LES G/,™ AYANT TOUS LEURS DIVISEURS ABELIENS
Premier cas. ^ > 2.
La transformation (T) est
modp', //'2 m. = y
On voit aisément que les types distincts correspondent à
les valeurs de y comprises dans une même parenthèse fournissent le même type si p est i ou r~ 2 mod3; il en est de même pour les valeurs de y', si p est s=; 3 mod/|.
Deuxième cas. p = i (v^somoda').
La transformation (T) est
y,H= y + -lA + (.r -t- j)2'-', y', = y^'H- y'-+- 2 A' -h j'a'"' (iiioda')
et montre qu'il y a trois types correspondant à
Remarquons que dans ce cas r/ est toujours un 0,5 qui avec a* engendre un g,., abélien de type (4i)! '^^ on* '^''^ figure (2)(i)(i)(i i) rentrent dans les g^» ayant un g^,»— abélien de type (m — 2, i) (')•
Les g/,"- ayant tous leurs diviseurs abéliens.
13. Qiiel(jues-uns des types des figures (r^) (i i), (/■ii)(ti) dont nous abordons maintenant l'étude, ont tous leurs diviseurs abéliens. Nous nous proposons de déterminer en même temps tous les gy» non abéliens dont tous les diviseurs sont abéliens.
Soient G ini gy non abëlien ayant tous ses diviseurs abéliens, A le central de G, G le com-
( ' I MiLl.iiR, 'l'riinx, o/' thc Ain. Math. Soc, lyoï.
1i.\ '^^^^B' '-''^ CROUPES T) ORDRE p"
inufanl, P le p. p. c. m. (lcs/>-ièmes puissances des éléments de G, CPa?,, CFa?^, . . ., LPajy une hase du groupe abélien principal GjCP. Le groupe CP, p. g. c. d. des g^,». ■ (') est < G donc abélien, et d'ordre 'Sp'"-- car si CP était d'ordre/?'""', G n'aurait qu'un g,,- ■ et, m étant > 2, G serait cyclique (-). Donc v est ^1. Si vêtait >3 tout ^,r-*' \ CP, x^, x,, \ serait <G donc abélien et G serait abélien. On a donc v = 2; et, tout g^,»— | CP, a?, ' étant par hypothèse abélien, CP divise le central A de G. Mais G n'étant pas abélien, l'ordre (le A ne peut surpasser //" ^ ordre de CP, donc CP = A. AinsiG\A est un g,,' principal et l'on a CP = A. Ces conditions siijfisent évidemment pour que G ait tous ses diviseurs abélœns. En désignant par Ad, ke une hase du s,,,- principal G|A, on peut remplacer la condidition CP = A par la condition équivalente
A — \ d'', ei', d-^e-^de ['
Supposons en effet G | A principal d'ordre p- et soit D = \ d'', e^, rf-' e"' de \, E = \d, e\. .le dis que (E, D) ~ p' ■ En effet dP, e^ sont dans D; et, comme D d'après l'hypothèse divise A, d ^ie indépendants modA le sont aussi niodD. On a donc (E, i) = (D, \)p- en ^nêmc temps que (G, i) = (A, i)/^". Alors si D est <C A, E non abélien est <i G. Si D = A, on a E = G et CP .=: D = A. On peut donc dire : pour qu'un g,,"'G non abélien ait tous ses dii-iseurs abéliens, il faut et il suffu que G] A soit principal d' ordre p"^, et que, en désignant par Ad, Ae une base de G j A, on ait A =; [ d^, e^, d~' e~' de[.
14. Désignons en général par a,(j = i, . . ., v) une base de G et cherchons la condition nécessaire et suffisante pour qu'un système d'éléments représentés en notation addilive
par iA=^^;A«( engendre G. Tout d'abord, on sait qu'il faut k'^v (^)- Si la matrice des a;,*]
est de rang(')v modp on pourra, en résolvant les équations, exj:frimer tous les a, en: fonction de v des b/^ et, par conséquent ces v i^. engendrent G. Si la matrice des 0;^ est; modyo de rang p <Cy, \xij\{i,j = i, ...,p) étant par exemple ^ o, il existe des entiers; À/,^o, Ay^ et ii-i^ tels que l'on ail
(1 ou 1 on lire
■PIJ-//,
{h = p-hi, . . ., v).
(') BAGNi;nA, K. A. L. IL, 1898. J. D. M. (WV série), I. II, p. 204. (2) Blrnside, Theniy, n'" 02, 63.
C) FnoBUMUs cl Stiikkldkhgeh, Cr., t. LXXXVI, 1879, p. ■x'i-. — De Séguikb, Élcnicnts de la théorie des 'loupes, w" 119. .
( '♦ ) Le rang es l le degré du déterminant ^ o de degré le plus élevé.
• FIGURE (''*)(l l)- 2.5
Il est alors impossible que les h^ engendrent G; car, s'il en était ainsi, on aurait
d'où
'./, /'/, ^ P^ IJ-i/iVik bk — 2^ 'il' bj,
ik i
que l'on peut mettre sous la forme
bu+'y^p'i-iui'ii.—'y^'ijkbj,
A prenant les valeurs p + i , . . ., v, et V s'étendant aux valeurs 7^= p + i, . . ., A — i,
A 4- I , ..., V. Le déterminant des coefficients des b/, étant 1:7^ i nio(l/>, les b/, seraient exprimables en fonction des hj et G serait engendré par moins de v générateurs.
Ainsi, en reprenant la notation multiplicative, la condition nécessaire et suffisante pour que les éléments I la,''' engendrent G est qu'un déterminant d'ordre v de la matrice des x^^
soit ^ o moil/j.
La rondilion A = ]d'', e'', d~'' e~^ ile\ é(|uivaut donc à celle-ci : A a au plus trois générateurs l)asi(|ues et si l'on considère la matrice formée par les exposants des générateurs basiques de A dans les valeurs de d^, e'', d~'e~' de, un déterminant de cette matrice est ^o.
Si A a trois générateurs basiques, comme d-'e~'de est d'ordre p d'après les conditions d'aulomorpbisme de G, la manière dont on forme une base normale montre que le troisième exposant basique sera i. A sera donc de figure (rsi). Si A a un ou deux générateurs basiques, les exposants basiques seront (iuelcon(jues, G aura donc l'une des trois figures
Les g//" de figure (/■)(! 1), (m)(i i), (i i i)(i i) sont tous connus. Nous allons étudier les figures (rs) (i i) (s > i) et ( rs i) (i i).
Figure (r s) (11)-
15. En tenant compte des conditions d'automorpbisme, les équations de G auront la forme
a''" —- bP' — I , cP=L>V-ay, (li'—b''o'', c-^ l>c = d^^ ùd = h, d-^cd = cb^P"' aP '•'"'. l'. 4
2() I.KS GROUPES d'oUDRK //'.
Si l'on pose g = rPc"", g'= cP'c^', gP = b^^ra^r on trouve
g--=a-yc~^{b'">' 'af''' 'yy~'~'>,
g-' g'-' g g' = ( b"'''"' aPi'" 'yy'-y-'',
A/,= ya- + or + i^xyp'—^,
1{^, =: /jia- -t- V j + zaxyi''
Le changement de générateurs le plus général conservant la forme des équations de G est de la forme
a^—b''cr; b^—b'Ufii'''~\ c y — dr c'' b'' a" , d ^^ dr c'^ b'^' a'' , avec les conditions
et opère d'abord sur les exposants p, ct la transformation
Supposons r>^; la condition de figure étant a ou 5 p^ o, on voit qu'on peut toujours faire sur p, a l'une des deux hypothèses irréductibles l'une à l'autre
Pi = P = )
pi = P = o.
L'hypothèse p, = p = i , t, = ct = o donne la condition l^^xj' — yx' et le changement de générateurs le plus général conservant cette forme réduite opère sur les autres exposants la transformation
Vi^ -I- iJ-,^' p''-' = yx -+- ôy ■+- ph + loxyp'-^ y^-n H-- fJiir/= fxx + v/ -I- l'JX y p''^ -t- /^A'
modp'', moi\ p\
l'out système a;y jj'y' solution de ces équations est aussi solution de ces équations pris! mod />
y^\ = yx -i-ôj-, y.n 4-/a,T,'=f^.r -1- v/,
la réciproque est vraie si l'on choisit convenablement h, Ji , k, k . Or, les quatre dernières formules montrent que G a les quatre types
y rr: ô =z o, p. =; O, V =; O, I ; y '=^ O, Ô r^ I , fjt = O, 1 , V r^ O.
L'hypothèse p, = p = o. o-, = t = i donne les conditions S'^o, Y(==xy' — yx' , et le
rir.iRE (rs i)( 1 1). 27
diangement de générateurs le plus général conservant cette forme réduite opère sur les autres exposants une transformation dont les formules prises niod/^ sont les mêmes que précédemment. D'où quatre nouveaux types correspondant aux mêmes valeurs de y, 0, a, v. Deux de ces huit types ont tous leurs diviseurs abéliens : ils ont pour équation
al'' ^ 1)1'' = i , ci'=^h, di'—a, d-^cd — ca'''', al'' —//'''=] , ci'—zb, di'=a, d-^cd = cbi'''.
Supposons r = s. On peut toujours faire l'hypollièse p, = p = o, C7, = a = i qui conduit aux mêmes calculs que pourrai. G a donc seulement les quatre derniers types trouvés dans ce cas, et un seul a tous ses diviseurs abéliens; ses équations sont
al'" = bi'" =2 i , ci'=b, di'—a, d-'cd = cbf' '.
Figure (rsl)(ll).
16. En tenant compte des conditions d'automorpliisme, G aura des équations de la forme
ai'''—b'''=ci'=i, di'=icyb?a'^, ei' =cr b?' a^' , e-hte ^ de' b'^P"' a'^p''' . Si l'on pose §■= e^ d'^, g' = e^'d-'', g'' = éi<U\<a^p, on trouve
g' g = er'+r f^-^ ■+■>;( c' b'^i'"' à'i'"' Y'^, g-^ g'-^gg' — ( c'' bV-i'"' rp/'"' ' yï- i'^',
g- = e-yd-'^ ( c^ bV-i''-' a'-i'''~' ) '■>" ^ ■"' ', A/,= 3!.r + a'y ■+- Elxyp'--\ B,,— (3j? + ;3'/ + af^.r/ />'-', C,,= yo.' + y' y -i- vjxy.
Le changement de générateurs le plus général conservant la forme des équations de G est de la forme
f7, = c'i)^ia', b^ = c''-'b'^'a'-i''''', e, =r c'" A'i"'''"'rt^'>''"', d ^ — ey d" c' b'' a'' ,
cy'd'='c''b'''ai''.
avec les conditions
Vpr^s
(.•ry-y^')^o
et opère d'abord sur les exposants X, [j., v la transformation
r'r'->, + Ç"v, s 'j(xy'-yjc').
LES r.ROl l'KS D nnoRF.
Premier cas. r >• ^ > i .
La condition de figure étant Aon u on v^o, on peut toujours faire l'une des trois hypothèses, irréductibles l'une à l'autre :
L'hypothèse v, = v — a, = u, - = o, A, = a = i donne la condition ^^^-ixy' — yx' ei le changement de générateurs le plus général conservant cette forme réduite opère sur les exposants restants la transformation
«1 1 + (3ii'/''-'+ vi Vp''^' - ^,.==(\ i + i5'.i:>'--'+ v; ;>'-'- a;
niotl /j',
a,Y] + !3,Y)' -4-y,r,"/;'"' — B,,= a', Yi + (5', r/' + y', r, '/''"' — '^'/.= «^i niod //,
«, rH-;3,ç' +y,r Ces formules donnent
L'hypothèse v, = v = o, tx, = u. = i, X, = A = o conduit à ces mêmes formules, (i a donc les quatorze types correspondant à
« = 0, a'=i, ,3 = ^' — o, y = o, I, y'=o; « = o, ac'=i,
Dans l'hypothèse v, = v = i, a, = a = X, = A = o, la transformation générale des exposants restants est définie par
otiç ^^ OLX H- a. y,
a,r/ + (3,Yj'=i3.2; + (3'/, a', r, H- ;3'it/= ^x'-+- p' y' ,
«, Ç + P, Ç' + y, Ç" ^ yœ + y'y + Exy, «', Ç + ;i', Ç' + y', Ç" e^ y ^' + y'j' + s.r'j',
et G a sept types dont deux correspondent à
