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Coefficient de covariation. — Puisqu’il y aura toujours concordance partielle, nous n’aurons plus qu’à étudier le degré plus ou moins grand de cette concordance et à l’exprimer au moyen d’un coefficient. Ce coefficient a été appelé « coefficient de dépendance » par Fechner, « coefficient de corrélation » par Pearson, ou encore « coefficient de covaration ». Nous reviendrons sur cette terminologie.

Premier examen. — Le calcul du coefficient de covariation étant assez long, il faut se préoccuper de ne pas le faire inutilement et dans ce but, il peut être utile de classer d’abord les courbes au simple coup d'œil suivant leur degré de ressemblance.

Décalage. — D'autre part, il est possible que cette covariation ne soit pas concomitante, mais qu'elle se produise à un intervalle de temps plus ou moins grand; il faudra donc mesurer aussi cet intervalle de temps, que nous appellerons « décalage »; nous l’évaluerons en mois et le ferons précéder du signe — ou + suivant que les variations de la courbe comparée précèderont ou suivront celles de la courbe étalon. Ainsi le décalage de B sera — 6, si les oscillations de B précèdent de six mois celles de A.

Comité Harvard. — Le Comité Harvard a organisé en grand cette première comparaison; trois observateurs différents (pour établir une moyenne objective entre leurs appréciations personnelles) confrontèrent simultanément sur la boîte lumineuse les 24 indices retenus. Pour cela, chacun de ces indices était pris successivement comme étalon et on lui comparait les mouvements des 23 autres indices. Les résultats furent notés comme suit

a) Degré de covariation (ainsi exprimé : haut, modéré, bas) et signe de cette covariation (+ ou —).

b) Direction positive ou négative et étendue du décalage

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entre deux courbes pour la covariation maxima (décalage exprimé en mois, toujours par évaluation et pour la période entière de l'observation). Le doute sur le sens positif ou négatif du décalage était exprimé par un signe spécial.

c) Régularité plus ou moins grande du décalage, exprimée par quatre notes (excellente, bonne, moyenne, faible).

Les résultats de ce rapprochement préliminaire effectué par les trois observateurs étaient notés sur un grand tableau, puis une sélection fut faite parmi les paires de courbes dont, l’analogie avait été trouvée suffisante pour être soumise au Calcul du coefficient de covariation.

Indice de dépendance. — Ces résultats approchés peuvent se déterminer d’une façon plus précise par le calcul de « l’indice de dépendance » qui est ainsi établi : Pour chaque point de l'observation, on note par la lettre c la concordance entre le mouvement des courbes A et B dépuis l’observation précédente. Si À et B augmentent ensemble, ou diminuent simultanément de janvier à février, par exemple, cette concordance sera pointée par la lettre c. Les discordances, c'est-à-dire les variations dans des sens opposés seront notées par la lettre d. Lorsque l’une des variations sera nulle on marquera le couple correspondant par la lettre o, les cet les d seront portés dans deux colonnes verticales. On les totalisera ensuite dans chaque colonne; le rapport du nombre de concordance c au nombre de discordance d sera une première formule de 1 indice de dépendance, soit + , Mais on emploie plus généralement le rapport de la différence entre les concordances et les discordances au total n des obser-

vations, SOIt :

— à (RES ne ë . È (Planche VII).

Terminologie. — Fechner fut le premier à appliquer sous

cette forme cet indice qui a reçu le nom « d’indice de dé-

pendance ». Nous rejetons cette expression « indice de dépendance » qui implique un lien de causalité entre deux faits, au profit de l'expression « indice de covariation » qui se contente d'exprimer: l’analogie de deux mouvements.

L'expression «indice de corrélation » est aussi défectueuse parce qu’elle fait supposer un rapport beaucoup plus 1intime entre les deux faits que le simple rapport d’analogie.

L’imagination est avide de poser des rapports de causalité dès que des résultats statistiques sont publiés. Il faut repousser le plus possible cette tendance et poursuivre les recherches dans cet esprit de pure objectivité qui est la condition première de notre œuvre.

La covariation exprimée par l'indice 4 sera d'autant plus grande qu'il se rapprochera davantage de À qu il ne dépassera jamais, puisque dans le cas le plus favorable où il n’y a aucune discordance, le numérateur est égal au dénominateur, il sera donc toujours inférieur ou égal à 1.

Coefficient de covariation. — Les formules précédentes ont le grave tort de ne pas tenir compte de l'importance des variations. Ainsi une augmentation de À de 10 coïncidant avec une augmentation de B de 9 n’aura pas plus d'importance dans le calcul qu’une diminution de A de 1000 coïncidant avec une augmentation de B de 1. Ces deux cas se compenseront alors que la discordance d devrait l’emporter de beaucoup, dans le résultat, sur la concordance c.

Pour cela, il faudrait pondérer chaque changement ou chaque concordance proportionnellement à la grandeur de ses termes, c’est-à-dire déterminer un coefficient de cova-

riation. M. L. March en a donné la formule suivante C=D CD dans laquelle C représente la somme des produits deux à

deux des variations concordantes (vv’ colonne C), et D la

somme des produits deux à deux des variations discordantes (vo” colonne D). Les résultats de l'indice I sont légèrement différents de ceux de l'indice à (Planche VIN.

Il varie de +1 au cas où toutes les discordances disparaissent, à — À au cas où toutes les concordances disparaissent, c’est-à-dire au cas d’antiparallélisme. Dans tous les autres cas, il oscille entre ces deux valeurs et sa valeur est d'autant plus grande qu’il s’éloigne plus de O soit positivement, soit négativement.

Pour calculer le coefficient de covariation, on peut additionner ou multiplier chaque valeur de À par la valeur correspondante de B, mais le choix entre l'addition et la multiplication n’est pas indifférent. Ainsi pour une variation de À de 3 correspondant à une variation de B de 4, la somme sera 7 et le produit 12; pour une variation de A de 2 et une variation de B de 5, la somme sera encore 7 mais le produit 10. Le produit sera un indice plus sensible que la somme parce qu'il accusera la plus grande valeur quand les deux facteurs seront égaux, (en effet, géométriquement, le carré est le rectangle d’aire maxima pour un périmètre donné).

L'indice ainsi établi aura pour formule

F = 2®%*%) (planche Vil)

v, représentant les différences de A,

v’ représentant les différences correspondantes de B.

Les produits vo’ seront de signe positif si v et v’ sont de même signe, et négatifs si v et v sont de signe contraire, par conséquent, dans la somme algébrique de ces produits, une concordance annule automatiquement une discordance égale.

M. L. March a établi un autre indice qui tient compte mieux que l'indice I de la grandeur des variations compa-

rées. Pour éviter que les grandeurs comparées ne dépendent des unités adoptées dans chaque courbe, il propose de fixer ces unités d’une façon uniforme en prenant pour unité des nombres de chaque série leur valeur moyenne, ou une quantité liée invariablement à cette valeur moyenne.

Après une série de calculs assez complexes, on arrive à la formule de l'indice