III
2 2-^//,/./.=w*+22i'S"'y,Av,--«;=o mod/;>='
k = i II
En posant, d'après (C), pour k^i, a?,^ „j= a^^^^^^yw"""*, on voit que l'on obtient des solu tion de (III) en prenant -/,i = "a/iT'"*"'*. les m^,j étant solutions de
(IV
Le déterminant de ces équations est eeeTTa^^eo. Donc le système (IV) admet d'autres
solutions que u^i^^e^o et, par suite, le système (II) admet d'autres solutions que r«jSEEO mod/A. Ainsi, pour que les b/a^ forment une base de (i, il faut que tous les A^j soient ^ o, la condition C étant vérifiée.
Je dis que ces conditions sont suffisantes. En effet, si A, est ^ o, le système
n'admet pas d'autres solutions que ji/EEso mod/?*', comme on le voit en considérant les équations où i = I. Supposons démontré pour tout nombre li'<^h le tbéorème suivant :
si 11 A;i est ^o, le système
2 2 ^u.kh y kl, = 0 m od ^''. ( j = I , . . . , V )
CHANGEMENT DE HASE. f)
n admet pas d'autres solutions que y^/^^E^o mod/>"«. Je dis que ce théorème est encore vrai pour//'= /i. En eiïet, le système (II) peut s'écrire
2 2'^'>/'»/«i+2^'^"'"'"^'"''^° mod/^"., d'où, en tenant compte de (C),
2 ^■'^'VV.'<//./i,= o mo(l^«.-«/. («L^i, ...,/0, donc, d'après le théorème admis, on a 7^7^= ~o mod/j'*""*/'. Posons
le système (II) donne, en transformant comme précédemment,
le déterminant de ces équations étant s^rTA^, donc ^ o par hypothèse, ces équations
entraînent
j/../, E= o mot! />"'',
donc, (|uel que soit k,
Comme en vertu de ((V) le déterminant A = |.T,^t/J des a:^,y,A/, est "^^ TT-^a on peut énoncer le théorème :
Pour que [es hi^i^forment une hase il faut et il sujjil que ron ait .f,, /,,, o mod/;*-"* (j <; /•)
If>
i.F.s oiioiPEs I» or.Dni: //'
Détermination des figures des gp'-.
8. Si G n'est pasabélien, l'ordre du central A est au plus/j*. En ce cas, A étant de l'un des cinq tvpes
(',), (3l), (22), (211), (lin),
et Ci I A de type (i i), G sera de l'une des cinq figures
(4)(ll), (3l)(ll), (22)(ll, (3ll)(ll), (Ull)(ll).
Si A est d'ordre//', A est de l'un des trois types
et G| A, aussi d'ordre/);, et non cyclique, est, d'après la détermination desg^, de l'une des
(21), (ni), (i)(n);
trois figures
G sera donc de l'une des neuf figures
•(3)(2i), (3)(iii), (3)(i)(n), (2i)(2i), (2i)(in), (2i)(i)(n), (iii)(2i), (iii)(iii),
(in)(i)(ii).
Si A est un g^,j, donc G| A un gy non cyclique, A est de l'un des deux types
et G| A qui ne peut être cyclique est, d'après la détermination des g^, de Tune des sept figures
(3i), (22), (211), (un), (2)(ii), (ii)(ii), (i)(i)(ii).
G sera donc de l'une des quatorze figures
(2)(3i), (n)(3i), (2)(22), (n)(22), (2)(2n), (n)(2ii), (2)(nii), (n)(iin). (2)(2)(n), (ii)(2)(ii), (2)(n)(ii), (ii)(ii)(n), ( 2) (i) (i) (i i), ( n ) ( 1) ( i)-( n ).
Si A est un g,„ G|A est un g,/ non cyclique, qui a, d'après la détermination des g,/, quinze figures donnant pour G les quinze figures
(i)(4i), (0(32), (i)(3n), (r)(32i), (i)(2in), (i)(nni),
(i)(i)(nii), (,i)(3)(n), (i)(2i)(ii), (i)(2)(i)(n), (i)(ni)(ii), (1) (n ) (1) (n ),
(')(i')(in), (i)(i)(n)(n), ( 1) (1) ( 1) (i) (n).
I IClliF. (*) ( I ) ( I I ) .V > I . Il
Or, toute figure présentant dans une parenthèse un chiffre plus fort qu'un chiffre quelconque d'une des précédentes est impossible. De même si G est métabélien et A cyclique, le commutant étant métabélien, les figures où il y a, dans la deuxième parenthèse, un nombre impair de chiffres égaux sont impossibles ('). Enfin nous n'avons pas à nous occuper de la figure (i 1 1 i)(i i) ni des figures de la forme
(.v)(ir), {s){9.2), (.?){ini), (.*i)(ii), (.9)(i)(.i),
qui ont déjà été traitées ('■').
Figure (s)(l)(ll) s>l.
9. D'après les types connus défigure (i) (i i), G aura pour é(|uations, en sous-enlendant celles qui expriment que a et h sont normaux,
ni-'—l/i'-ni, c"—b'?a\ cf — c^ b'?' a""' , e'- — ê b\^' a'" , d^^ cd = cb\'-a>, c-' ce ^ cbv-' a'\ c 'de :=: de; ( y = o, â = o , I si /j csl ?3; yz=ô=:o, j' = à = isi /?-— 2 ).
Les conditions d'aulomorphisme donnent d'abord aEsÀsEEÀ'aso mod//-', puis, en remplaçant a, Â,X' par/j'~'a, //'A, p'-'V les conditions d'ordre et de figure donnent
y IX HEH y}. = « — y).' -+- û. = ^ — yiJ-' + £,a, s3 a 4- 0/ -f- £/' = ,3 -H ô/;i -t- c[x = 5>.'= ô,u' = o ,
et l'on ne peut avoir \^^u.^\' -- t/.'EE=ro.
Or, si p est >3, en supposant y — o, S = 1 , on a
3! = [3 = a +?. = (3 H-|ji = >.'=;yH= o, donc ). = ;ji H3 >,' = p' = o,
et si p = 2, en supposant y = 0 = i , on a
), = IJ. '^ V Hii /jt' HH o,
il faut donc y =: § = o, alors on a comme conditions
« = £}. = Û.', (3 = c^ H= £|Jl',
(') FiTE, Traits, of tlie Am. Matli. Soc, t. III, i()()2, p. 3'ii.
(*) Dr Skguier, Elémcnii de ta dieoric des groupes abstraite. Cliap. IV.
i.ES cnofPES d'ordre //'.
cl les équations de G seront :
ai''~hP—\, L-i' ~ b^V- a^''"' ' , lO' ■=l b'i" a^ , ei'—b'?"a^",
e~' ce 1= cbv-'a' I'' ', e~ ' rfe z= de.
(l-'c(:l= cbV-a'i'"
On trouve, par un calcul direct, é"' d^' c:'' e' (P &' = e'- cP c^ h*' a'"' ' ^^ avec
-4-fi' j-'c-f-/
d'où, le commutant \a,h,c\ étant abélien,
(e=f/->c'^)-' {e-dy'c'^')-' e= di' C'^ e- d^' c""' — c^" b^" (tP'~' ""
H", K", X" s'obtiennent en retranchant H', K', X' de ce que deviennent ces expressions quand on y permute les lettres accentuées et non accentuées de même nom. On trouve ensuite, par récurrence, (e'd^c-^)"= e^'fP"c'^"h'^"a''' avec
'L„ — uz, Y„ = ?<y, \„— ux + yzl,\ H,
K„=.a|^^yirW + ^v,-
ty
=ir'i',<J+^'j[x=+j(j)jv-'
d'où, pour fi = p, X, V, 3 étant <ip, {e'(P(fy — c'^rlAa''i\ avec
Le changement de générateurs le plus général conservant la forme des équations de G, qui est de la forme
a, = ^''ia^ bi=:bnai''''i, c,--=c"^b'a'-, d,=e=dyc^ b'-a'', ei^e-drc^' h''a" , cXi' (yz — zy')^o, et où nous supposons x,y, z, x' , y , ='</), doit vérifier les conditions
£jk; = £/';'= o, r^~yz'-zy\ s^K", /■=/>»-' H"
l'iGURK (a-)(i)(i i) ,y >I. l^
ot fournit sur les exposants des équations de G la transformation
(''-) i -r',,' = rt ,, v'-i- ,,' -:'
j a[ + ï'iJ.\^^U}.y + l'z');
( 3 ) ^a; + /J'-' t' p; + /^/( = A,„ ïa", + />■<-' r p; + />A' = a;, mod />■' ;
(-1) Yix', + n'.s; =H,„ Y)3c'; 4-r)'|3; =h;,.
Remarquons que A ot h' permettront toujours de vérifier (3), pourvu que l'on ait
(.-.) £a', E=a'/ + a"c, lx[ zs ce' y' -h c'' z' .
Soit d'abord p ^3, les formules (i) et (2) montrent que l'on peut toujours laire l'une des trois hypothèses suivantes, qui sont distinctes :
fji — jx'=o, X = o, >,' — 1 ; fJt = o, fi'^i, X = o,i, À'^o,
en ayant toujours X, = >, a, = a, Xj = X', ix', = tx'. La première hypothèse donne s 2^ o, ^ ^^^yz'-, puis
(5) ='=«', = «', j^'^«", = ay+3c"--';
(4) r,a', + r/;3',^;3'.v, nac", + y)';5", = ;3'y + ;î".-';
d'où, pour p^3, les huit types
x'=x"=o, p'=o, ;3"--=o,i; 3('=o, x"=i, (3'=o,i, P"=o; a'=i,N, a"— ;3'=:o, i3"=zo,i; Aa deuxième hypothèse donne s^e^'^so, yj'^y:;'-, puis
(5) ^«', = «'r, ■ioc'[^=c'y'+x"z';
d'où, pour/j>5, les six types
«'=o("=o, |3'=o, ;3"— 0,1; a'=«"=ro, (3'=:i,N, (3"=o; «'=:., st"=:o, ^'-o, (3''=o,i;
et, pour p = 3, les six types
l'î LES OKOUPKS O'OIIDKE //.
La troisième /ivpol/iése donne ^s^o, ri'i^-y:-'-, ^^EEiy-z-', ^'^zsjv'?', puis
d'où, pour />^. 5, les lo+yo types
et, pour p = 3, les treize types
!x'=!x"=o, P'=o,i, (3"r=o; «'=«" = 0, ^' = -1, (3";;io,i; o!'i=o, a"=i, — I, [3'=ro,i,— I, (3"=ro; a'=i, a"— o, |3'r=o, [3"=o,i,— i.
So/V maintenant p = 2, les formules (i) et (2), qui se réduisent h
^i + ^Vi^/'' Hi = p->
montrent que l'on peut toujours faire l'une, des deux hypothèses suivantes, qui sont distinctes :
fi =3 0, >. — i; // = !, >. =0,
en ayant toujours X, = X, [;i, — p..
Dans le premier cas on a
a', = ix'y + «";,
r,a + j3', = (3'7 + (3";. Tj^t", + (3'; = |3'j'+ p"î';
d'où les sept t\'pes
a'=a"=o. |3'=o, î3" = o,i, a'=3!"=o, !3'=|3"=i; a'=:o, a"=i, l3'=ro,i, ;3"=ro, 3!'=a"=i, ;3' = o, ;3"=o,i.
/>««*■ /e deuxième cas. on a les mêmes formules et, par suite, sept nouveaux (ype>correspondant aux mêmes valeurs de a', 3', a", P".
FIGURE (s)(s)(ll) .«>I. l5
Figure (s)(s)(ll) s>l.
10. D'après les types connus de figure (^)(it) 5>i, G aura des équations de la
forme
^'''=1, bi''T=za>, ci'^^ai, di':=b'^a^, c-^^bc^^ba}-
d'^bcl=baV-, d-^cd — cbP"'a''; (a — o,i).
Les conditions d'automorphisme, fermeture et permutabilité donnent
fxot = >,oc + j3 =r o mod /)■%
en remplaçant A, u., v par p'^'X, p''^\J-, p'~'v, et prenant bn' pour b, les équations de (i deviennent
ai''—i, bi''=a i''^''-^, ci' = ay, di'—b'^a'', b^^ ab ~ c~^ ac — d'^ad — a, c-^bc=bai''~''' , d'''bd= baP'~'V-, d-^cd = cbP"' ; (3t=o,i).
La condition d'ordre est ixaEso, et la condition de figure est que l'on n'ait pas
AEEE:-[i.^O.
On a d' c>'fr'-'d'c'h'- = d''c'''b'''aP""' a\ec
Z'=z'+z, Y'=.y' + f, \'=x+x+p'-'zy', W = x' Q.y + ixz),
d'où, le commutant étant abélien,
{d-cyb^)'^ (d-'cy'h-^')-' d~ cy b^ d~ cy b""' = bfy--~-y">i'' 'a""P"',
avec U" —\(xy' — yx') -\- i^Çœz' -h zx'), et l'on a par récurrence (d'c> h-'')''= b^i'a'^i avec
15,,= «; +/j{T-hzp'-^-yz), A,,= yy + dz -^ {i — î) {p'-'lxyz -i- p'~^ ix{ly -h (J-z).
Le changement de générateurs le plus général conservant la forme des équations de G
est
a, = a^ bi~bn'a^, c ^^ d- c^ b'^ a'' , d^ — d- cy' b""' a''',
avec les conditions
'if/iyz'- zy') ^ o, n'-^pj—yz' - zy', ?'+ «>./ = M^y'-y-^') H- ^l(^2' - =■»'
i(> i.F.s onori'KS d'orduk //'.
((j,j,,J\) désignant des entiers arbitraires), et fournit sur les exposants des équations de G la transformation
(x(D., — r;i)=o, a, = T/(>.j4-fx:), BiJ.,~ri'0.y'-\-iJ-z'); ly^-\- pisi.'/. = i\,, + ph, 1^^ + '^ ci.-\- pr' a\ = X,, + ph', mod/j";
la présence de h, h', dans les deux dernières, montre qu'elles peuvent être vérifiées pour/5> 2 toujours et seulement si l'on a
I " Type x-^o de Vi\K. •
On peut toujours faire X, = o, p., = r ; et, en supposant À, = A — o, a, = a = i, on a ssEEO, ^EEEEys'- et
d'où les quatre types (les deux derniers se confondent pour/j =2)
2° Type ot =:r I de G | A.
Les conditions d'ordre et de figure étant [xeeeeo, A pz^ o, on pourra, en prenant a' poura, écrire les équations de G
ai''—\, hi''^a'i''', ci' — a^, di'^baP, c '' bc = hai''"' , d^^hd^b, d-^cd = cbi''~'. Tout changement de générateurs conservant la forme des équations de (i doit vérifier
r/-hpj = z', t'+y = -x', £ = r)', y^i, y'=o, pa:~{-z(i+p)=j\/>', -r' +,/=,/, /J'"'
et les formules mod p de la transformation sur les exposants de G sont
d'où les 2/j types
FIGURE (*)(ll)(ll) .ï>I. 17
Figure (s) (11) (11) s>l.
1 1 . D'après les types connus de figure (i 1) (i i), les équations de G auront la forme
«''•=!, bP=a'*, c''=za'^', cli'=cV-aP, e'' -- c^b>' a^' , (—^bc=r-hay, d-' bd=z ba'% e~'be = ba^'', d-'cd^=ca'^, c-^ce^ca'^', e-^de^zdc,
les exposants des générateurs autres que a ayant les déterminations suivantes, correspondant aux types distincts de G] A,
p^i I. II. III. IV. p = i r. II. iir. IV.
pi o o o I o I o I
Les conditions d'automorphisme, fermeture et permutabilité donnent
y = xpi = a' H- ex — x' pi E= a' + £x' -f- o/.' 4- /;j.' ;eh x' ja' -+- ô' X' h= o inocl/>%
d'où l'on tire a'EEEo mod//~' et, en remplaçant 0, x, 0', x', a' par leurs produits par// ', les équations de G seront
rtP'zzri, *'' = ««, c''= ">'"', di' = cV-a?, e''—cV-b'''a^', c-^bc—b, d-^ bd =z b(t^i>'-\ e-^ be ^ ba^'P'~\ d-^ cd ^ cd*-i>'' , e-^ ce ■= cd'-' i'"\ t'-^dez^dc,
avec les conditions d'ordre
a'+ £X— X'|JLE= «' + £X'+ 0/.'+ X/Jl'= x'/j!.'-t- â'/.'= o.
Les éléments normaux étant de la forme c'/r'^avec ox h- S'j'E;^x.r -+- v! y^Eao, la condition de figure est Sx' — xS'^ o.
On voit alors que les types de G| A qui conviennent sont pour/;>2: le type 1 avec les conditions
en.' E= o, ox' — xô' p^ o,
le type II avec les conditions
x==ô'so, a' = — ô s= x' je^ o;
l8 I.KS GROUPES n'ORDIiK /J*.
et pour/^ = 2 : le type 1' avec les conditions le type III' avec les conditions
oc' =: y. ^ •/.' ^ i, o^y.'^i.
En parlant des équations générales où l'on a fait u.' = o, et posant
g ■= e" d' cy b'^ , g' = e"' d- cy' b^' (les exposants élanl </>), g' g = e^ d' 6^ y^ af-'^^ g^— e^^d''c\b\a"^P' ', gP= c''rb«i'a^r.
on a
on en tire g ' g^-' gg'= c^' "^ a"' "', H,, Y', se déduisant de H', Y' en y permutant les lettres accentuées et non accentuées de même nom; on a ensuite par récurrence
H^— x.m2S';-' ( " j -+- /.'5 ( " j +y(y<-: -t-z'") -^a-(dz + ô' u)
-+- y.'zu^l';-'l\ l + y.z'-ul';-'l\ t,
et en faisant i> — />
^P~a[y — {(i~ c) zii] -t- j3; -H ;5' H + />■'-' [ s'zii{-~^y. z-h-/.'u)+£ [x.-( J -I- u) -H y'j'u + a-(ôz -+- 0' u)]\.
Le changement de générateurs le plus général conservant la forme des équations est de la forme
rt,=:a^, bi = c'''b>a'', c, — c'^''b-a''', d, — e"d-cy b-'a'-, et= e"'d-cy' b'^'a'--,
il doit, en supposant les exposants de b, c, d, e inférieurs à p, ceux de a inférieurs n p'\ vérifier les conditions appelées conditions (C)
O'in'^o r! — zu'—uz'+i,j, /j'-^j oc' + h< ~ p'-'^{M\—\V) iiio(l/r% ^'£E= Vu s /'(l - «') = o, piy/=: :;(^ -H £«) H- /,/, X'n = z' {^ + tu') + pi' ,
j, l, /' désignant des entiers arbitraires; on en conclut /«'i.-o mody/ ' ; alors, en remplaçant A' par A'y»^ ', la troisième condition s'écrira ya' + /j'es H', — H' et la transformation que fournit sur les exposants des équations de G un cliangement de générateurs ainsi
FIGUUE (s)(ll)(lï) ^>I. I()
déterminé est définie par
(i) Sx, = ri' (x3 -)- -/.'il),
(3) eèi = ^(àz +$',t) -^-r,(y.z +y:i,).
Cl) e3', = |(ôy 4- ô'«') + r,(/.;:'-i- /'«'),
(5) 6«, s tst -HTiJt'/J'"' +/^A niocl/j%
(6) ea', = ri'oc\
(;) {lx'-hiJ./,')j)'-'+0Pi = \„-i-pA- mo(\p',
(8) /'a>'-' + /.'/( + (5;3;sA;-+-/>Â' mo(l/7%
A^, se déduisant de A^, en y accentuant les lettres oc, y, z, u. Les trois congruences (5), (7), (8) entraînent
{■>') Oxi = tx,
(8') l'/i-^.fj^[=sx[y~-l{i-^e)z'u]-^^:'+^'u'.
et, si (V), (7'), (8') sont vérifiées, on pourra toujours déterminer /i, X-, k' de manière à vérifier (5j, (7), (8). Séparons maintenant les divers cas.
Type / de G\A.
En tenant compte de la condition de figure, on voit que les formules (r) et (2) permettent de faire x, = o, y.\ = 1 ; et si l'on suppose x, = x = o, x', = x'= r, donc het^o, yj'shsm', 0;^5m'-, les formules (3), (4) qui deviennent
montrent que l'on p6ut toujours faire 0, = i , o\ =0. En supposant S, = 0 = i , 0, = 5' = o, donc ^^sm'\ -qEE^ — z-'u', les formules (5'), (7'), (8') qui deviennent
donnent les cinq types
LES GROUPES d'oRDKE /;".
Type IV de G \ A.
Comme on a a'sEE — S^x'^o, on peut prendre a*' pour a e\ par suite supposer a'= — 0 = x'= I ; comme on peut prendre ba?' pour h, on peut aussi supposer j3' = o. Le cliangement de générateurs le plus générai conservant la forme des équations de G doit alors vérifier :
et fournit sur les deux exposants a. p la transformation
d'où les^ + I types
Type r de G\ A.
Les conditions (C) deviennent
^'~zu = z'u'=o, /i'=Ii;-f-H', 5ee^Ï = Y)'=3 + «s ;'+«'=!,
et les formules de la transformation s'écrivent
b, = de + o' u + Y), d\~dz'+8'u'-i--n',
(3), (4) et la condition de figure permettent de faire toujours S, = o, o', = i.
En supposant o, = o = o, o', = o'=i, doncrjssM, (5'), (7'), (8') et les condition? zuEE^z' u'^E^o, z -h uE^.z' -h u';^ I, donnent les quatre types
Ty/^e ///' de G\A.
Comme on peut prendre ba^' pour b, on peut supposer p'= o; aux conditions (C) qui
FIGURE (5)(l)(l)(l l) S>I. 21
deviennent
il faut alors ajouter
Bt/H-(3;'=o,
et les formules de la transformation s'écrivent
d'où les trois types
a=ro, (3 = 0, i; a=i, {3=o.
Figure(s)(l)(l)(ll) s>l.
12. D'après les types connus de figure (i) (i)(i i), les équations de G auront la forme
aP'=:i, bi'=a*, cP—b'^a^, dP=c^9a1, eP—b'at', c-^bc—baV-, d-^bd— baV-', e-^ be — haV-" , d-^cd=ca'', e-^cer-^-cb, e-'de^dc.
Les conditions d'automorphisme, de fermeture et de permutabilité résultant de l'adjonction successive de c, d, e,/sont
(ji = fjL'= fjL">,'= £v = a + £p."= (3 -I- £'//"= |3 — >,^" = o niod/>' et v^/jl'so modyo*-',
la condition de figure est [Ji"^omod^*; on peut donc prendre a^" pour a''' ', c'està-dire supposer toujours ui" = //'"', donc A'^^o, aï^/)*"'£, {3= ?:/>*"' X^ee^'^'î' mod/*', et les équatjons de G deviennent, en remplaçant v par/?' ' v,
a'''=ri, bP=ai'"'^, cP—b^aP'"^', dP -c^a^'a'l, eP = (n\ c-^bc — b, d^bd^b, e ^be— baP"", d 'cd = caP"'\ e-'ce~cb, e 'deizdc.
Un calcul direct donne e^'d'c^b^e"' d'-' c^'b^' ^ e^'d^c'' b^' a"''' ' ,i\\cc le. commutant ]a, b, c\ étant abélicn on a
{e"' d- c^' b'' ) '^ e" d' cy b"" e"' d- cy' b-^' = e" d~ cy b^ e''" b^" a^^y "
LES GROUPES u'ORDRE />'.
avec
Il"=v
'"'■■'- if }]-=■["■'
On trouve par récurrence
( e" ci- cy b" y— é-''d''C^' b^'a"'!"'
avec
( e» rf= cJ" Z»' ) '' = c'V b^\' a":'
+ Vi
d'où l'on tire avec
en supposant x, y, z, u <Cf>-
On voit que le cliangement de générateurs le plus général conservant la forme çlesl équations de G est de la forme
«, = «", bi=b^a'"'"', Çi=c'i'b'^'a'''P"', di— e" d-cyb^'a'', ei — e"'d-'cy'b'^'a''',
eir,'{zu'—us')^o,
avec les conditions
& = ;«' È = r/«', /i = r/('"'Wç'«'4-vï)'i!', W=zu', ^' = yu' -^ z ("^), h'~W, u = o, £(/ — £') = o, sz'=o.
Et la transformation (T) qui en résulte sur les exposants non déterminés des équations de G est définie par
zu'^yt B^ X + kp zu"y\ = X' + k'p
modp^.
A'p étant ce que devient A,, quand on y accentue x,y, z, u.
