AA + A,B^ + A.B. = A

Le carré de la longueur d'un vecteur est le produit scalaire du vecteur par lui-même. Deux vecteurs sont orthogonaux si AjtBiA = 0.

Pour les quadrivecteurs, en coordonnées arbitraires» le scalaire

(11-14) A,B^ = A'^Bi. = g^'A^B. = g.vA^B^

est la généralisation du produit scalaire (11-13).

Le carré de la longueur généralisée d'un quadrivecteur A'*(ou A|i) est le scalaire

(11-15) r' = A, A^* = g,v A'^A^ = g^^A, Av ••

et la condition d'orthogonalité de deux quadrivecteurs (A,., B;x ou A^ BO est '

(11-16) A,B^ = ou A^B, = 0.

10'* DENSITÉ TENSORIELLE. — Le déterminant g des g(Av est toujours <C ; considérons V — g ion démontre que :

(l 1 -1 7) V — gd(à = invariant (c/w = dxidxzdxsdxi).

En coordonnées galiléennes, gii^ g22 ^^= gss = — 1 , g u =^ + 1 , gi*v = ([-»' =7^ v) ; y — g= \ et l'invariant

V — gd<i>^= dx.dy,dz. cdt (élément d'hypervolume, voir note 7).

Soit T^Z', un tenseur, on appelle densité tensorielle l'expression

(11-18) ^;i=>^gr;t

On peut toujours choisir les coordonnées de façon

qu'en tout point-événement y — g = I . Ce choix simplifie souvent les calculs.

ir SYMBOLES DE CHRISTOFFEL. — Nous ferons usage des symboles

(|1.19)ri'-''l=if^^^+^-^A(pasde.ommation).

(11-20) STi = 4«]

(sommation par rapport à l'indice muet (%).

Les grandeurs représentées par les symboles sont nulles en coordonnées galiléennes (les gi^-» sont constants). Ces symboles sont symétriques en [>* et v. Il faut noter que ce ne sont pas des tenseurs.

12" DÉRIVÉE CO VARIANTE. — La dérivée dun scalaire est un quadrivecteur covariant, mais la dérivée d un quadrivecteur n'est pas un tenseur. Soit un quadrivecteur covariant A;!, on démontre que les quantités

constituent un tenseur covariant, appelé dérivée covariante de A,l.

De même