VI
II
IIF,
IV"
Les conditions d'ordre excluent les types I et I'; dans les types III, IV, V, VI, II', III', V, Vr, I", II", JV", h est normal ; il n'y a donc à convenir que :
les types II, 11', avec a' = o, p'^o;
le type IV' avec a' = — p'^ o;
le type 111'" avec x'=<]i = <fi, 9' ^ o, p' = i .
Il est plus simple de séparer complètement ces trois cas.
Types II, W de G 1 A, (pl^).
En prenant «<"' pour a, G a pour équations :
aP = bi' ;
(li'—\, ei>=a^, fi'^a^'.
I bc = f/-' bd — e-' be — b.
f-^bf=ba, d-'cd—ca, e^'cc=zcba9, f-'cf—ca't', e'-^dc^dd^, f^df—db, f-^ef—ed.
Si l'on prend
b, = ba", f/, = dh'^a'-', /, =r/cr',
avec
on a
e\^c^e^=zc^b^, f ^^ dj^^:^ djj^, /, ' <'i/i = e/Zi;
on peut donc supposer toujours «p = o. Si l'on prend ensuite c^ — cb-'^', on a f-'r,/= c, ; on peut donc supposer toujours 9'= o. Enfin, si l'on prend e, = ec*, on a e,' de, = r/; on peut donc supposer toujours ^^ = o. Alors, en posant
'fCd-cyb^'—g, f e"' d' cy' b^ r^ g' , g' g = fe^' d'' c"^' b'^' a>*' ,
FIGCKK (l)(l)(ll)(ll).
on a
¥'=(•'+(•, V'—ii'~\-u, 7:=u'i'
\'=n'l ]+z'i'-hfii-h.r' + j^; H' = u' [ ) + z' i \ + y' z + x' i^,
U,„— (VM, Z,,,— n':; + (/('II';' 't.
:c-Hj'«
!';■-'/+ «('^i';'-^i',<-i-<rx,
]},,=; uv^, \p= txy 4- 0« + â'c + £'[«!'((
Le changement de générateurs le plus général conservant la forme des équations de G est
e, — f e" d' cy b^ai , f^—f'c"'d-cy'b^à',
avec les conditions (/' désignant un entier arbitraire)
«('■ps^o, y = (' = £' m' = o, 5 = ;/(/% 9' —«(•'% r, = (''% r^' -^jp, jx + k' ^\\\^\l , ? = —«'(•', Ç'="c', ^' s; -(•■', l~-z'v' y'=r\, h~zv'-,
ot il en résulte sur a, o, o' une transformation définie par
«c '<3, = ou -^ 0 c + £ ; ,
Si/> est 5:5, il y a huit (si/j est se;i mod 3) ou quatre (si/j est ^ i mod 3) types a=:o, I, ô =: o, ô'z:zo,i; a = o, i, o = (i, /,«'), ô'=o.
Si /> = 3, il y a les quatre types
Type IV de G ) A, (p-2>).
Les mêmes transformations que dans le cas précédent permettent de ramener les équations de G il la forme
c -• bc = ^/-' bd :- e ' be = ^;, f-^bf=ba, d 'cd--^ca, e-^ce — cb, fh-f—r, ,-hle.= d, fhlf—db, f^efz^ed;
LES GROUPES D ORDRE jf
on a donc les mêmes formules pour g' g, g~^g'~^gg' et g'", el l'on en tire, pour w = 3,
g-' = i"»a*' avec
Le changement de générateurs le plus général conservant la forme des équations de G est de même forme que dans le cas précédent, doit vérifier les mêmes conditions sauf Mi^o, et fournit sur a, a', o, une transformation définie par
«a,^i''a+«', ('■'Oj^ô, «c'oi ^ o«' + ô' r' + 5c(i — ('') + «'((''+ i).
On peut toujours faire a, = o; en supposant a, = a = o, donc «'^o, il reste
c'ô, ^ ô, iiè\ ^ ô',
d'où les quatre types
Type 111" de (j | A, (/>=:2).
En tenant compte des conditions d'ordre et de figure, les équations de G ont la forme
fl^=è'=:i, c'=a*, (r-—a=", e''=a^, f'—ca^',
c^'l/c=:^d^^l>d^=e-'l>c'zzz/j, /-'ù/-=ùa, d-^cdz=ica, e-'ce — cba''', f-^cf—c, e-hle — da^' , f'df—db, fh-f—td.
On trouve, en supposant tous les exposants < 2, avec
V'=c'+c, \]' — a'+u, 1' —u' V ^ z' + z, Y' = / + y, \' = y' 11 -^ z' v -ir x' + x^
Dj^wc, Ca^t', B2 = y(' + -i', ki — o.y + a'\z-Jri({y->rz-\-i-)]+yz^xv;
H',, X',, Z', désignent ce que deviennent H', X', Z' quand on y permute les lettres accentuées et non accentuées de même nom.
Le changement de générateurs le plus général conservant la forme des équations de G qui est de la forme
■ ffi=a, b^=.ba'', Ci — d'^c''' b'a'', d^ t= d'^'c'^' b- a''', ei=fe"d--cyb''a', f ^= f"' e"' d- cy' b"" a''
FIGURE (l)(l)(l)(l)(ll). 145
doit, en supposant tous les exposants < 2, vérifier les conditions
^=y' z' + II', l' = o, rt = \, r/=o, C:n://', Ç' — t,
/i = j'es : 4- ; ' + /'«', ll:=z], y! Il' T=zO, (•=:0, c' = ' ,
et fournit sur les exposants a, a', 0, 0' une transformation définie par
a, Es«, a', = (5(', ôi=o, A -t- ô; = a/'+ «';'+ ô«'+ â'4- j':;' + ^'.
On peut toujours faire 0', = o, d'où huit types :
:z = 0, 1, a' = 0,1, iî=ro,l, 3' = O.
Figure (1)(1)(1)(1)(11).
Premif.u cas : p impair.
46. D'après les types connus (') de figure (i)(i)(i)(i i), on voit que les équations de G, si l'on choisit convenahlement les générateurs h, c, d, auront pour/>>3, la forme
aP=i, bP—a^, c''=a?, d''=b^^'ar, cPt= c-^' b^a'\ fi>=b'^'a^',
c-^bcr=.ba^, d ^bd=ba^, e-^be—bd',
f-^bf—ba"', d-^d—ca^, e-^ce = ca'', f'^cf—cb, e-''de = db'fay,
f^df^dc, f-'ef^ed,
les exposants des générateurs autres que a ayant les diverses déterminations suivantes, correspondant aux divers types de G | }a j :
(/>>3). i. II. m. IV. iv. IV". V. v. v". VI. VII. vr. vir.
(0 OIOOOOIIIIIII
(si/j est ^ I mod 3, les types IV', IV" rentrent dans le type IV et les types V, V" dans le type V; si p est ^i mod/|, le type'VI' rentre dans le type VI et le tvpc VIT dans le
tvpeVII);
{p = 'i). I. II. m. IV. V. v.
cp o o o I I I
Les conditions d'automorphisme, fermeture et permutahilité (conditions d'ordre)
(') De SÉGl'iER, Théorie des groupes al/strails, Cliap. IV,
i/|6 î.ES onouPF.s d'ordre p^.
résultant de l'adjonction successive de d, e, /sont
p H- ff s '
Pour que G soit de figure voulue, c'est-à-dire n'ait pas d'éléments normaux hors de \a\, il faut et il suffit (condition de figure) que v ou v' soit ^o. On voit alors que les seuls types de G|jaj qui conviennent sont les suivants (j'indique pour chacun la forme que prennent les conditions d'ordre et de figure) :
Pour^^S, p^o, puis
