CHAPITRE V. — LES APPLICATIONS

Le moment d^ inertie par rapport à Taxe BB' est représenté par le double de Taire l''2''3"4''5^

Le moment d'inertie par rapport à 00' est égal à deux fois Taire y^'^^'T.

Pour Taxe GG', il est égal à deux fois Taire 2^3U"S'6''2^

Pour Taxe MM', il est égal à deux fois Taii^ ^'^'{^')y^\

Pour obtenir le moment d^inertie sous la forme d'une longueur, il faut tracer encore une courbe intégrale : l'^2"^3'^r5"'6'^7'".

Le double de la longueur i'"^^ représentera le moment d'inertie par rapport à BB', et le double de 2'"6''^, le même moment par rapport à GG'.

En résumé, pour une position quelconque de GG' : 2' 6' représente Taire 1 2 3 4 ;

2^6'' représente le moment statique;

2 X 2'^ 6'" représente le moment d'inertie.

Pour obtenir Taire, il faut multiplier 2' 6' par l'unité de longueur; pour obtenir le moment statique, il faut multiplier 2^6'^ par le carré de cette unité et, pour obtenir le moment d'inertie, il faut multiplier 2"' 6'" par le cube; cela est évident, parce que l'aire est une grandeur à deux dimensions, le moment statique à trois et celui d'inertie à quatre.

31. Quand, au lieu d'une surface continue, nous avons à opérer sur des ordonnées isolées {fig» 56) 1 i', 22', 3 3' (qui peuvent représenter des poids isolés agissant sur une poutre), l'ensemble des opérations ne change en rien. En effet, la première courbe intégrale prendra la forme d'un polygone à côtés alternativement horizontaux et verticaux Ai'im2''/i3''/>. La dernière ordonnée B/? sera égale à la somme de toutes les droites données.

Le moment statique, par rapport à Taxe vertical passant par B, sera égal à l'aire l'lm2"/i3"/?Bl'. Le moment, par rapport à Taxe passant par A, sera égal à l'aire Al'lm2"/i3yA.

Pour trouver une longueur correspondante à la valeur du moment statique, il faut tracer la courbe intégrale du deuxième ordre Al'a^II, qui aura la forme d'un polygone composé de droites inclinées. Dans le cas où les ordonnées représentent des poids isolés, ce sera le polygone funiculaire. La longueur II B, multipliée par l'unité de construction, donne la valeur du moment statique

Sn LES OTBOBAPnES.

par rapporta l'axe {tassaot par B, et l'aire Ara^IIBl'Jamoilié du momenl d'inertie.

En traçant la courbe intcgrûle du troisième ordre Al'IlI, on

obtient la valeur de la moitié du moment d'inertie, représenté par la longueur B III.

Celte troisième courbe intégrale se compose d'arcs paraboliques.

Si nous considérons un axe quelconque GG, le moment d'inertie, par rapport à cet axe, sera égal à deux fois l'aire ^uli'x^.

32. Centres de gravité. — On Irouvc facilement un axe passant par le centre de gravité d'une figure quelconque, en se basant sur le fait que le moment statique par rapport à cet axe doit être égal à zéro. Or, dans la^^. 54t cet axe SS' passera par le point T, qui est le point d'intersection de IIQ et Il'Q'. Dans i^Jiff- 55, SS' passe par le point T, où la longueur 2" 6", qui représente le moment statique, est égale à zéro.

Pour trouver le centre de gravité, il faut changer la direction des ases de coordonnées et tracer les nouvelles courbes intégrales. On Irouvera ainsi un nouvel axe, dont l'intersection avec SS' déterminera la position du centre de gravité.

CBIFITIK T« — LES AFPHC\TlON5w ^

33. C*esl on cas spécial du problème de MoDp^^ que nous repr\>dttisons sous la forme indiquée par £ickenie\er. IVrlons sur ra\e OX (yfiT- 57) 1* longueur développée du Iracé el en ordonnées* portons en chaque poînl une lonjrueur propctftionneUe à la suriface transversale des déblais ou des remblais* en haut pour les déblais* en bas pour les remblais. Nous obtiendrons ainsi la courbe 012345678 — Les surfaces pointillées représentent alors la terre enlevée auiL déblais et les surfaces en hachures, la terre nécessaire pour former les remblais.

Si nous traçons la courbe intégrale do la o>urbe 123 456...* nous obtiendrons la courbe i'2'3'4'o'6'... dont les ma^ma com»pondent au passage des déblais aux remblais et les minima, des remblais aux déblais. Traçons une horizontale quelconque Q. Elle coupera la couribe int^jale en des points tels que G et K; ces points situés sur une même horizontale indiquent quVntre G et K le cube des remblais est égal à celui des déblais. Les points M, N* J, ont la même signification.

On peut donc di\'î>er la ligne en sections FG, GK« RM* MN* NQ, . . . , telles que le cube de leurs remblais soil égal au cube de leurs déblais.

On voit que chaque ligne horizontale Q fournit une autre dis> position des sections; et il faut chercher celle qui donnera le moindre prix de transport.

Nous remarquons que pour transporter la masse AM de terre, d'un endroit de la tranchée jusqu'au commencement du remblai, c'est-à-dire, sur une longueur X, il faudra dépenser une somme proportionnelle à AM X, c'est-à-dire, à Télément de surface AM X de la courbe intégrale.

Donc, pour transporter tous les déblais de B jusqu*cn 10, commencement du remblai, la dépense sera proportionnelle à la surface de la courbe intégrale comprise entre K et T ; de même, pour transporter cette masse, deT sur le remblai, jusqu'en C, la dépense sera proportionnelle à la surface comprise entre T et M.

On voit donc que la dépense sera proportionnelle aux surfaces comprises entre la courbe intégrale et la ligne horizontale Q ; il

LE! I^TiCSAPBEf-

faut la jilaccr de telle sorlc que la somme de ces surfaces soil mi ni ma.

CIIAPITIIB V. — LES APPLICATIONS. 89

Désig^nons par 2^ les longueurs des bases des surfaces supérîeuresy c'est-à-dire, dans notre cas,