CHAPITRE V. — LES APPLICATIONS. 8l

Pour obtenir un élément du moment statique, il faut évidemment multiplier dj't par la distance de Télément équivalent j^^fx a Taxe KK'. Cette multiplication donne l'élément horizontaI{indiqué sur la figure) dy^x. En prenant la somme de tous ces éléments horizontaux, on obtient Taire I FD qui donne le moment statique de l'aire ABC m par rapport à KK'. Si Ton trace une seconde courbe intégrale, admettant IF comme courbe donnée, la longueur DIF représentera le moment statique.

Il est facile de voir que Taire I FD' représentera le moment de Taire ABC m par rapport à Taxe LL'.

Le moment par rapport à Taxe MM' sera égal à Taire I FEE'I.

Si Taxe des moments prend la position GC, le moment statique est égal à la somme algébrique des deux surfaces \aa! et Yaal' ^ dont Tune est positive et Tautre négative.

On voit que a'al'=i DF représente toute la surface donnée A m CBA , que aa' est égal à Taire A mm' et aa!' =: a'a!' — a'a = mm'BC. Nous mettons le signe =, supposant que Ton multiplie les longueurs par Tunité.

Or, si Ton fait mouvoir la verticale GG' dans la direction de Taxe des Xj chaque ordonnée aa' représentera la partie de la surface donnée placée à gauche de GG' et aa"^ la partie de droite. Donc, pour une position de GG' telle que aa' = aa^j Taire A/nCB sera partagée en deux parties égales.

Puisque les surfaces laa' et l'aa" représentent les moments statiques par rapport à Taxe GG', on peut trouver au mo^en de la seconde courbe intégrale (HF) une position de GG', telle que les surfaces des moments statiques soient égales, et alors la droite GG passe par le centre de gravité.

29. Moments dinertie. — Le moment d'inertie d'un élément ^rfj? de la surface donnée, par rapport à Taxe YJfJ (Jig. 54) esl=^ x^ydx et le même moment pour toute la surface donnée sera égal à

Pour arriver à obtenir graphiquement le moment d'inertie, nous

LES INTËGRAPHEtt.

commentons par tracer la première courbe intégrale II' ijig. 54), dont l'aire I l'B i-epréscute le moment statique par rapport à l'axe KK'. Désignons les ordonnées de celle courbe par y^ , et con-

sidérons maintenant II' comme courbe donnée; traçons la seconde courbe intégrale II II' : soient y^ les ordonnées de cette courbe. L'ordonnée II'Q représente l'aire de la courbe 1 1' et chaque élément rf/» (voir i^Jig. 54), un élément de cette aire, c'est-à-dire un élément du moment statique. Pour transformer cet élément dy%^xydx en un élément du moment d'inertie, il faat le multiplier encore une fois par x. Il s'agît donc de trouver l'abscisse x, qui correspond à l'élément ày^. Menons par