PREMIERE PARTIE

RÉSULTATS GÉNÉRAUX RELATIFS AUX GROUPES D'ORDRE p"

Conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un système d'éléments d'un g/,' abélien G forme une base de G.

7. Désignons par a,y^ (j = i, . .., v;y,= i, . . ., n^) une base d'un gy« abélien G; soit/>*' (a,>> a,vi. Kv^i = o) l'ordre des «,^ . Cberchons la coniiition nécessaire et suffisante pour (ju'un système d'éléments de G forme une base de G.

A cause de l'invariance du nombre et des ordres des générateurs basi(|ues ('), nous pourrons désigner les nouveaux générateurs basiques par

Y[a^jl^'"' {A=>, ...,v; lir^i, . ..,„,),

bi,,^ étant d'ordre/»"*. D'oi^i une première condition nécessaire : si i est -< /-, on doit avoir, quels que soient j i, /^,

(<:) jr/y i./,= o mod />".-"».

Cette condition étant supposée remplie, pour que les b^/^ forment une base de G, il faut et il suffit que l'équation

n'admette pas d'autres solutions que y^/^^^o mod/>**. Or, les rt,y, formant une base de G, l'équation (i) équivaut au système de congruences

(') Frobenius et Stickklbiîrger, Loc. cit.

s LF.S GROUPES. d'oRORE />".

Donc, pour que los hi,i^ forment une base de G, il faut et il suffit que le système (I) n'admette pas d'autres solutions que Ja/^hs^o mod/?"*.

Désignons en général par A/^ le déterminant des^A7\*<^, je dis d'abord que si l'on a A/i=s3o (h-v), le système

(II

^'^^u.i'hykh^o modp''

admet des solutions autres que y^,^^^o (mod/j"*). En effet, le système (II) peut s'écrire

21 2-*'/.<'*7"*+22^'/,*'i7*4= o mod/)»., («■ = I, . . ., v). On aura des solutions de ce système en posant j^,,— -//j/»*'"', les z^,^ étant solutions de