G a (les équations de la forme

c2=«P', d^—ba, e'=rt8, P=a^', e-^he=f^bf—ha, e->ce = ca?, /-■^cf—caf, f-'^df—db

et la transformation (T) est, en tenant compte des conditions,

On peut toujours faire ç, = o, donc ç, = i; soit ç, = ç = o, 9', = 0'= i, donc o;;es^' -i-ç', I EEïE ^' + f' ; en prenant v =i\' =^', v' =^^' -{-i, on a ^, = o, et comme on peut toujours faire â, = 0', ^ o, G n'a qu'un type :

Type V" deG\\a\ (a = 1^ = «'= o, >.'= i, y = i, 9'= o, <];'= 9 = 1). Les équations de G ont la forme

c'- = cfi', d^—ba, e'-=a^, p=ca^\ e^^ be—f-'^bf —ba, e^^ce = ca, /^' cf = c, /-' df z= dbn

et la transformation (T) est, en tenant compte des conditions, donc deux types : j5' = o, i , 0 = S' = o.

7>/)e F7" f^e G I i « j (a = o, X =: «' =: >t' : Los équations de G ont la forme

c^=:a^', d'-—b, e''=ca^, p — cba^\ e^' be —f ' hf z^ba, e~' ce = c, / ' c/ = co, / ' f// = db.

FIGURE (l)(l)(ll)(ll). l4l

Sij3'=i, en prenant c, = cb, e, =/, /, = e, on a c^ = i, les autres équations ne changeant pas; on peut donc toujours supposer ^'= o.

Si o'= I, en prenant/", =/<?, on a /,' := c/», les autres équations ne changeant pas; on peut donc toujours supposer o' = o.

Enfin, en prenant c, = ca''', on a e- = c,; on peut donc toujours supposer S = o et il n'y a pour G qu'un type :

Figure (1)(1) (11)(11).

45. D'après les types connus (')de figure (i)(i i)(i i), G aura des équations de la forme

aP:=i', b''=a^, cP—b^a'^, di' ~ b^' a"-' , c'' — dV- W a^ , fi'—cV-'bVa^',

c-^bc — ba^, d~^bd=ba}-', c^be^bd?, f-'^bf=ba?', d'^cd—ca',

e-^ce = cb-'af, /-^c/=ca'f', e-^ de zzi db''^ a!^ , f~^d/=db, f'^ef=ed.

Les conditions d'automorphisme, fermeture, permutabilité, donnent (/désignant un entier arbitraire)

X = X'=0, TESVp', p^SltiiÇ)', [3' = — £tO, X=— £6)p';

£wvp' ^ fxvp' ^ EwjLi ES Stop' y + 4*^ ^ (3p' ^ a' + s^j^ — yp' es o, £ ( i — w ) + vp.' :=y/J ; a'4-£(y' — y)wp'+£'p'-+- 9fx'=o, ?V'+ P'v'— <'•

Les exposants des générateurs autres que a ont les déterminations suivantes correspondant aux divers types de G | A :

fz f.' p (3' y y>

pour/>^5 : I, . i i o i o o — i

II, o o o o o o

III, o o o o o I

IV, o o o o 10

V, o o o o No VI; o o I o o o

(') De SÉGUlEli, Théorie des groupes abstraits, Chap. IV.

i.F.s r.ROLi'F.s 1) onnuF, /r

pour p = 3

pour p ■

IV'