VI- V

Note 7 (p. 52).

Contraction des longueurs et dilatation du temps.

Soient X{, Xi et xi, x> les abscisses des deux extrémités de la tige dans les systèmes S et S ; la première des formules de Lorentz

jc' = — (x — vi)

appliquée aux deux points extrémités de la tige, à un même instant t du système S, donne

(7-1) Xi — xi = — (x2 — Xi) ou / = Oif,

D'autre part, considérons utie horloge du système S et deux événements infiniment voisins se produisant sur cette horloge ; nous avons : invariant ds =^c dt^ = c dt' — dx" avec dx = vdt.

D'où

(7.2) dt=-^dt\

Soit maintenant une tige infiniment courte dirigée parallèlement à la vitesse, immobile dans le système S et de longueur dx dans ce système; considérons deux événements infiniment voisins concernant cette tige; d'après (7-1)

et (7-2), robservateur du système S mesure :

dx = ^dx et dt= — dt' .

On a donc

(7-3) dxdt = dx'dt'.

" Invariance de lhypervolume d'univers. — Avec

des tiges de longueurs au repos dx , dy , dz dirigées parallèlement aux axes, formons un parallélipipède rectangle, immobile dans S ; soit dt un intervalle de temps infiniment court marqué par une horloge au centre de parallélipipède; comme, avec notre choix d'axes, dy = dy et dz=^dz , nous obtenons

(7-4) dxdydzdt = dxdydzd{

OU' encore en prenant comme coordonnée de temps la longueur u^= et

(7-5) dxdydzdu =^ dxdy dzdu .

Note 8 (p. 57).

Sur le temps propre.

Considérons deux mobiles Mi et M 2 en coïncidence absolue aux événements A et B, et ayant, entre ces événements, des lignes d'Univers différentes. Supposons que Ml soit en translation uniforme; M2 a alors nécessairement subi une accélération entre les deux événements considérés. Repérons les événements dans un système S (en translation uniforme) lié à Mi.

Prenons deux époques / et / + J/ du temps du système S, comprises entre les époques /a et ta auxquelles se pro-

duîsent» toujours dans le système S lié à Mi» les événements A et'B. Aux époques / et / + A, le second mobile M2 est repéré x, y,z, t; x-\- dx, y + dy, ^ + dz, t-hdt dans le système S; ces coordonnées déterminent, sur la ligne d'Univers de M2, deux événements infiniment voisins dont l'intervalle est J5; on a

ds = — dx — dy — dz + c dC

mais on a aussi

ds = cdt,

pai conséquent

(8-1) ds = ^cdU ou dt = 0Ldt (^=\/l~

Les mobiles Mi et M2 étant en coïncidence absolue aux événements A et B. nous obtenons, par intégration,

(8-2) fy^^fu''^^'

Plus le mouvement de M 2 aura été accéléré, plus, par conséquent, les vitesses par rapport à Mi seront grandes puisque la durée totale U — /a est fixe, et plus le temps propre total sera court.

En d'autres termes, entre deux événements déterminés, la plus longue ligne d'Univers est celle qui correspond au mouvement rectiligne et uniforme.

Note 9 (p. 59).

La loi d'inertie.

Une (onction a une variation nulle lorsqu'elle passe par un

minimum ou par un maximum. Donc, pour la ligne géométrique la plus courte on a o I J/ = 0; et pour la ligne d'Univers la plus longue on a ^

(9-1) ^fds = 0.

Dans un cas comme dans Fautre, l'énoncé sous forme de loi d'action stationnaire est le même. La formule (9-1) est l'expression intrinsèque, indépendante de tout système de coordonnées, de la loi d'inertie.

Note 10.