SIMPLIFICATION DES MÉTHODES CLASSIQUES

J. Levers des parties de monuments inutiles à reproduire par la Photographie. — Simplification de la méthode trigonométrique. — 2. ^application des principes précédents à la solution de divers problèmes. — Détermination des dimensions de monuments accessibles et inaccessibles.

1. — Levers des parties de monuments inutiles & reproduire par la Photographie.

Les méthodes photographiques que nous avons décrites donnent tous les éléments nécessaires aux mensurations dans les divers cas qui peuvent se présenter, à condition de prendre un nombre suffisant de photographies; mais lorsque quelques-unes des photographies qui seraient nécessaires sont dépourvues d'intérêt artistique ou scientifique, il est préférable de les remplacer par d'autres procédés, de manière à réserver la provision de plaques pour les choses essentielles.

Tous les procédés de mensuration applicables à la détermination de lignes ou d'angles plus ou moins inaccessibles se ramènent, comme on le sait, à des calculs de triangles.

Deux méthodes bien connues, la méthode graphique et la méthode trigonométrique, permettent, lorsqu'on connaît trois éléments d'un triangle, dont un côté, d'en déduire les trois

LEVERS DES PATITIES DE MONUMENTS. 2t

autres. Dans le cas d'un triangle rectangle, la connaissance d'un angle autre que l'angle droit et celle d'un côté suffisent.

La méthode graphique n'a qu'une simplicité apparente, elle est journellement usitée par les architectes et les arpenteurs de profession; mais elle exige un attirail de grandes feuilles de papier, de tables, de règles, qu'un voyageur ne saurait songer à emporter avec lui. Effectuer ces opérations à son retour serait s'exposer alors à des erreurs inévitables dans la lecture de notes rédigées à la hâte, et qui ne comportent aucun des moyens de vérification qu'on possède sur place. 11 faut donc absolument calculer sur les lieux les dimensions fondamentales qui doivent ensuite servir de bases à des opérations ultérieures.

Simplification de la méthode trigonométrique. — La méthode trigonométrique est donc la seule que nous puissions employer. Elle exige malheureusement l'emploi d'une Table de logarithmes, source fréquente d'erreurs, et des calculs fastidieux auxquels un voyageur ne saurait se livrer sans perdre un temps précieux. Une méthode permettant de trouver immédiatement, sans aucun calcul ou par un calcul aussi simple qu'une division ou une multiplication par 2 ou 4, le résultat cherché est la seule qu'on puisse raisonnablement proposer.

La méthode que je vais indiquer réalise cette condition fondamentale. Elle est fondée sur la substitution des lignes trigonométriques naturelles à leurs valeurs logarithmiques, et sut des considérations géométriques très simples, permettant de ramener à une seule formule qui n'exige aucun calcul tous les triangles qu'un observateur voulant mesurer des monuments peut avoir à résoudre.

Si l'on considère, d'une part, que la hauteur ou la largeur d'un monument est toujours représentée par une ligne verticale ou horizontale, et, d'autre part, qu'il existe de nom-

breux instruments permettant d'élever facilement une perpendiculaire à l'extrémité d'une ligne donnée, on voit aisément que tous les cas pouvant se présenter se ramènent à des triangles rectangles, et que la formule

x = B tanga,

dans laquelle B est la base mesurée, a l'angle observé, et x la dimension cherchée, permet de calculer tous les éléments dont nous pouvons avoir besoin.

Si simple cependant que soit cette formule, elle exige encore des calculs. Pour supprimer ces calculs, il suffit de faire usage d'une base de grandeur constante ou fraction d'une grandeur constante, et de substituer aux tangentes logarithmiques les tangentes naturelles.

Ces conditions étant réalisées, nous pouvons résoudre sans calculs, ou, dans les cas les plus compliqués, par des calculs d'une simplicité extrême, tous les problèmes que le lever des monuments comporte, et notamment obtenir la hauteur et la longueur d'un édifice ou de ses diverses parties. Les Tables de tangentes naturelles nous donnant le second côté de l'angle droit d'un triangle rectangle, dont l'autre côté pris pour base a 1™, il suffira, par exemple, de déplacer la virgule de deux rangs pour avoir le second côté d'un triangle rectangle dont la base est de 100", ou de diviser ensuite par 2 le nombre de la Table si la base choisie est de 50™. M'étant éloigné, je suppose, de 100™ du minaret d'une mosquée, je trouve 22* pour rinclinaison du rayon visuel aboutissant à son sommet. La Table m'indiquant que la tangente de 22» est 0,4040, j'en conclus immédiatement, par le simple déplacement de la virgule, que la hauteur du monument est de 40™, 40. Rien n'est évidemment plus simple.

En pratique, une base de 100" est trop longue, il vaut mieux prendre une base de 50™. La hauteur corr es pondant à un angle observé est alors moitié de ce qu'indique la Table ^ plus, bien entendu, la hauteur de l'instrument au-dessus du

sol, hauteur qu'on peut rendre constante et ajouter d'avance au chiffre de la Table, divisé dans ce cas par 2. J'ai ainsi construit pour mon usage sur une petite feuille de papier, une Table qui me donne immédiatement en face de chaque angle, et sans aucun calcul, la grandeur cherchée pour une base de 25"'. La mesure de cette base est faite simplement avec une roulette métrique de 25"".

Afin de démontrer à quel point l'emploi à peu près exclusif de la formule précédente et l'usage d'une Table de tangentes naturelles rendent faciles les problèmes qui peuvent se présenter journellement en voyage, nous allons en indiquer quelques-uns avec leur solution. Pour simplifier la démonstration, j'ai supposé l'emploi d'une base de 100"". Si Ton employait une base de 200", 300™, etc., il suffirait de doubler, tripler, etc., le chiffre obtenu. Si, comme cela arrive le plus souvent, la base n'était que de 50 ou même de 25"*, il n'y aurait qu'à diviser par 2 ou par 4 ce même chiffre. J'ai indiqué plus haut comment, dans le cas d'une base constante de 25'», ce calcul, pourtant bien simple, d'une multiplication ou d'une division par des nombres tels que 2, 4, etc., pouvait être évité entièrement.

2. -- Application des principes précédents à la solution de divers problèmes.

Hauteur et largeur d'un monument accessible seulement par une de ses extrémités (fig. 43). — On s'éloigne du monument d'une distance B. Si H est la hauteur cherchée, a l'angle de visée vertical, on a

H — tanga x B.

Si en s'éloignant du monument on a eu soin de marcher perpendiculairement à la façade, ce qui se fait très facilement avec un des instruments destinés à élever des perpendiculaires dont nous avons parlé, on a sa largeur L simple-

24 SECONDE PARTIE. — ClIAP. II.

ment eu mesurant l'angle horizontal p, sous lequel est vue Fig. 43.

ia largeur du monument^

L=:tangpxB.

Distance à laquelle on se trouve d'un monument inaccessible. — Soit A {fig, 44) la position du monument, et B celle

de *robservateur. On s'éloigne perpendiculairement à AJ3 d'une distance D, et Ton mesure l'angle a. On a alors comme précédemment

AB = tangaxD(').

(^ Je ferai remarquer en passant que cette méthode permet de connaitre immédiatement la largeur d'un cours d'eau sans recourir

Si Ton a pris en B une photographie du monument inaccessible situé en A; la simple connaissance de AB permet de calculer toutes les dimensions du monument, comme il a été dit dans un autre Chapitre.

Hauteur dun monument inaccessible ou placé sur une montagne [fig. 45). — L'instrument étant placé bien horizontalement, on mesure les angles verticaux a et p au-dessus

Fig. 45,

de la ligne horizontale donnée par l'instrument, puis on s'éloigne perpendiculairement à OD d'une distance OX eJb l'on mesure Tangle y. Soit h la hauteur totale du monument et de la montagne au-dessus du niveau du point 0, et h' la hauteur AB du monument, on a alors

OD = tangY X OX, h — tanga x OD, /i'=:h — (tangpxOD).

aux opérations compliquées, telles que la construction, sur le terrain, d'un triangle égal ou semblable recommandé aux voyageurs, notamment dans le Manuel de Kaltbrunner.

Largeur d'un monument entièrement inaccessible. — Cette détermination se ramène au problème bien connu en Trigonométrie de la recherche de la distance qui sépare deux points inaccessibles. Les formules classiques conduisent à des calculs longs et compliqués que nous proscrivons absolument, en raison de la perte de temps et des erreurs qu'ils entraînent.

La glace dépolie de l'appareil photographique fournit immédiatement, sans aucun calcul, comme nous l'avons vu, la solution du problème. Ce sera donc bien exceptionnellement — par exemple, dans le cas de ruines n'offrant aucune ligne horizontale — qu'on pourra se trouver dans la nécessité d'avoir recours à la méthode que je vais indiquer. Les calculs sont un peu plus compliqués que tous ceux que j'ai énumérés jusqu'ici, mais infiniment plus simples, cependant, que ceux nécessités par les méthodes trigonométriques ordinaires.

Soit AB {fig. 46) la face oblique du monument dont l'on est séparé par un obstacle quelconque, et dont il s'agit de déterminer la largeur.

Sur une base quelconque xy prise arbitrairement, on mène les deux perpendiculaires a A, 5 B et Ton mesure a et P; on a alors entre les mains tout ce qu'il faut pour calculer AB. En effet, nous avons successivement :

Aa ~ a6 X tangp,

B6 — a6 X tanga,

GB = a6,

AC = Aa — Bh = a6(tangp-- tanga).

Connaissant AC et CB dans le triangle ACB, il est facile de déterminer AB en calculant d'abord l'angle t, or cet angle se déduit facilement de sa tangente. On a en effet

AC

tangY-j53

ou plus simplement

tang y = tang p — tang a.

Recherchant dans une Table de tangentes naturelles le Fig. 46.

nombre ainsi obtenu, nous trouvons en degrés l'angle y, et dans une autre colonne le sinus de cet angle. Connaissant

le sinus de y, nous avons AB par la formule AB =:= -.

' ^ siny

Déterminer du haut d'une fenêtre les dimensions de monuments inaccessibles visibles de cette fenêtre et la distance à laquelle on s'en trouve (*). — Nous avons déjà

C) J'ai été conduit à la méthode très simple exposée dans ce Paragraphe, en voulant déterminer trigonométriquement de ma fenêtre, rue Tronchet, la distance qui me séparait des maisons se trouvant en face de moi, à l'extrémité de la rue Castellane. Une première

donné la solution photographique de ce problème, qui se présente journellement dans la pratique. C'est même d'une fenêtre qu'on se trouvera le plus à son aise pour prendre des mesures, sans être gêné par personne. La solution trigo-

Fig. 47.

nométrique est d'une simplicité extrême, à la seule condition que l'instrument employé puisse, comme tous les théodolites ou notre quart de cercle, donner les angles au-dessus ou au-dessous d'une ligne horizontale.

mesure au pas m'avait donné des chiffres tellement différents de.ceux indiqués dans un plan au Aqq > q"6 je soupçonnai aussitôt de grosses erreurs dans ce dernier. Mes mesures trigonométriques me donnèrent un chiffre qui me parut trop s'écarter des mesures données au pas, pour être exact, et me firent soupçonner une nouvelle cause d'erreur. Cette dernière ne me fut pas révélée par les calculs trigonométriques, mais bien par la Photographie. L'étude des fuyantes me prouva qu'il y avait entre le pied de ma maison et le pied des maisons situées à 172™ de ma fenêtre une différence de niveau do 1™,50 invisible à l'œil nu, et qu'aucun instrument, en dehors de l'appareil photographique, ne pouvait permettre de reconnaître du haut d'une fenêtre. C'était une nouvelle preuve des ressources que peut fournir la Photographie.

La hauteur visée de ma fenêtre ayant subi la rectification nécessitée par la dénivellation du terrain, les calculs se trouvèrent conformes aux distances données par un plan au ,. ^ ^ et par la photographie.

Soit A (fig. 47) la position de l'observateur, etHH' le monument dont il s'agit de déterminer la hauteur. Les seules opérations consisteront à mesurer les angles a et p, puis la hauteur AB, en laissant de la fenêtre se dérouler jusqu'au sol la roulette métrique dont il a été parlé plus haut. On a alors

HB = AB X tangc,

OA = HB,

OH' — OA X tanga,

OH = OAxtangp,