Les premières pagres

je ne le puis faire, et que c'est véritablement de tout mon cœur que je ressens la grâce que vous m'avez faite en la personne de ce gentilhomme. Car, encore qu'il vaille bien mieux que moi, néanmoins, comme vous ne le connaissiez pas, je me charge de tout, et vous vous êtes acquis par là l'un et l'autre. Assurez-vous-en pleinement, et que je serai toute ma vie,

Monsieur, Votre très humble et très obéissant serviteur, Pascal.

2*]k LES LETTRES DE BLAISE PASCAL

De Huygens à Biaise Pascal l

A Monsieur Pascal, sieur d'Ettonville (sic),

le 5 Février i65g.

Monsieur, Le gentilhomme inconnu ne vous peut avoir fait entendre que la moindre partie de l'estime que j'ai pour vous ; et, si vous n'en croyez pas beaucoup davantage, vous ne saurez non plus combien j'ai eu de joie en recevant celle que vous m'avez fait l'honneur de m'écrire. Ne la pouvant exprimer dignement, je vous dirai seulement que je me crois bien plus heureux qu'auparavant je n'étais, après avoir reçu les offres de votre amitié, et que je répute cette acquisition pour la plus insigne que j'aie à faire jamais. Je suis si loin de croire de l'avoir méritée par le peu d'accueil que j'ai fait à cet excellent homme, qu'au contraire je sais bien qu'il faut que j'en demande pardon, ne l'ayant pas reçu, ni selon sa condition, ni même selon que

i. Publiée dans la grande édition des Œuvres de Huygens. t. II (1889), P. 34o.

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méritaient celles de ses qualités qu'il n'a pu me celer. Je le prierai de ne s'en souvenir point, et vous, Monsieur, de croire qu'à l'avenir je tâcherai de m'acquitter mieux envers ceux qui m'apporteront de vos nouvelles. J'ai été bien aise de voir que mon invention des horloges est dans votre approbation, quoique les éloges qu'il vous a plu lui donner sont beaucoup audessus de ce qu'elle mérite. Il y a beaucoup de hasard à rencontrer des inventions semblables, et fort peu de science ou de subtilité ; aussi ne sont-elles propres que pour acquérir du crédit aux mathématiques parmi le commun des hommes, au lieu que de telles comme vous nous allez produire seront suivies avec raison de l'admiration et de l'étonnement des plus savants. Je ne suis pas de ce nombre ; mais j'ai un désir incroyable de voir la suite de cette admirable lettre dont vous m'avez fait la faveur de m'envoyer le commencement, et d'autant plus que ce commencement me fait espérer que nous verrons les choses les plus sublimes traitées avec toute la clarté et évidence possible. Vous ne devez donc pas craindre de grossir vos paquets de ces feuilles si précieuses, mais croire au contraire que vous m'obligerez de le faire le plus tôt que

vous pourrez. J'ai essayé quelques-uns de vos problèmes, mais sans prétendre aux prix, et je me crois heureux de n'avoir entrepris la solution des plus difficiles, parce que, tant de personnes plus intelligentes que moi n'en ayant pu venir à bout, cela me fait conclure que ma peine aussi bien que la leur aurait été perdue. Même dans ce que je crus avoir trouvé j'ai commis une erreur insigne, de laquelle je ne me suis aperçu que depuis avoir vu que mon calcul ne répondait pas au vôtre. Je parle de la proportion que vous avez trouvée de 7 fois le diamètre à 6 fois la circonférence, qui est vraie, et non pas la mienne, que je crois que vous aurez vue dans la lettre que j'ai envoyée à Monsieur de Carcavi. Vous jugerez bien pourtant que je ne me suis abusé qu'au calcul, et non pas dans la méthode, laquelle je connais assurément être sans faute, puisqu'elle confirme votre proposition susdite. Et je pourrais par là même trouver encore le centre de gravité de la moitié du solide que fait le double espace B C G dans votre figure 1 à l'entour de sa base, mais non pas aux autres cas, faute de savoir le centre de gravité de cer-

1. La première figure de la première lettre circulaire relative à la cycloïde.

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taines pièces de cylindre. J'ai prié Monsieur de Carcavi de vous communiquer aussi ce que j'y avais ajouté dans ladite lettre touchant les superficies des conoïdes et sphéroïdes, et de la longueur de la ligne parabolique ; et peu de temps après avoir envoyé cette lettre, j'ai encore trouvé le centre de gravité de la ligne cycloïde et des parties coupées par une parallèle à la base, qui ont cette propriété étrange, que leur centre de gravité divise leur axe toujours en la raison de 1 à 2, comme vous savez, Monsieur. Mais vous saurez aussi que je ne vous parle de ces choses que pour vous faire voir l'inclination que je garde toujours pour la science en laquelle vous excellez si fort, afin que vous m'en estimiez d'autant plus digne de profiter de votre instruction. Je souhaite que ce puisse être bientôt, et il me tarde fort de pouvoir joindre la qualité de votre disciple à celle de Monsieur,

votre, etc.

De Blaise Pascal a Carcavi i

[Février i65g.]

J'ai vu la lettre de Monsieur Huygens et je vous y répondrai article par article.

Je suis bien fâché que nous n'ayons point eu de connaissance de la lettre qu'il avait écrite à Monsieur Boulliau et des belles choses qu'il lui avait mandées et qui auraient bien embelli 1 histoire de la roulette, mais elles pourront trouver leur place ailleurs.

Le centre de gravité qu'il y donne du demisolide de la roulette entière tourné autour de la base n'est pas des problèmes proposés par l'anonyme, qui avait proposé seulement celui de la demi-roulette et de ses parties, tournées autour de la base, ou de l'axe. Or, qui a le centre de gravité de ces solides-là, a aussi ceux de la roulette entière. Mais quand on les a dans ceux de la roulette entière, on ne les a pas pour cela

1. Publiée dans la grande édition des Œuvres de Huygens, t. II (1889), p. 348.

dans ceux de la demi-roulette, car on n'a qu'une des deux mesures nécessaires, et c'est celle qui est la plus facile à trouver.

C'est aussi précisément ce que Monsieur de Roberval en avait trouvé, car il y a plus de deux mois qu'il donna cette mesure, c'est-à-dire le centre de gravité du demi-solide de la roulette entière, mais non pas de celui de la demi-roulette, qui était un des cas proposés par l'anonyme.

Je vous dirai néanmoins que le calcul de Monsieur Huygens n'est pas juste, mais je m'assure que ce n'est qu'erreur de calcul ; il faudrait au lieu de 133/216 comme il l'a mis, mettre 126/2i6 ou, pour mettre un moindre nombre en divisant le tout par 18, mettre 7/i2-

Pour ces autres problèmes touchant la dimension des surfaces des conoïdes, je les admire au delà de tout ce que je puis vous dire ; ce sont certainement d'admirablement belles choses.

Monsieur Dettonville en a fait le même jugement, et comme il avait déjà médité sur la dimension des surfaces, il a pensé-à celle du conoïde parabolique, et voici comme il en a fait l'analyse :

Résolution ou analyse de la proposition

de Monsieur Huygens

Soit une parabole donnée b I C, dont b C soit la base, a I l'axe.

Il faut trouver la dimension de la surface du conoïde décrit par la ligne parabolique tournant autour de l'axe a I.

Soit une parabole pareille b D C sur la même base et de l'autre part pour ne point brouiller la figure, ayant le même axe a D qui est a I prolongée.

Il est démontré dans le traité des trilignes que, pour trouver la dimension de la surface décrite

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par la ligne courbe b m D tournée autour de a D, il suffit de connaître la somme des sinus sur a D ; c'est-à-dire en divisant la ligne 6 D en parties égales et indéfinies aux points m, et menant les perpendiculaires m n.

Il a été aussi démontré dans le même traité que, pour connaître la somme de ces sinus m n, il suffit (en divisant a C en parties indéfinies et égales aux petits arcs égaux m m et menant les perpendiculaires g h jusqu'à la courbe) de connaître la somme des courbes C h.

Or Monsieur Auzoult a démontré que la ligne courbe entière C h D est représentée par la somme des droites 1 b f (en divisant a E, double de al, en un nombre indéfini de parties égales), ou à la somme de perpendiculaires /L, qui sont égales aux droites b /, et lesquelles / L forment le dehors d'une hyperbole.

Et de même chaque portion D h sera représentée par la somme des droites b f ou / L comprises entre le point I et chacune des droites / L, c'est-à-dire que chaque D h sera représenté par chaque espace I/LL. Et partant chaque por-

1. M. Pierre Boutroux a relevé ici une confusion dans la copie sur laquelle notre texte repose. Voir sa note dans l'édition des Grands Ecrivains, t. IX, p. i85.

tion C h sera représentée par chaque espace E/LL.

Donc la somme des C h est représentée par la somme des espaces E/LL, c'est-à-dire par la somme triangulaire des droites /Là commencer du côté de I (comme il a été montré dans la lettre à Monsieur de Carcavi imprimée avec le traité de la roulette^, c'est-à-dire à la somme des rectangles I / en / L.

Or la somme de ces rectangles est donnée, puisque le solide de l'hyperbole tourné autour de l'axe est donné. Donc la somme des arcs G h est donnée. Et partant aussi la dimension de la surface du conoïde parabolique.

Je ne vous envoie pas cela pour prétendre aucune part à cette admirable invention, car je sais trop combien c'est peu de chose de démontrer ce qu'un autre a énoncé, outre que cette analyse ne s'étend pas aux conoïdes hyperboliques ni aux sphéroïdes, où la chose me paraît bien difficile ; ainsi je n'y penserai pas seulement, car je suis persuadé qu'il y a plutôt du blâme que de l'honneur a acquérir en travaillant sur les ouvrages d'autrui, et principalement quand ils sont traités par des personnes excellentes comme Monsieur Huygens.

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Du Chevalier de Meré à Biaise Pascal 1

A Monsieur Pascal, Vous souvenez- vous de m'avoir dit, une fois, que vous n'étiez plus si persuadé de l'excellence des mathématiques ? Vous m'écrivez à cette heure que je vous en ai tout à fait désabusé, et que je vous ai découvert des choses que vous n'eussiez jamais vues si vous ne m'aviez connu. Je ne sais pourtant, Monsieur, si vous m'êtes si obligé que vous pensez. Il vous reste encore une habitude que vous avez prise en cette science à ne juger de quoi que ce soit que par vos démonstrations, qui le plus souvent sont fausses. Ces longs raisonnements tirés de ligne en ligne vous empêchent d'entrer d'abord en des connaissances plus hautes qui ne trompent jamais. Je vous avertis aussi que vous perdez par là un

i. Publiée en 1689 dans les Lettres du Chevalier de Meré. M. Gazier rapporte cette lettre à la période comprise entre l'été i658 et le printemps 1659. Il y est fait allusion en tout cas, au traité de Huygens De ratiocinii» in ludo aleœ, qui fut publié en 1657. Le lecteur doit avoir présentes à l'esprit les réflexions de Pascal sur Vesprit géométrique, qui sont sans doute de la même époque.

grand avantage dans le monde, car lorsqu'on a l'esprit vif et les yeux fins, on remarque à la mine et à l'air des personnes qu'on voit quantité de choses qui peuvent beaucoup servir, et si vous demandiez selon votre coutume à celui qui sait profiter de ces sortes d'observations sur quel principe elles sont fondées, peut-être vous dirait-il qu'il n'en sait rien, et que ce ne sont des preuves que pour lui. Vous croyez d'ailleurs que, pour avoir l'esprit juste et ne pas faire un faux raisonnement, il vous suffît de suivre vos figures sans vous en éloigner, et je vous jure que ce n'est presque rien, non plus que cet art de raisonner par les règles, dont les petits esprits et les demi-savants font tant de cas. Le plus difficile et le plus nécessaire pour cela dépend de pénétrer en quoi consistent les choses qui se présentent, soit qu'on veuille les opposer, ou les comparer, ou les assembler, ou les séparer, et dans le discours en tirer des conséquences bien justes. Vos nombres ni ce raisonnement artificiel ne font pas connaître ce que les choses sont : il faut les étudier par une autre voie, mais vous demeurerez toujours dans les erreurs où les fausses démonstrations de la géométrie vous ont jeté, et je ne vous croirai point tout à fait

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guéri des mathématiques tant que vous soutiendrez que ces petits corps dont nous disputâmes l'autre jour se peuvent diviser jusqu'à l'infini.

Ce que vous m'en écrivez me paraît encore plus éloigné du bon sens que tout ce que vous m'en dites dans notre dispute. Et que prétendezvous conclure de cette ligne que vous coupez en deux également, de cette ligne chimérique dont vous coupez encore une des moitiés, et toujours de même jusqu'à l'éternité ; mais qui vous a dit que vous pouvez ainsi diviser cette ligne, si ce qui la compose est inégal comme un nombre impair ? Je vous apprends que, dès qu'il entre tant soit peu d'infini dans une question, elle devient inexplicable, parce que l'esprit se trouble et se confond. De sorte qu'on en trouve mieux la vérité par le sentiment naturel que par vos démonstrations. Vous m'alléguez qu'on ne se peut figurer un corps si petit qu'on ne lui donne une circonférence; un côté droit, un côté gauche, un dans le haut, l'autre dans le bas, et qu'ainsi on le voit toujours divisible. Que voulez-vous conclure par là ? Mais que ditesvous du globe, quand il tourne sur son centre qui demeure immobile ? Est-ce quelque chose que ce centre, ou rien du tout ? Si ce n'est rien,

vos démonstrations se fondent sur une chimère, et vous n'y devez pas avoir beaucoup de foi. Que si c'est je ne sais quoi à sa mode, je n'ai pas plus de peine à me représenter ce je ne sais quoi rempli de vide ; et néanmoins il faut que je me le figure indivisible, si je veux qu'il soit fixe et sans mouvement quand le cercle tourne sur son point de milieu. Je crois que l'erreur où vous êtes vient principalement de ce que les géomètres n'ont pas pris garde qu'une chose peut bien être matérielle sans être un corps ; car on entend sous ce mot de corps une matière composée de plusieurs parties, de sorte que la conséquence est bonne que ces parties se peuvent diviser les unes des autres, mais ce n'est pas à dire que chaque partie considérée en elle-même soit divisible. Et de fait cette portion de matière, qui n'occupe que le centre du globe, si elle avait des côtés ne serait pas immobile quand le globe tourne. Que si vous répondez qu'il n'y a que l'espace qui demeure fixe et sans mouvement au milieu du globe ou de la sphère, vous ne songez pas que vos premiers maîtres, qui croyaient vous apprendre quelque chose en vous disant cela, ne vous auraient pourtant rien dit, puisque de sa nature l'espace du lieu se trouve

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inébranlable et qu'il demeure éternellement dans le même état, comme l'espace du temps ne s'arrête jamais.

Vous savez que j'ai découvert dans les mathématiques des choses si rares que les plus savants des anciens n'en ont jamais rien dit, et desquelles les meilleurs mathématiciens de l'Europe ont été surpris ; vous avez écrit sur mes inventions aussi bien que Monsieur Huygens, Monsieur de Fermât et tant d'autres qui les ont admirées *. Vous devez juger par là que je ne conseille à personne de mépriser cette science, et pour dire le vrai elle peut servir pourvu qu'on ne s'y attache pas trop ; car d'ordinaire ce qu'on y cherche si curieusement me paraît inutile, et le temps qu'on y donne pourrait être bien mieux employé. Il me semble aussi que les raisons qu'on trouve en cette science, pour peu qu'elles soient obscures ou contre le sentiment, doivent rendre les conséquences qu'on en tire fort suspectes, surtout, comme j'ai dit, quand il s'y mêle de l'infini.

Une de nos reines se plaisait à faire disputer sur de pareils sujets où jamais on ne s'accordait, comme si l'oiseau était plus ancien que l'œuf,