Graphiques et formules topographi(iues

Construction d'un graphique donnayit immédiatement les tangentes, sinus et cosinus et permettant d'exécuter sans calcul toutes les opérations d'un lever. — Nous avons eu souvent occasion dans cet Ouvrage de faire usage d'expres-

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sions trigonométriques, mais le lecteur a pu remarquer : 1 ■ tjue les seuls triangles que nous ayons eu à résoudre étaient généralement des triangles rectangles; 2° que nous avons ou exclusivement recours aux lignes trigonométriques naturelles, au lieu de nous servir de leurs logarithmes, comme on le fait habituellement. Dans ces conditions, les erreurs sont à peu près impossibles, et les opérations les plus compliquées se bornent à une division ou à une multiplication.

On trouve, dans beaucoup d'Ouvrages, des Tables des valeurs des lignes trigonométriques naturelles; mais, comme on peut ne pas avoir toujours ces Tables sous la main, nous allons montrer que rien n'est plus simple que de les reconsUtucr avec un graphique construit en quelques minutes. Sri pr(îci* sion, inférieure évidemment à celle des Tables, est cependant suffisante pour toutes les opérations des levers rapides. Il donne non seulement les tangentes, sinus et cosinus de Û à 55% mais encore permet d'effectuer sans calcul plusieurs opérations, telles que la mesure des hauteurs, la détermination de la différence de niveau entre deux points, etc.

Ce graphique {fig. 55) consiste simplement en une feuille de papier quadrillé au millimètre, de 0"',10 de côté, dans l'an^^le inférieur gauche de laquelle on fixe un fil au moyen d'uno épingle enfoncée dans l'épaisseur du carton sur lequel cette feuille est collée. On chiffre sur le côté droit du graphique oÈ sur sa partie inférieure les divisions de 10 en 10 millimètres^ puis avec un compas on trace un arc de cercle ayant Û", IQ de rayon et on le divise en degrés avec un rapporteur. Cette dernière opération pourrait même être évitée si Ton n'avait besoin, ce qui est le cas le plus fréquent, que des tan^rentcs pour les calculs de hauteurs. Le graphique se réduirait exactement alors à une feuille de papier quadrillé.

Le graphique ainsi construit donne les tangentes, sînua et cosinus pour tous les degrés de à 45. Pour obtenir Jes mêmes nombres que dans la Table des lignes trigonométriques naturelles, il suffit d'observer que les millimètres du

TIlAN^FUBMATiON U'CXli FEUILLE 1>E l'APÎEtl (JI^AliHlLUî EN TABLE UF. TA^ÎGENTES SW'UH ET COStMJS llE 0" A 15"

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T^rÉT. Kij*

graphique représentent des centièmes. Les exemples snivants, représentés fig. 55, montreront comment il faut opérer. Pour bien faire comprendre la direction parfois brisée que doit suivre le fil dans les différents cas, son extrémité mobile a été terminée par un disque ombré.

A. — Quelle est la tangente d*un angle de 20*. — Le fil étant fixé par sa partie inférieure au 0, on amène son extrémité supérieure sur la ligne verticale graduée, en l'obligeant à passer d'abord par le chiffre représentant 20 degrés, Sur la ligne verticale on lit 36"", 5. Nous rappelant que les millimètres représentent des centièmes, nous voyons que la tangente de 20» est 0,365. (Le chiffre donné par la Table est i\ZU.)

B. — La pente d'une route est c/eO",365 par mèlr<?. A quel chiffre en degrés correspond cette pente? — C'est \h exactement le problème inverse du précédent. En mettant l'extrémité supérieure du fil sur le chiffre 36'""', 5 représentant la tangente de la pente, on lit 20 degrés sur la division du oerclo.

G. — Quel est le sinus d'un angle de 30*»? — Après avoir d'abord amené le fil sur le cercle gradué à la division marquée 30, on l'y retient avec la pointe d'un crayon, puis on dirige horizontalement son extrémité libre sur l'échellû verticale. Cette extrémité tombe sur le chiffre indiquant jO"'™. Les millimètres correspondant sur le graphique à des con* tièmes, le sinus de 30* est donc 0,50. Il suffit de se rappeler la définition d'un sinus pour comprendre la raison de Topération précédente.

D. — Quel est le cosinus d'un angle de 37"? — Kous amenons l'extrémité mobile du fil sur le chiffre 37% et la définition même des cosinus nous montre, qu'après l'y avoir arrêté avec la pointe du crayon, nous devons l'abaisser verticalement jusqu'à la rencontre de la ligne horizontale gradui^e qui 1er-

mine inférieurement le graphique. Le fil touche sur la graduation 80"", ce qui donne, après la transformation des millimètres en centièmes, 0,80 pour le cosinus cherché.

E. — Usage du graphique des tangentes , etCj pour les levers expédiés. — Nous pouvons tirer du graphique qui précède de nombreuses applications topographiques. Collé sur la première page intérieure de la couverture en carton de notre cahier d'itinéraire, il rend possible la mesure des angles verticaux, alors que la boussole fixée sur le même carnet permet de mesurer des angles horizontaux. Il la complète ainsi et facilite les diverses opérations de Topographie, qui se ramènent toutes en définitive à des mesures d'angles horizontaux et verticaux.

Pour en faire usage sous cette forme, nous n'avons qu'à fixer à l'extrémité du fil un corps lourd quelconque un peu

plat, un sou percé par exemple, afin que son épaisseur n'empêche pas de fermer le cahier; puis, à 0"',10 environ de l'épingle B fixant le fil sur le carton {fig. 56), on enfonce une seconde épinçle A dans l'épaisseur du même carton en ne laissant sortir que sa tête. Ces deux épingles forment une ligne de visée. On opère comme il est indiqué sur la fig, 56. Lorsque le poids qui est au bout du fil a cessé ses oscillations, on le fixe avec le doigt, et retournant le carton on lit, indiqué par le fil, l'angle vertical observé. Si l'observation est faite avec soin, on voit, en la répétant plusieurs fois, que la précision obtenue

est d'environ Y degré, chiffre qu'il est bien difficile d'atteindre avec les éclimètres fixés aux divers systèmes de boussoles. Ils appartiennent, en effet, à un cercle dont le rayon est au moins trois fois plus petit que celui de notre graphique (*). Les plus fréquentes applications de ce graphique dans les levers expédiés seront de déterminer la hauteur d'une maison, d'un arbre, d'une colline, connaissant la distance horizontale à laquelle on s'en trouve. Les exemples suivants montrent la façon d'opérer. '

F. — Se trouvant à 70" d'un clocher, on voit que l'angle de visée vertical est de 16*, on demande la hauteur du clocher? — Amenons {fîg. 55) l'extrémité mobile du fil sur le chiffre 1C% posons la pointe d'un crayon sous ce fil au niveau de la ligne verticale correspondant au chiffre 70, lu sur l'échelle inférieure du graphique, puis dirigeons-le vers l'extrémité de la ligne horizontale sur laquelle est posé le crayon, on voit qu'il tombe au milieu de la séparation entre le 20* et le 21° millimètre delà gr^-duation verticale; on en conclut immédiatement que la hauteur du clocher est 20", 50, plus la hauteur de l'œil de l'obsei'vateur au-dessus du sol. Dans cet exemple, les millimètres des deux échelles sont, comme on le voit, comptés comme des mètres. On opérerait exactement de la même façon pour trouver la différence de niveau existant entre deux points dont on connaîtrait la distance horizontale.

G. — Déterminer l'inclinaison d'une route et sa prO'

( * ) La première idée de ce graphique viseur m'a été'donnée par le petit dessin d'éclimètre portatif sur carton donnant les tangentes de« pentes qui figure dans le deuxième Volume du Couj's de Topogra^ phie de l'École d'application d'Artillsine par M. Lehagre (Gauthier* Villars et fils). En essayant de le tracer, je reconnus bientôt qu'uno feuille de papier quadrillé était préférable, et qu'elle constituait une excellente Table de tangentes, sinus et cosinus, permettant la solution de nombreux problèmes.

jection hoinzontale. — La mesure d'une pente s'établit exactement comme la hauteur d'une route; mais, comme l'œil de l'observateur est à une certaine hauteur, il faut viser un objet placé devant soi à la même hauteur, la tête d'un guide par exemple, marchant à 20" ou 30", ou un tronc d'arbre sur lequel on aura marqué un point à hauteur de l'œil.

Connaissant la pente d'une route et la distance entre deux points, déterminée par le nombre de pas, il faut connaître la projection horizontale de cette route, puisque c'est seulement cette dernière qu'on doit inscrire sur les cartes, le graphique la donne immédiatement. Supposons que nous ayons parcouru en pays de montagnes 80" sur un sentier incliné de 30% quelle est la longueur horizontale à marquer sur la carte?

Avec un décimètre ou un morceau de papier quadrillé dont une extrémité passe par le zéro où est fixé le fil, et l'autre par la graduation . 30% mesurons 80"" sur la ligne oblique , allant de 0* à 30*, et à l'extrémité de cette longueur marquons au crayon un point sur le graphique. La ligne verticale descendue de ce point indique, sur le bas du graphique, la projection horizontale cherchée, soit 69" environ.

Si l'on avait opéré sur 100", l'opération eût été plus simple encore, puisque Ton n'aurait eu qu'à chercher, exactement comme on l'a vu précédemment, le cosinus de 30« : pour une longueur de 100", on eût trouvé 8p",

Emploi du papier quadrillé poar la mesare n des angles.

Une Table de tangentes, construite, comme il vient d'être dit, avec un morceau de papier quadrillé, remplace très avantageusement un rapporteur pour la mesure des angles; mais on peut opérer plus simplement encore lorsque les angles à mesurer ou à con>truire ne dépassent pas 20". En quelques

SECONDE PARTIE. — CHAP. liL

secondes on peut faire, en effet, un rapporteur fort exact avec un morceau de papier quadrillé. Un cercle tracé avec un rayon de 57"", 3 a une circonférence égale à 3G0"^~, et par conséquent chaque millimètre de cette circonférence vaudra 1*. En se bornant à tracer un arc de cette circonférence ayant 20"" environ de longueur, les divisions millimétriques du papier quadrillé le divisent exactement en degrés. La différence entre la longueur de l'arc de 20» et celle de sa cordo ne dépasse pas en effet -j^ de millimètre.

Le compas est d'ailleurs totalement inutilo pour tracer l'arc

précédent. Il suffit (fig. 57) de prendre avec les divisions millimétriques du papier une longueur tiA = 57"''",3, puis compter lô"" de A en B, 10"" encore de A i;ti C, et nieiier BU et GO; chaque division millimétrique du papier quadrillé entre B et G représente 1*. En coupant le secteur OBC, on a un rapporteur qui peut se mettre dans nu portefeuille.

Formiiles générales de la Topograpbie,

Pour terminer ce qui concerne le lever des plans, je donne ici les formules de triangles rectangles dont il a été fait un usage à peu près exclusif dans cet Ouvrage. Avec une Table de lignes trigonométriques naturelles, ou notre graphique, elles

permettent la solution de tous les problèmes qui peuvent se présenter dans la Topographie.

Soit H (fig, 58) la hauteur au-dessus de l'horizontale AG

. Fig. 58.

d'une ligne GB, ou la différence de niveau entre deux points A et B, soit D la distance horizontale entre les deux points A et G, c'est-à-dire la projection de la ligne AB, et P la ligne en pente allant de A en B.

Soient, d'un autre côté, a l'angle de visée du point B audessus de l'horizontale de la station, p l'angle complémentaire de a;

Ges diverses grandeurs sont reliées- entre elles, comme on le sait, par les rapports suivants :

: D X tanga (•) =

P X sina,

tanga

P coSa

= H cota,

sina

cosa

cosp'

tanga =

sin a ~

C ) C'est ce qu'on, exprime habituellement en disant que la différence de niveau entre deux points A et B est égale à leur distance horizon-

TT

taie D multipliée par la tangente de l'angle de visée a. Le rapport -rr

de la hauteur H à la distance D, c'est-à-dire la tangente de l'angle « représente la pente par mètre de la route P.