CHAPITRE PREMIER

1. Définition de la courbe intégrale, — Le but principal de cette élude est de décrire les instruments destinés à tracer la courbe intégrale. Nous allons donc commencer par examiner les propriétés de cette courbe.

Soit abdfg {fig' i) une courbe donnée quelconque. Dans le cas ou son équation est connue, il est facile de trouver, par les procédés ordinaires de l'intégration. Taire de cette courbe, c'est-à-dire la surface comprise entre la courbe donnée, l'axe des.x et deux ordonnées arbitraires.

Traçons une autre courbe ABCDE telle, que chaque ordonnée, mesurée à partir de la droite AP parallèle à OX, passant par le point initial A, représente l'aire comprise entre la courbe donnée, l'axe des x, le point a et l'ordonnée choisie. Ainsi une ordonnée quelconque BK sera proportionnelle à l'aire abcy CF à l'aire abde ... ; BR, multipliée par une longueur / choisie comme unité, donne un parallélogramme dont l'aire est égale à abc. Nous appelons la courbe ABCDE la courbe intégrale par rapport à abdfg qui est la courbe différentielle correspondante. La forme de la courbe intégrale indique la manière dont croît l'aire de la courbe donnée. Si nous considérons cette aire comme étant composée d'une série d'éléments infiniment petits, ayant comme base dx et comme hauteur y {y oir fig. i), la courbe intégrale nous

* LE8 rNTEGHAPHBS.

montre les difTércntes phases de la sommation de ces élémenu. Là où les y deviennent plus grands, l'inclinaison de la courbe intégrale devient plus grande et inversement.

En général la courbe iniégrale représente la somme fydx, et elle donne non seulement le résultat final (ce que font mécaniquement les planimètres), mais elle montre encore comment varie cette

sommation. (J'ai donné le nom A' inté graphes aux appareils traçant cette courbe.)

Soit (fis- 2) OMN la courbe donnée dont l'équation est

Traçons la courbe intégrale STW dont l'équation sera

(2) \=ff(x)d^ + C.

La constante C est représentée par l'ordonnée initiale OS. Différentions l'équation (a) :

en appelant f l'angle que forme la tangente à la courbe intégrale avec l'axe des x.

CHAPtTBB PRRHIBH. — I.A CODBBB tNTKGIlALE. 3

Noos voyoDS que y, l'ordonnée de la courbe donnée, a pour valeur ta tangente trigonométrique de l'augie f.

Or, si nous portons, de A en D, une longueur égale à l'unité et si nous joigDons B et D, la tangente HJ à la courbe intégrale sera parallèle à DB, puisque la tangente de l'angle 6DA est égale ky.

On peut trouver aussi facilement la tangente en un point quelconque de la courbe intégrale.

On peut suivre aussi une marcbe différente : si c'est la courbe STW qui est donnée par son équation Y = F(a;), chaque ordonnée y de la courbe différentielle correspondante OMN aura

pour valeur la dérivée —r~'

2. Tracé approximatif de la courbe intégrale. — La propriété fondamentale de la courbe intégrale donne le mo^cn de la tracer d'une manière approximative (').

Soit IS {fig- 3) (') une courbe donnée quelconque.

{') ZaDMw, Wyklad maumatykt, (Lwow, i86i,) (■) InUgratorj iSSo, p. 5.

4 LES INTÉGRiPnES.

Traçons une série de droites équidislanles cl parallèles à OY, dont la distance commune soit égale à un sous-multiple de l'unité choisie pour l'échelle du dessin, soit AB, (Dans le cas de la figure nous avons divisé AB en trois parties.) Menons maintenant la série des lignes 1 i', 22', 33', . . ., dont les projections sur l'axe des x sont égales à l'unité.

D'un point P quelconque de ta verticale de A menons une paral-

Kig. î.

Icle à i 1', et prolongeons-la jusqu'à la médiane du premier intervalle, puis par le point 1" ainsi ol)tenu, menons une ligne 1"2" parallèle 22'. En continuant ainsi à mener des parallèles à la série des droites 11', 32', ..., nous obtiendrons une ligne polygonale I*l''2"3'' . . ., qui s'approchera d'autant plus de la courbe intégrale que le nombre de divisions sera plus grand. L'ordonnée FG, par exemple, représentera (à l'échelle de transformation AB) la surface AIF'G'. Dans ce procédé, on assimile la courbe donnée à un polygone à côtés droits, dont les sommets se trouvent en {', 2', 3' . . .". Soit