.
FIGURE (l)(ll)(ll l). 125
Dans la première hypothèse, si/>>3, on a (z'^ — Nt'-)a'|^a', donc deux types correspondant à a' = 0,1 ; si/;i = 3, on a z'^z — u', v'^v, (3^ -f- p''-)(a', + i)ssa'4- i, d'où les deux types : a' = o, — i .
Dans la deuxième hypothèse, qui entraîne (^^o, za'^co, donc v'^^o, z'^z — u', on a z^a.\ = a.', d'où, poury9J^3, les trois types : a'=o, i, N.
Soii [jLv"+v- carré, en posant r = is, ç"=t"z", t et l" étant les deux racines (ici réelles et distinctes) de v"f^-f-2v/ — [a^=o, on obtient li.,:^ v",==o. En supposant u., = [J^ = v'î = v" = o, donc zv eee ^"(/'eees o, prenant 3 = (^" == o, s" = t^ = m' = i , ô = v, z' déterminé par v^'^ i — v' — v, on obtient v,^i. En supposant V( = v = i, donc 0^m'(=c" — ^'s"), et déterminant z' et v' par les deux équations :
dont le déterminant est zv" — vz" , on obtient v, eeso. En supposant v', ^ v' = o, donc
VZ -Y- ZV ^ U Z — \zv -\~ vz )y V Z -\~ Z V ^=z U Z ,
d'où
{zv"-vz")z'=vz"^, {zv"— vz")v'=u'{zv"— vz") — zv"\
on a, d'après (3),
u'{zv" -h vz" ) «1 = a^ ■-+- a" v, u' ( se" -)- vz" ) ix'[ = xz" -+■ ce" v", u' (zv" -h vz")(x[ = xz' + x' a' -h oc" v' + s' u' {z' u' — y v' — u' v"-).
Les deux premières, en tenant compte de zi'^z"i>"=^o, montrent qu'on peut toujours faire, sur a, a", une des trois hypothèses, irréductibles l'une à l'autre :
«=:o, a" = 0,1; (x = x"=i avec aj=:a, »'[ = »".
Si l'on a ct,= (x. — v.] = a."=o et /?>3, on a (:t^"+ ('3")a'| = a', donc deux types : a' = 0,1; avec /> = 3, en prenant 3 = t'" = s'=o, ç' = 3"=m'=i, j/=a' — i, on obtient a', = o, donc un type.
Si l'on a a, = a = o, a", = a"=i, ce qui entraîne i'^z"^o, zu'==i, z'^o, v'^u' — v", on a
on a donc, pour /;>3, les deux types : a'=:o, — i; et, pour ^ = 3, comme on peut prendre u'v"eee — i, i — y' eeee u' (ce' -h i), ce qui donne a', -h 1 = o, un seul type.
Si l'on a a, = a ^^ a", = a"= i, ce qui entraîne u'(zi>" — vz")^z + v^i^z" + v", donc, en tenant compte de zceh^s'V'eseo, zv" — vz"^o,
on a
(5^+ f') («; -(- 1) s a'+ 1 4- £' vil— y— (').
Pour /'>3, on a trois types a' -1- 1 = o, i, N; pour p = 3, en prenant :; = o, p = i,y = a'+ I, on peut faire a', + i = o, donc un seul type. Soù [i.v"+ v'eeho, en déterminant s et (> par l'équation unique
on obtient fji.,ïE^v,EEEEo; supposons donc a, = pi = v, = v = o, ce qui entraîne, avec v"v'î^o (condition de figure), v^e^o, donc j^^o, Ôe^^m'^, sm'vÎseeev''^'"^; on peut faire v'î = I, et, en supposant v", = v"= i, ce qui entraîne z-u'^^e^v"^, on a
v"' v; HEE — u' i" + v' «' p" + ç' r" ;
on peut déterminer ^"de manière à faire v', =0; soit doncv', =v' = o, donc OEEE^i^W — u'z", les formules (3) deviennent
m'2 «1 = (X, «"(•"< = a(/ + ct"u', u' v"'-oi\ = as' + a' u' + a"r' -1- e' u' {z' u' -+- (^"-).
D'après les deux premières, on peut toujours faire sur a, a" l'une des quatre liypo thèses, irréductibles l'une à l'autre :
ai=:a^:o, otj = a"=o,i; «(Zr: ot = i, N, a'J^flc"=o.
A ces quatre hypothèses correspondent les quatre formes de la troisième des formules (3)
z u'a\ = a' + i.'{z' u' -h v'^), v"a.\ = a' i'"-' + ^'' + s' i^"~' {z' a' -1- r'^), za; = (H-E')5'+a'(/, s«; = (N-)-£')s' + «'m'.
Donc pour p > 3 on a les cinq types
a = a"=o, a' = 0,1; a r= o, «"^i, a' = o; a=:;,N, oc"=o, a' = o;
et pour/) = 3 les cinq types
a = a" = a' = o ; a =; o, a" =ri , a' = o ; oc = 1 , a" = a' = o ;
7y/)e/Fd/eG|A(p = o, y'=:P"=:i, X = â = p. = v = v'= (x"= o, (ji' = — v"=:— ô'^ o).
Comme on peut prendre d^' pour a, on peut toujours supposer [jl'=: — v" = — o'=i et, en sous-entendant les équations communes à tous les types, écrire les équations
FIGURE (l)(ll)(lll). 127
de G
bP=i, cP=a-\ dP=a'^, eP—ca"-', fP—ba'^", d-'^bd=: b, e~^be ^ ba, f"^ bf^ b, d^^cd=^c, e^^cez^c, f-'cf:=zca~^.
Le changement de générateurs le plus général conservant cette forme des équations, et où l'on suppose tous les exposants </'» doit vérifier les conditions
2 = 1, r) = o, ?'=o, y)'=m', 6=^u', y — 1^ = ^'= i'"=o, sm'=c''=i, h~z('^'\-hxu', h'~—ti'{''^\—y'v"~u'x",
et la transformation qui en résulte sur les exposants de G est définie par les seules formules (3) qui deviennent
a, = a^% h' -h »[ = z{y' -h xz') -h tx', h -i- <x\ = z{y' -^ <x")
et montrent que, pour /?>3, G a les trois types
Type J' deG\k{^ = y'z= ^"=1 — o, y."— y, fx — y.'=ô, v'= v"= ô').
40. Les formules (i) et (2) ajoutent comme conditions au changement de générateurs conservant la forme des équations de G
o ~ zz' + v{zi>' + i'z' ) + d' i'v' = z' z" + y{z' i'" + i>' 2") -i- à' i'' v",
et se réduisent à
Si l'on a S^S'^o, donc S,^S',^o, v,^v^i (condition de figure), il faut z' EE^ i>' ^ (x -h y)i>" -h {3c"-hy")vEEso, et les formules (3) deviennent
(Xi^xz-i-xv -h yz, «', = «', (x'[^(xz" -^-a;"v" -\-y"z".
En prenant, par exemple, s = (^"=o, 3"=(' = i, x = o, x"=y"^ a, on obtient a,^a",^o, donc deux types : a = a"= o, a'= o, i.
Si l'on a 0 ou S"^ o, en prenant z'=^ i>' := o, 0 = v', S'= z", Ss -f- Sv^i, on obtient o,Es;i, §', EEHo; en supposant S, = S = i, 8\ — B'= o, donc v,:^hvssi, on a
LES GROUPES B ORDRE jf
et les formules (3) deviennent
a,sa, a,~a'4-j'
En prenant c = o, y = a, y" = a." , x = o, x" ■= %, on obtient a,s=Ea",sEEEo, d'où les deux types : a = a" = G, a' = o, I .
Typelir de Gj A (|3i=i, y'= P"=: y = fx = v = n"= o, ô = S' = fi' = v' = v"= i).
Tout changement de générateurs conservant la forme des équations de G doit vérifier, outre les conditions générales, les conditions suivantes, tirées des formules (i) et (2) :
et les conditions générales deviennent
et les formules (3) sont
on peut donc toujours faire a — ci.\ = a\ = o, d'où un seul type.
Figure (1) (11) (1) (11).
41. D'après les types connus (*)deg^» de figure (i i) (i)(i 1), les équations de G sont de la forme
aP=j, bP—a^, ci'—a^', dP=b^a^, e''=c>6«a2, fP=à-'b'^'a^',
c-^bc = baV-, d^^bd=bay,
e-^be^ba', f-'^bf=ba^', d-^cd=ca^, e"»ce = caT, f~^cf=ca'?',
e~^de — db, f-^ df ^dc"' b-a^' , f-''ef=ed,
et les exposants des générateurs autres que a ont les déterminations suivantes (corres-
(•) De Séguier, Théorie des groupes abstraits, Chap IV.
Figure (i)(ii)(i)(ii). 129
pondant aux types distincts de G| {Aj) :
