XV

VF

y= — z, t' = o, Tcp'^o,

(3' = cp = t' EEE y s o, 9' = T ^ o,

(3'= 9 = t'eee O, y = Ç3'=-^T^O,

y = i, <i''— O' ?+9' = i. (3 = t = t'=i, y = 1 , 9' EE^ o, d;' = 9 = I , [3 s T = t' = I ,

yso, 9'=i, '{''so, ^ = z = z'=i.

Une forme des équations de G comrniineà tous les types sera donc

aP = i, bP=a^, cl'— a?', dP—b^a^, e''—àb''a^, fi'=zc>''b'''cfi',

c-'^bc = d-^bd = b, e-'^be = ba', f-^bf—ba'',

d^cd—c, c ^ce — ca9, J"^cf=zcaf', e~-^de = db, f'^df—dc'^'b^a^', /-•&/= ea'.

Nous sous-enlondrons désormais toujours les équations communes à tous les types. Si l'on \iOi(if''(f'd~c'»^b'^fe''d'<^b''=^/'''e^'d''c'''b'''a'\ le calcul donne

\'={u'v + z')u->rEll'\ j+l'l )-^tZ' V-hX' -^X,

'„'/ *'\-^.„/'"'\L^,.'j'4-£)„'^^'\-t-ij;'^'(' + (9'<T' + e)s'/'^'')

-^(^' y' v+-c'x' v-\--ti \{it' \>^z') + {<Ba' -\-t)nii' l J + (oo-' 4-6)3' i' + 9/" + t"(M \-^-tx'u.

Cette formule donne directement pour/? = 2 (en supposant que les exposants soient o ou i),

et si l'on pose pour /j>3 ( /'''e"(/=6'^è*y''=/Vt'''V(/''«'c^i/A'a""', ou en tire par récur-

FIGURE (l)(ll)(l)(ll).

rence

3c + H Cy\^T ' ^ + <7' '«'' ^T' ^T' ^

+ \'\i'i/( j + f!^' zi'-hTz( ]+f'a'zl \ +fyu + (f'yv -hTûsu + t'xv-^cf'a' ul ]\l'^^'^ t -H ï'^' uv^ -+-'!<»' a' ui' f^'\ -i- cf' a' z i'-' + ZZU-' + z' zin'~\l'^-^ 1\ t + <j\(f u'' i>^ + <f>' uv^)l'\-'' l\l\t,

puis, si l'on pose {^f'é'd^c^h^y =^ érh^pa^r, on a

C,, = mX + ('X'+ e'o-'ac', Bp=: j^a + ca' — e'«<'(',

Le commutant étant abélien, on aura

7J' , . . . désignant ce que deviennent respectivement Z', ... quand on permute chaque lettre accentuée avec la lettre non accentuée du même nom.

On voit enfin que le changement de générateurs le plus général conservant la forme des équations de G aura dans tous les cas la forme

«1=0", bl=c^^b'^a", Ci — c'i'b'i'a''', d,= d'^c'b

ahr^k

BK{l-n'—fi-^){uv'—vu')^o,

e^—f''e"d-cyh=^a', f ^— f' e"' d- cv' b""' a'' ,

avec les conditions

ff'r)'=(7'Çl'', <7'^'-+-£ = Ç(k' H- £(•'), Ç=«(''— (V<',

r^ uu'( c' — I') -i- zu' — tiz' -)- i''

+ s(z^''~^'z'), Ô£ = (3'th-£, £Tfi = o, s^ = eK = £,

EMi'EE^o, a-fl -t- >,Y]' ^^ iik 4- (•>.'+ £'(t'«('-, a> 4- I4' E=ua 4- cot' — £'«'(',

l32 LES CROUPES l/oRDUE ]f.

Et la transformation (T) des exposants des équations de G qui en résulte est

ÔT, = l (tm +t'(') h- Y] (9m 4- 9'(')> *5t', ~ I (T«'-h t'c') + yi (çm'h- ç'v'),

•e9, = ^'(T« + T'(')+Y/(o« + 9'iO, 99', = ^'(Ta' + T'('') + ri'(9M'+9'(''),

a/j + X/i'+ 6â,= A;,+ £(9J« + 9'j(' -f '^' zv), a.'h + l'h' + ôô; ES A'p 4- £ ( 97' w' H- 9' j' c' + <!;' ^' c' )

(A^ désignant ce que devient A^ quand on y accentue x,y, z-, m).

Type I de G 1 1 « !

Premier cas : /> = 5.

( ff' := a = À = a' =z X' z= y = t' = o, T9' p^ o ).

42. Comme on peut prendre a'^ pour a, puis c*"' pour c, on peut toujours supposer T = ç'=: i; et comme on peut ensuite prendre ch"^ pour c, on peut toujours supposer cp = o; nous écrirons donc les équations de G,

cP—a^', eP=a^, p'—a^', e-'^be = ba, f-^bf—b, e-^ce = c, /-■^cf=ca, f-^df — da!^:

La transformation (T) est ici (les coefficients étant arbitraires)

Sip'est^o, on peut faire liJ', = I ; en supposant j3', = p'= i, donc m^^ç'', on peut toujours faire S, = l\ = o, et '|', = 0 toujours et seulement si '^'^^^o, ^j;', = i si v{>'est^ o; donc deux types caractérisés par

(3' = i, '^' — 0,1, d — è'=zo.

Si P' est ES o, on a nécessairement <^\^o; les formules

montrent que les types distincts de G correspondent à

4;'=o, <5 = o,i, â'=o; i|i'=i, 0 = 0,1, <',(«■% t' si p = I mod4), ô' = o; i]>' = o,i, d — o, è' — 0,1, {i,i' si p = i moàS).

FIGURE (l)(ll)(l)(ll). l33

Types VJ et VU de G \ ] a \ {a'=zo, a = o, ?.r=i, a' = i,N, /.■=o, 9=:7' = o, 9' = ^= — «', t^o).

Comme on peut prendre à' pour «, puis ca'^ pour c, on peut toujours supposer '7 = 1, 8 = 0; nous écrirons donc les équations de G,

cP=za?', dP=a~'^', eP=c, /P=b'''a^', e-^ be = ba, f-^bfr=b, e-^ce = c, / ~' cf = ca^'"' , f'^df=da^'.

La transformation (T) est ici avec les conditions '

A s /■« + ij;'«('(''+ - (''(m — i), ?<'=!, f' arbitraire ^ o, r^—uz'-\-v'{ j,

arbitraire.

Si P' est ^ o, on peut faire P', = I ; en supposant p', = j3'= i, donct''=:i, on peut toujours faire S', = o et l'on a '\\ = '\' , donc ip types

Si p' est îso, on a nécessairement ^', sao. Si alors tj;' est ^o, on peut faire 'W = i; en supposant ij>', = ']/'= I, onac'^i et, en éliminant A et r, «§',^5' — a'(u — \)-{-uv, on peut donc faire o', = o. Si '\' est sso, on a nécessairement '-^,^0 et, en éliminant r et h, u{7.' 4- §', )^E a' H- S', d'oùyO -i- 3 types

7y/)e X (ie G| I aj (ff' = i, a = X = a' = X' = o, (3'=y = o, 9 = t', T9'— t"^o).

Comme on peut prendre ca!^ pour c et, si z' est ^o, a^' pour a, si t' est^o, fe''' pour/, c6''~'a''( " j pour c, on peut toujours supposer '^' = o, t'= i; les équations de G seront donc

cP — dPz=:i, eP=a^, fp—a^', e-^be— bd^,

/-^b/=ba, e^ce = ca, f-^cf—caf, f-'d/--dc.

l34 LES GROUPES d'ordre /)*.

La transformation (T) devient, en tenant compte des conditions, avec ^ ^'C,(vu' -h uf'+ tmm'+ ç'w'), et l'on en tire

9'(i-t,?;)heç*(,-t(p').

La condition de figure est i — 10' ^o. Soit d'abord i — to' non carré, en prenant m = o, *> = «' = !, (^^ (p'~' (cp'— 1), on obtient t,^i; en supposant Tj^st^i, donc i — (p'non carré, et posant

on a

N étant un non-carré arbitraire, en prenant

D = o, v'=w' — w, ip- = (9"N^')% si (9"N-')^ est carré,

wz=o, f'=y, w'=(f"v, 9'V^=(9''N-')% si (9"N^')* est non carré,

on obtient cp", = N, donc ç'^ = i ^ N. En supposant ç', = 5' = i — N on a, en désignant ± i par w,

On voit alors qu'il y a deux (ou quatre si /jsE^imodS) types distincts, caractérisés par S = o, S'= G, I, (i, P).

Soit mai menant 1 — tç' carré. On peut faire t, = o; en supposant t, = x = o et prenant vj = o, m'^— jçV, (^^«t^', O^C*, on obtient cp', = o; en supposant ç', = 0' = o, on a

Si SS' est ^ o, en prenant ^ = m' = o, t'' = S, m = o~' on obtient S, = i ; en supposant S, = S = I et essayant successivement les deux hypothèses seules possibles : v^u'^o et assç-'^o, on voit que l'on a un (ou trois si /jeee^ 1 mod3) types de G, caractérisés par S = i,S'=i,(e,i^).

Si So' est ^a et S^o, en prenant m = c'= o, on a 0, = o; en supposant S, = 0 = o, on voit immédiatement qu'il y a deux types caractérisés par 0 = o, 0'= o, i.

FIGURE (l)(ll)(l)(n). ^ l35

Type AIII de G| j a | (cr'=:i, « = X = a'=o, >.'=i, [3' = y = «^i' = o, <p=-r'^o).

Comme on peut prendre a'' pour a, puis cdY pour c, on peut toujours supposer t'= i, (];'= o, et les équations de G seront

ci'=dP=zi, eP—a'', p>=ca''', e~^be—ba', f-'^bf—ba, e-^ce — ca, f-^cf—c, f^'^df—dc et la transformation (T) devient ici

î,= ô, —z'-{-\{i — v')^è\^v'è', avec uv'=i.

On voit immédiatement qu'il y a /> + 3 types caractérisés par

Ty/Je X/F r/e G|!ai (ct'^i, « = o, >, = i, a'=:N, >.'=:o, j3'=(p = T'=o, ©' = y - — Nt^ o).

Comme on peut prendre ca^ pour c, a' pour a, on peut toujours supposer -7 = 1, (j;'= o et écrire les équations de G

c''=i, c?^=a-'\ e/' — ca^, fP — b^a^', e-^be=:ba, f-'bf=b, e-'ce = c, f-'cf=ca-^, f^^df^dc.

En tenant compte des conditions imposées au changement de générateurs la transformation (T) sur les exposants 0, 0' est ici :

Ç(û\ - N) = a(â - N) -H i'(â'+ N), (â; 4- N) EE3 Np(â - N) -+- «(ô'h- N),

avec Ç^Es«- — Nf^ssi. L'élimination de u, t' donne

Ainsi deux systèmes (0, 0') fournissent le même type de G toujours et seulement s'ils font prendre la même valeur à l'expression (o'+ N)^ — N(o — N)^; il y a donc p types correspondant à

LES GROUPES d'oRDKE />".

Type ATVH deG\\a\ (a' = i , « = >,'== i , X =: «' = o, [3' = o' = r = o, y = 9 = t' ^ o).

Comme on peut prendre ca'^ pour c, à^ pour a, on peut toujours supposer z' = 1 , 'Y = o et écrire les équations de G

ci' = i, dP—a, ei'—ba^, fp = ca^', e-^be=b, f-^hf—ba, e-^ce = ca, f-'^cf—c, J-'^df—dc

et la transformation (T) sur l, 0' devient, en tenant compte des conditions,

a, + i = «(â+i), ô', = ,''ô'4-23'-i(i-c')\ a/si;

d'où les deux types 0 = o, — ^; 0' = o.

Types XVIII et XIX de (^\\a\ (a'= i, a = X' = i, X = o, «'= i,N, t = (3' = o,

Comme on peut prendre cd^ pour c, cC' pour a, on pourra toujours supposer y = o, t' = I et écrire les équations de G

cP=i, di'-=a, eP=ba^, /P=cb'^'a^', e-^be = b, f-^bf—ba, e-^ce = ca, f-'^ cf = car'^' , f-^df=dc,

et la transformation (T) sur 0, 0' devient, en tenant compte des conditions d'où/>+ I types, correspondant à

Deuxième cas ; /> = 3.

Type ir de G | | « j (ff'=:o, a = > = }i'=r o, a'= i, y =: — t, t'= o, rip'^o).

43. Comme on peut prendre (C pour a, c'"' pour c, puis ce"' pour c, on peut toujours supposer t = cp' = i , ç = o, et écrire les équations de G

C^—cfi', d^—a-\ e^—a^, p~ba^', e-^be^ba, f-'bf=b, e^'ce^c, f^cf^ca, f~^df=da^';

FIGURE (l)(ll)(l)(ll). l37

la transformation (T) devient, en tenant compte des conditions,

in>'d[~i''è'— z' -+-{11 — i){i>' — i) + ^' y'.

On voit facilement qu'il y a cinq types correspondant à

4''=0, P'— 0,1, ôr=ô'=:0; 4''='' P' = 0, I, — I, ô=:Ô'=0.

Type V de G|iaJ ((j' = o, a = a' == >.' =r o, l=:i, y z^ ^ ^=z' z=io, t ^r o' ^o).

Comme on peut prendre ca^ pour c, à^ pour a, on peut supposer o = o, t — i et écrire les équations de G

6-':=a>^', c/^=i, e'=t', y'=a^', e~^ be :=^ ba, f-'^bf^b, e^ce — e, f'cf=.ca, f-'df—dcCV;

la transformation (T) devient, en tenant compte des conditions,

On voit facilement qu'il y a sept types correspondant à

Tjpe Vir de Çf\\a\ (a':=o, a =: /.' = o, >. = i, x =— i, 9 = t'— . o, — 9'= -/ = t ^o).

Comme on peut prendre cc^ pour c, a^ pour a, on peut supposer 0 = o, t = i et écrire les équations de G

c-' = af, d'^a, e^^zc, f'=b-^cfi', e-^bezizba, f-^bj^^b, e-'fe = e, f~'^ cf ■= ca~\ e~^df=z da-^' .

La transformation (T) devient en tenant compte des conditions et l'on voit qu'il y a six types correspondant à

4'=i3' = 0, a'=:0, i; 4'=0, (3'-I, â'rro; ^'r-l, ;3'-0, 1,-1, ô'=0.

LES GROUPES D OUDUE jf

Type LV rfe G | | « | (o-'rro, a = >>'= i, ), = a'zrro, 9'— t =: O, — 9 = y r=T'pîio).

Comme on peut prendre a?' pour a, puis dh~'^^' pour r/, /rf'î'' pour/, puis ca'' pour c, ed~^ pour e, on peut supposer t'= i, ■}'= 0 = o'= o, et écrire les équations de G

e~^ ce =: ca

/3=c, e-'bezzzb, /'■^bf = ba,

(T) donne ^1^;=^;/^', h^o, d'où deux types correspondant à p'= o, i,

Type Âlir f/e G I ; « ! ( a' — i , « = o, À = , , a' = — i , >.' = o, (3' = 9 = -' = y = o, o' = ~^ o).

Comme on peut prendre «'^ pour «, puis cà'-^' pour r, on peut supposer t = i, '>]/'= o ( écrire les équations de G

c' = cPz

p=zb'a''', e~'ba = ba, /'b/.-b.

e^ce=:c, f '^cfrzzca, fUlf=z de.

Les conditions du changement de générateurs donnent entre autres

ou bien (comme on le vérifie dans les trois hypothèses seules possibles : uu'w'^o,

J.a Iransl'oi matioii (T) devient en tenant compte de toutes les conditions

6(0, +1);^ </(o-M)-|- r(ô'— i) + //(■(// + I) H- u{uz ~^J^-z' ), &(ô; — 1)= -OcCÔ + i) -h ()//(ô'—i) 4- //f(5c + i) — {/(•(«; — î/c:').

Or, en prenant a = o, (^=0 = i, ô + t + 5':5£=£o, on obtient o, = i ; en supposant %\ ^ S'= I et prenant i» = o, « = 0 = i, 0 + i + :; = o, on obtient ô, = — i. Il n'y a donc qu'un seul type pour G. D'ailleurs en éliminant m:; — Ors' on obtient

6(«2-!- (■■^)(à' — I)— ()//-(■-+ u\-{ii + 5i') = o,

équation vérifiée par v^^o si o' — i est ^oet])ar 0 = i, *' = o'— i, m — i, sio'— i est ^o; on pourra donc, toujours en choisissant convenablement u et v, déterminer uz — ^vz' de manière à donner h S, S' des valeurs arbitraires.

FIGURE (l)(l l)(l)(l l).

Type ÂIV deQ\\a\ (7'= j, a = >, = «' = >.' = 0, ;î' = o, — y :rr 9' = -, 9 = -', r^-r'^^o).

Comme on peut prendre ca'^'' pour c, on peut supposer 'j/'= o et écrire les é(|uations de G

c'.— I, cP=a^'', e'—a^, P=a^', e^^be — ha', f^'^ bf = ba'"' , e~^ce = ca''', f^'c/=^ ca'', /^^ df =:z de ;

en tenant compte des conditions, la transformation (T) devient

T, = T, -; = t' (?/(•' + (7/'), $a,s«â + ('â', ed\ = ii'o-hi''o,

6 ^ tfv' — iv/' ^ o, «c ^ II' c' ^ o.

On en tire mji'se^w'eheeo, h/ -l- w'^o, 0(m('' + w')o, â', ^eeeSo'.

SoiV d'abord l'^i'^EEEO', si Sâ'est ^o, en prenant «' = f = o, m = S', 4^'= ô, on obtient 0, = 5, = I, d'où deux types

Si SS' est s^o, on peut, si Z est ^o, faire S, = o en prenant u = v' = o\ en supposant S, = S = o, donc OEHiico*, Oo',sst''û', on voit qu'il y a quatre types :

Soit t'^ o, on peut faire t, = i; en supposant t, = t'= i, donc iw' -\- vu'^^i, on trouve qu'il y a douze types :

• Type XV deÇ,\\a\ (,7'= 1 , a = X = >.' = o, «' = — i, (3'= <p = 7'=:- o, y = 9' = — t ^ o).

Comme on peut prendre cai^ pour c, à' pour a, on peut supposer '|' = o, t = i, et écrire les équations de G

c'=i, d'—a-\ e'=n8, p-b'ifi', e'be=ba, f'bj—b, e-^ce — c, fU-f—ca-\ f'df=:dc;

la transformation (T) devient en tenant compte des conditions,

(''Oi=0, ?<(o, + l) = 0 H- I, uv^o,

d'où quatre types S = o, i , 0' = o, i .