BECQUEREL
(11.33) Ar=:2;^+ ^^U.»
b) Tenseur contrevariant A**'. — La divergence est Av ' ; en introduisant les densités tensorielles, on trouve
le dernier terme disparaît lorsque le tenseur est symétrique gauche.
Dans la théorie vectorielle, l'annulation de la divergence d'un vecteur exprime la continuité du flux de ce vecteur. Dans la théorie de l'univers quadridimensionnel, où intervient une coordonnée de temps, l'annulation d'une divergence est la condition la plus générale de conservation ou de permanence d'un quadrivecteur ou d'un tenseur,
15 LE TENSEUR DE RIEMANN-CHRISTOFFEL. -
La dérivée covariante du tenseur gv.» est identiquement nulle. On peut cependant former un tenseur par différenciation à partir du tenseur fondamental seul.
Formons la dérivée seconde covariante Ayiv» d'un vecteur arbitraire A;*, puis le tenseur Ayiv» — A-^v^, le calcul donne
klXVff
A[i.(Tv — rCj^^vo Ap.
""-iTi^:!
l'HT!
Puisque A? est arbitraire et que A|iv«r — A|a»v est un tenseur, la dernière des règles indiquées (n" 6) montre que RJ^vff est un tenseur. // n'est constitué que par les gi^v et leurs dérivées ; c'est un tenseur d'Univers.
Le tenseur contracté est
^Xfip) (£)(p) ^x,fp^ (^Kp; (p et e sont des indices muets) qu'on peut écrire, en utilisant (l 1-27)
Les deux derniers termes disp araiss ent si l'on choisit les coordonnées de manière que y/ — g= ].
Ejifin, en multipliant par g'*' on forme Tinvariant contracté
qu'on démontte être une généralisation de la courbure de Gauss.
Note 12.
Gravitation et dynamique.
r LOI DE LA GRAVITATION DANS LE VIDE. — Si l'Univers est euclidien, et si l'on prend des coordonnées galiléennes, toutes les composantes de R.^,,, s'annulent car tous les symboles de Christoffel sont nuls. Mais alors ces composantes s'annulent aussi dans tout autre système de coordonnées (propriété fondamentale des tenseurs, les équations de transformation des composantes étant linéaires et homogènes). L'annulation du tenseur de Riemann- Christoffel est donc une condition nécessaire pour que l'Univers soit euclidien. On démontre que cette condition ' est suffisante.
Si Ton admet que l'Univers est euclidien à distance infinie de toute matière, la loi de la gravitation dans le vide est nécessairement R|xv = (voir chap. x).
Mais si l'Univers est courbe dans son ensemble et si l'espace est fini, il n'est plus nécesseure de conserver R^v, = comme solution limite, et la covariance est respectée si l'on pose
(I2-I) Ri. = Rh.v — X^,xv =
A étant une constante universelle certainement très petite. Pour le moment nous supposerons A = 0.
R|Av est la seule expression générale d'un tenseur du second ordre, (onction seulement des g-jiv et de leurs dérivées, ne contenant pas de dérivées d'ordre > 2 et linéaire par rapport aux dérivées secondes.
2" THÉORÈME FONDAMENTAL. — La divergence du tenseur
est identiquement nulle, ce qu'on peut écrire
Ces quatre identités ([J- = 1 , 2, 3, 4) sont celles qui réduisent à 6 le nombre des conditions exprimant la loi de la gravitation dans le vide (Ch. X, p. 108).
y ÉQUATIONS DES GÉODÊSIQUES. - Soit A' le
vecteur contrevariant --^- Sa dérivée covariante est
Multiplions par A* = — -^ nous obtenons
as
as { '^ ) as as
Le premier membre étant un tenseur, il en est de même du second. Ce tenseur s'annule en coordonnées galiléennes
pour tous les points d'une géodésique car alors -—7 — et [ = ; par suite l'annulation de ce tenseur représente
les équations d'une géodésique dans un Univers euclidien quelles que soient les coordonnées.
D'après le principe d'équivalence, il en est de même dans un champ de gravitation permanent. L'équation générale est donc
(12-5) t/'jr^ ^ Ug ^ t/yg dxf^ Q
ds ( ^ ) </s ds
(4 équations : <? = 1 , 2, 3, 4}«
Il est à remarquer que le principe d'équivalence n'est autre chose que l'affirmation de l'existence d'un Univers tangent. Il résulte de la qu'il y a nécessairement équivalence entre un champ de force géométrique dans un Univers euclidien et un champ de gravitation permanent pour les lois qui ne font intervenir que les g|*v et leurs dérivées premières, mais qu'il n'y a plus nécessairement équivalence pour les lois faisant intervenir les dérivées des g;xv d'un ordre supérieur au premier.
