A:: = ^VS^\^A
est la dérivée covariante du quadrivecteur A^ contrevariant. Généralisation, — Soit un tenseur quelconque, A [.^^, par exemple; sa dérivée covariante est le tenseur:
La dérivée covariante remplace, dans les équations tensorielles exigées par le principe de la relativité, la dérivée ordinaire qui en est la forme dégénérée, en coordonnées galiléennes (car en coordonnées galiléennes les symboles de Christoffel sont nuls).
Supposons qu'on déplace un vecteur suivant un certain contour. Dans un espace euclidien et en coordonnées galiléennes, la condition nécessaire et suffisante pour que le vecteur reste de même longueur et parallèle à lui-même
pendant le déplacement est — — = ( ou -r— ^ = ) * Cette
condition étant la forme dégénérée de l'équation tensorielle AJ^O (ou A;iLv = 0) nous dirons que l'annulation de là dérivée covariante d'un quadrivecteur en tout point d'un contour exprime un déplacement sans variation absolue " (Eddington) ou un ** déplacement parallèle " (Weyl) bien qu'il ne puisse, en général, être question de parallélisme au sens de la géométrie euclidienne.
13^ QUELQUES FORMULES UTILES. — On démontre que
(/g"^ = — g'' Y^</g;" et cfea? = — gj.'.g.}dg^\
( 1 1 -25) A"Vg.? = — A.j</g"'.
RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 16t
( 1 1 -26) J(log g') = — g^.dg^: = f'dg,..
(11-27) ji^-pj.— ^lo gy/— g .
14" DIVERGENCE. — Dans la théorie vectorielle ordinaire, on appelle divergence le scalaire
(11-28) ^' + ^« + ^ ou ^-
ôx 0^ Oz Ox:x
La généralisation çst immédiate. Pour un quadrivecteur contrevariant, la diverjgence est la dérivée covariante contractée A^ (scalaire), ,
Introduisant la densité tensorielle, et tenant compte de (11-27)
' La divergence d'un tenseur du second ordre est, de même, la dérivée covariante contractée : c'est un quadrivecteur.
a) Tenseur mixte Ajl. — La divergence est A!lv (v devient indice muet)
(11-30) A;=--^H-f'' a;— r^fA:
ou
expression qui, lorsque Ativ est symétrique, se simplifie
(11-32) A" =^-±^Jl'/=^* + l^'jt„
ôjCv 2 Oxix Oxv 2 ^Xj*
