Voir Nadaillac, in Halleux

trouve constamment sous la plume des sociologues qui forment aujourd'hui une brillante et très active école. Je dois signaler ici avec quelque détail les récentes études de mon distingué collègue Bougie (A) dont j'aime d'autant plus à citer lopinion que nous différons totalement d'avis sur bien d'autres points.

« Le procès de la sociologie biologique est encore pendant », dit-il dès le début de son premier travail. C'est ce procès qu'il instruit.

Pour cela il met cette théorie « au pied du mur », en présence d'un problème particulier et si elle « ne répond à la question posée que par des formules vagues, incapables de s'appliquer aux faits sociaux sans porter à faux, l'organicisme (sociologie biologique) a tort et sa place est marquée au musée de l'histoire des sciences, entre les hypothèses inutiles et les métaphores dangereuses ».

11 choisit le problème des « castes », la question du régime à « hiérarchie solide » avec « différenciation profonde » et « sélection sévère », en face du « mouvement démocratique » actuel.

Et il montre que la solution biologique conduit à une « différenciation profonde », à une « hiérarchie stricte », au « régime des castes » ; ce qui serait, ajoutet-il, « un renversement total de nos conceptions familières ».

11 poursuit très habilement son argumentation.

« D'ailleurs, qu'ils soient des hommes, en effet, animaux singuliers non pas seulement par leur complexité, mais par leur conscience, voilà le fait décisif, qui explique pourquoi la différenciation devait produire dans le monde social des effets tout autres que dans le monde organique, et pourquoi les catégories qui conviennent à celui-ci ne sauraient se transposer fidèlement à celui-là. »

Je souscris absolument à cette proposition. C'est bien là en effet le fait décisif qui répond à toutes les accusations d'anthropocentrisme qu'on pourrait formuler contre notre manière de voir.

Je continue à citer.

« Parce qu'ils sont des hommes, c'est-à-dire des êtres critiques, les éléments du corps social sont capables de raisonner sur le sort qui leur est fait par la différenciation et de travailler à limiter ou à rectifier ses effets s'ils les jugent injustes. Les cellules coopèrent aveuglement et se laissent sans crier asservir dans l'organe; mais les hommes sont capables de réfléchir sur leur coopération même, de comparer ce qu'ils donnent avec ce qu'ils reçoivent... »

En d'autres termes, les sociétés humaines ne sont pas des troupeaux. Les associations animales reçoivent leur chef de la nature ou de l'homme, tandis que les sociétés humaines, quand elles se laissent conduire, choisissent du moins leur berger, le discutent, le remplacent...

Bougie montre ensuite très bien à quoi aboutirait en sociologie l'application de la loi biologiquement générale de la lutte pour la vie : la constitution, de plus en plus accentuée par l'hérédité, de castes plus fortes, s'arrogeant le « repas du lion ».

Et plus loin (350), il redit encore excellemment : € nous ne pouvons finalement oublier, comme le voudrait la sociologie biologique, que nos sociétés sont faites d'hommes; et que ce seul caractère, comme il change les conditions, est capable de modifier les Gns et les conséquences de la lutte pour la vie ».

€ Et d'abord, ce n'est pas seulement pour survivre animalement et, si l'on ose dire, bêtement, que les hommes font effort, mais pour bien vivre... Ce sont, en un mot, des organismes capables d'idéal et cet

idéal pourra intervenir jusque dans la concurrence naturelle. »

Et il conclut : « la sociologie ne saui^ait être une biologie transposée; elle sera une histoire analysée... »

Ces conclusions de Bougie ont été bientôt combattues par Novicow et par Espinas.

Novicow (B) maintient les propositions que nous lui avons vu développer déjà et affirme encore que « les sociétés... sont des êtres vivants d'une nature particulière, mais obéissant cependant aux lois générales de la vie étudiées par la science appelée biologie ».

Certainement ce sont des êtres vivants, si l'on veut. Mais, quand il s'agit d'hommes, la nature en est tellement parlicidière que la Biologie ne suffît plus pour étudier sérieusement ces organismes humains.

La Biologie ne serait pas en tous cas la seule science à laquelle il faudrait inféoder la sociologie.

Novicow avait dit quelque part (C) : « la sociologie sera organiciste (biologique) ou elle ne sera pas ». Espinas intitule son travail « Être ou n'être pas ou du Postulat de la sociologie ».

Déjà, en 1872, cet auteur avait émis la pensée que le fait social doit être considéré dans sa généralité : « les sociétés animales doivent donc être comprises dans les recherches qui tendent à constituer la sociologie ». 11 trouve, en 1881, dans le livre de Pei'rier sur les colonies animales, un appui à sa théorie et la développe dans ce nouveau mémoire de 1901.

« 11 y a, dit-il (452j, un intérêt de premier ordre à déterminer les rapports de la sociologie avec la biologie. »

Et pour résoudre la question, il oppose toujours comme une véritable antinomie, la séparation de la

sociologie et de la Biologie d'une part et de l'autre la considération de la société comme une « réalité solide, naturelle ». La question est précisément de savoir s'il y a opposition entre ces deux formules et s'il est vraiment impossible de les concilier et de les admettre simultanément.

La question est de savoir si l'organisme social, « réalité solide et naturelle », est ou non purement biologique. C'est toujours la grande question (que nous avons traitée au chapitre iv) de la séparation de l'homme et des autres êtres vivants : doit-on reconnaître pour l'homme des sciences distinctes de la Biologie, autres que la Biologie, commune à tous les êtres vivants?

A l'appui de sa manière de voir, Espinas cite (458) de Maistre : « les nations ont une âme générale et une véritable unité morale qui les constitue ce qu'elles sont... elles naissent et périssent comme les individus ». — Soit; mais de Maistre parle d'une unité morale et pas seulement d'une unité vivante ou biologique.

En définitive (474), Espinas reconnaît, avec Durkheim, dans les sociétés, un « règne nouveau » qui, comme chacun des autres règnes, nécessite seulement une subdivision particulière dans la Biologie, qui est générale.

Bougie (B) a répondu en même temps à ces deux mémoires de Novicow et d'Espinas.

Il maintient sa thèse ; « l'inlecondité de la sociologie biologique ».

Ce qui prouve que « la sociologie biologique est stérile », c'est qu'elle conduit à des assertions comme celle d'Huxley (Bougie, B, 122), qui qualifie de « risible au point de vue scientifique » la proposition suivante : « les liommes naissent libres et égaux en droits ».

Bougie montre ensuite que ses deux adversaires, biologistes tous les deux, tirent du même point de départ des conséquences opposées : l'un est indivi" dualiste pur, pour l'autre l'individualisme est l'ennemi. L'un pose pour objectif l'intérêt, l'autre le sacrifice des éléments. Pour l'un, la patrie est la plus vivante des réalités, pour l'autre, pure convention...

L'argument ne me paraît pas péremptoire. Il n'est pas démontré qu'avec une même méthode bonne deux observateurs ne puissent pas arriver à des conclusions actuellement et provisoirement contradictoires. Et il n'est pas bien sûr que tous les sociologues non biologistes arrivent unanimement à des conclusions identiques.

Bougie me paraît beaucoup plus fort, quand, prenant le raisonnement d'Espinas signalé plus haut sur la prétendue solidarité de deux assertions, il dit (136) : 4 il est aisé de distinguer (dans ce raisonnement) deux thèses : la thèse proprement sociologique, les sociétés sont des réalités distinctes des individus, et la thèse spécialement biologique, la réalité des sociétés repose sur une base organique. Or, ne peut-on admettre l'une sans l'autre? » Espinas dit non; Bougie dit oui et, à mon sens, a raison.

Bougie montre enfin (143) que Durkheim et tous ses collaborateurs à VAnnée socioloqique ou dans la Civande Encyclopédie essaient, comme lui-même, de montrer qu'il faut « dessouder en quelque sorte la sociologie de la biologie », « sans la dissoudre pour autant dans la psychologie individuelle ». — « La sociologie est une psychologie », mais une psychologie de la collectivité, de la société. Son objet, c'est l'âme des foules, Volhgeist...

En tout cas, la sociologie reste une science à part, qu'il faut séparer de la Biologie.

4. Donc, pour conclure et résumer tout ce chapitre, l'histoire et la sociologie (sciences sociales) et leurs applications (le Droit) ne peuvent pas plus être inféodées à la Biologie qu'à toute autre science.

Ce sont des sciences distinctes , spéciales , qui empruntent leurs documents à diverses sources, à la Biologie des individus et des groupes, à la psychologie des individus et des groupes et aussi à l'évolution la littérature et des arts.

Voilà donc une nouvelle limite à la Biologie : celle qui sépare cette science de la science de l'histoire et de la sociologie.

Toutes les sciences dont nous venons de séparer la Biologie sont des modes expérimentaux d'intellectualité et de connaissance.

C'est V expérience, l'observation (extérieure ou intérieure) et Vinduction qui sont à la base de chacune d'elles.

A cause de cela, nous avons appelé inférieures ou latérales ces limites de la Biologie.

Il y a maintenant d'autres modes intellectuels qu'il faut aussi séparer de la Biologie, qui ne sont plus basés, eux, sur l'expérience, mais sur l'idée universelle ou absolue et sur la déduction.

De ces sciences plus élevées la Biologie est séparée par des lin it-s que l'on peut appeler supérieures.

G. — Limites supérieures de la Biologie.

1. — LES MATHÉMATIQUES, LA GÉOMÉTRIE ET LA LOGIQUE (SCIENCES DE L'ESPRIT)

En tête des sciences séparées de la Biologie par les limites que nous appelons supérieures, nous trouvons les mathématiques, la géométrie et la logique, l'ensemble de ce que l'on peut appeler les sciences de l'esprit et de ses lois, les sciences abstraites d'Herbert Spencer.

1. A première vue, il paraîtra étonnant à plusieurs que je me croie obligé de souligner la séparation qu'il y a entre les mathématiques et la Biologie.

Ce n'est pas si inutile que cela.

Car on a soutenu que les sciences mathématiques pouvaient, elles aussi, être ramenées à la Biologie, ou d'une manière plus générale aux sciences expérimentales.

On a voulu dire que deux et deux font quatre est la conclusion d'une expérience dans laquelle nous avons vu que deux objets mis à côté de deux autres objets font quatre objets. Si chacun n'est plus obligé d'ac-

quérir personnellement cette notion, c'est parce que nos ancêtres ont accumulé ces constatations expérimentales et nous ont ainsi héréditairement légué ce principe, qui nous apparaît faussement comme une notion a priori, antérieure à l'observation.

C'est du positivisme que date la forme moderne de cette doctrine expérimentale ou biologique des mathématiques.

« Loin de dire avec Platon ou avec ses successeurs qu'il n'y a pas de science du phénomène, ou de ce qui passe, Comte pense au contraire que la science a pour unique objet la réalité phénoménale, en tant que soumise à des lois... les phénomènes géométriques et mécaniques sont les plus simples de tous et les plus naturellement liés entre eux. La période oti ils ont été étudiés par l'observation a donc pu être très courte, si courte même qu'il n'y a pas d'absurdité à soutenir qu'elle n'a jamais existé, et que, dans *ce cas, la connaissance rationnelle n'a pas été précédée par la constatation empirique des faits. Mais la différence entre les mathématiques et les autres sciences n'en reste pas moins une différence de degré, non de nature. Les mathématiques ont une avance sur les autres sciences ; elles ne. sont pas sur un autre terrain. En un mot, les mathématiques sont, comme toutes les autres, des sciences naturelles » (Lévy-Bruhl, 143).

Voilà la doctrine positiviste des mathématiques nettement posée : elles ne sont pas sur un autre terrain que les autres sciences naturelles, c'est-à-dire que les sciences expérimentales*. Quoiqu'on puisse, sans absurdité, soutenir que la phase expérimentale

1. Pour Auguste Comte, les mathématiques « ne sont plus que fies sciences naturelles, différant des autres en ce que leur objet est plus général » (Milhaud, B, 39j.

n'a jamais existé, cela ne prouve qu'une chose, c'est que cette période d'observation a été très courte. Et rien de plus.

Et Lévy-Bruhl continue (145) : « toute science a son origine dans un art correspondant. Les mathématiques sont nées de l'art de mesurer les grandeurs. Cet art serait bien rudimentaire si nous ne pratiquions que la mesure directe... Par suite, l'esprit humain a dû chercher à déterminer les grandeurs indirectement. Pour connaître les grandeurs qui ne comportent point une mesure directe, il faut évidemment les rattacher à d'autres qui soient susceptibles d'être déterminées immédiatement et d'après lesquelles on parvient à découvrir les premières, au moyen des relations qui existent entre les unes et les autres. Tel est l'objet précis de la science mathématique dans son ensemble ».

Quand la philosophie positive « sera universellement acceptée, l'idée qu'une science puisse être tout a priori, absolue et immuable, aura disparu des esprits. Précisément parce qu'elles sont le type le plus parfait d'une science positive, les mathématiques ne prétendront plus à ces caractères, et leurs liens séculaires avec la métaphysique seront définitivement rompus ï (162).

Littré est encore plus nettement catégorique : « un et un font deux est un fait d'observation et le point de départ de la plus longue et de la plus belle déduction qu'il ait été donné à l'homme de parcourir » (Liard,B, 71).

Mais alors, devenant expérimentales, dans la conception positiviste, les mathématiques cessent d'être universelles, absolues et immuables.

Comte ne recule pas devant cette conséquence de sa doctrine.

< Dernière conséquence enfin oîi aboutit cette

théorie : fondés sur l'expérience, le principe des lois et le principe des conditions d'existence ne garantissent qu'un ordre provisoire. Comte admet fort bien qu'il puisse ne pas exister... Rien n'empêche d'imaginer, hors de notre système solaire, des mondes toujours livrés à une agitation inorganique, entièrement désordonnée... » (Lévy-Bruhl, 112).

Stuart Mill a développé la même manière de voir.

D'abord il combat la nécessité des vérités mathématiques : « je crois que le caractère de nécessité assigné aux vérités des mathématiques, et même la certitude particulière qu'on leur attribue sont une illusion... » (Milhaud, A, 51).

Puis il montre d'un cùté l'origine expérimentale de deux et deux font quatre et la possibilité de deux et deux font cinq dans un autre monde.

« Il est très aisé de voir pourquoi dans le monde nous sommes tout à fait certains que deux et deux font quatre. Il n'y a probablement pas un moment dans la vie où nous n'en fassions l'expérience. Nous le voyons toutes les fois que nous comptons quatre livres, quatre tables, quatre chaises, quatre hommes dans la rue, ou les quatre coins d'un pavé, et nous en sommes plus sûrs que nous ne le sommes de voir le soleil se lever demain, parce que notre expérience de ce sujet s'applique à une quantité inconcevable de cas » (Milhaud, A, 22).

D'autre part, dit encore Stuart Mill, « considérez le cas que voici : il y a un monde où toutes les fois que deux couples de choses sont placées à proximité l'une de l'autre ou examinées ensemble, une cinquième chose est immédiatement créée et amenée dans l'examen de l'esprit au moment où il unit deux à deux... Eh bien! dans ce monde assurément deux et deux feraient cinq, c'est-à-dire que le résultat auquel arriverait l'esprit en considérant deux fois deux serait

de compter cinq. On voit par là qu'il n'est pas inconcevable que deux et deux puissent faire cinq... »

De même Beddoes (Liard, A, 27) : « les sciences mathématiques sont des sciences d'expérience et d'observation, uniquement fondées sur l'induction des faits particuliers, de même que l'astronomie, la mécanique, l'optique et la chimie ».

Et Foveau de Courmelles : « les mathématiques reposent sur certaines données sensorielles... les mathématiques pures, même simplement spéculatives, ne reposent pas sur l'absolu i (21-30).

Voilà, complète et logiquement poussée à ses légitimes conséquences, la doctrine positiviste ou biologique des mathématiques.

Il me semble que l'énoncé même de ces conséquences logiques facilite singulièrement la réfutation de la doctrine qui les produit.

Le raisonnement paraît inacceptable pour établir qu'on peut concevoir un monde où deux et deux feraient cinq. S'il y a à chaque fois création d'un cinquième objet, comme le suppose Stuart Mill, cela n'empêche pas que, même dans le monde supposé, deux et deux feraient encore quatre, puisque, pour faire cinq, il y aurait création d'une unité de plus.

11 est donc permis de maintenir l'ancienne formule : on conçoit facilement un monde, voire même une planète où la Biologie et la science expérimentale seraient entièrement différentes de ce qu'elles nous apparaissent sur la terre, tandis qu'on ne peut pas concevoir la possibilité d'un monde où les sciences mathématiques seraient autres qu'elles ne sont.

Les lois de la Biologie ont pu changer avec les époques; les lois mathématiques sont éternelles, dans le passé et dans l'avenir.

Ce n'est faire ni anthropocentrisme ni géocentrisme

que de dire que deux et deux font quatre a été, est et sera toujours vrai dans tous les siècles et dans tous les mondes.

Goblot (20) développe très bien cette pensée et cite avec raison cette phrase d'Ampère : < telle que l'ont conçue les Euler, les Lagrange, les Laplace, etc., la mécanique donne des lois, comme Farithmologie et la géométrie, à tous les mondes possibles ».

En réalité donc, les mathématiques n'ont rien à voir avec l'expérience et l'induction, comme points de départ. Elles sont le développement, par déduction, du principe d'identité et de contradiction, qui est « le nerf caché de tous les raisonnements déductifs et mathématiques » (Liard, B, 48).

On part de l'idée de nombre, on pose des définitions et on en déduit toutes les conséquences par le seul raisonnement.

La meilleure des preuves que ces idées et cette science sont antérieures et supérieures à toute expérience, c'est qu'elles ont un caractère d'éternité, d'universalité et d'absolu que jamais n'atteindront les vérités contingentes et seulement générales que permet d'acquérir l'expérience.

« Beaucoup, dit Ribot*, sont tombés dans cette étrange illusion de croire qu'en manipulant l'expérience par le travail d'une abstraction toujours croissante, on peut en faire sortir l'absolu. >

Comte et Stuart Mill, en supprimant le caractère

1. Th. Ribot, A, 228. Tout le livre de Ribot est absolument remarquable pour ce qui concerne les idées générales et tant qu'il élimine les questions mélaphysiquesde son sujet (comme il le fait à la page 254). Il devient plus discutable quand il parle de l'Universalisalion de certaines idées (207 à 212). Nous retrouverons cette question dans le chapitre suivant relatif à la Mctaphysicjue.

absolu, nécessaire et universel des mathématiques, suppriment les mathématiques elles-mêmes. Le bon sens se refuse à admettre des mathématiques contingentes, relatives et variables.

L'expérience est si peu le point de départ des mathématiques que, si cette expérience se trouve un jour en contradiction avec les mathématiques, nous n'hésitons pas à dire que c'est l'expérience qui a tort; nous refaisons et varions l'observation et ce sont toujours les mathématiques qui ont le dernier mot.

Il y a des sciences qui appliquent plus particulièrement les mathématiques et qui y joignent un élément expérimental : la mécanique, l'astronomie, la physique, par exemple. Eh bien! même dans ces sciences, l'élément mathématique rationnel a une existence tellement indépendante que si une contradiction apparaît avec l'élément expérimental, il n'y a pas conflit, l'élément mathématique n'en subit aucune atteinte, il n'est même pas discuté et l'élément expérimental est immédiatement déclaré inexact et doit être revisé.

Comme dit très bien Milhaud (A, d07), « si par exemple la prédiction d'un phénomène astronomique, à laquelle conduirait la mécanique céleste, ne se trouve pas réalisée, on n'aura jamais envie d'en accuser la mécanique rationnelle... on se dira seulement quelque fait jusqu'ici inconnu, la présence dans le ciel de quelque corps céleste ignoré, par exemple, et dont il n'a pas été tenu compte dans les calculs, peut jouer un rôle dans le problème et changer toutes les conclusions. Nous ne doutons pas un seul instant que jamais aucun fait ne viendra infirmer les postulats de la mécanique rationnelle... »

L'expérience qui est tout dans l'établissement et l'évolution de la Biologie et des sciences expérimen-

taies n'est rfen en mathématiques : celles-ci ont pour objet le seul vrai, tandis que les premières étudient le réel. Or, ces deux termes ne sont ni identiques ni synonymes.

« Stuart Mill, dit très bien Goblot (15), impose aux définitions mathématiques une condition à laquelle elles ne sont nullement assujetties. Dans ces définitions, dit-il, il est sous-entendu que quelque chose, telle que le défini, existe réellement ou peut se trouver dans notre expérience. Cela n'est pas exact; on définit une asymptote, on définit des parallèles; or, notre expérience ne peut pas nous présenter des lignes indéfiniment prolongées. On définit des quantités négatives, imaginaires*, infiniment grandes ou petites; or, toute quantité donnée dans l'expérience est positive, réelle et finie... Aucune définition mathématique n'est la définition d'une chose réelle 2. »

Donc, tandis que les sciences biologiques et physicochimiques « ont pour objet les faits », les sciences mathématiques i sont indépendantes des faits et n"ont pas besoin, pour être vraies, que leurs objets soient réels ».

2, On peut refaire pour la géométrie une argumentation très analogue à celle que nous venons de faire pour les mathématiques.

Ici encore on a voulu trouver une origine expérimentale aux définitions et aux axiomes qui sont le point de départ de cette science.

Ainsi Paul Regnaud dit expressément : « les axiomes expriment en dernière analyse, comme les proposi-

1. • L'imaginaire V — 1 n'a pas besoin d'un substratum effectif pour être utile, il suffit que ce signe facifite les transformations algébriques... » (Milhaud, B, 107).

2. Voir les chap. iv et v de Liard, B, et Milhaud, A, 1 et 10

lions proprement dites, des faits expérimentaux... » (75).

Et ailleurs (132, note) : « le fait que la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre est une affirmation qui repose sur l'expérience et qu'on a généralisée sous la forme d'une définition » et, « la définition, quelle qu'en soit la forme, repose directement ou indirectement sur la perception et l'observation j> (5).

C'est la doctrine d'Auguste Comte.

Dans les faits que l'on considère en géométrie, dit Lévy-Bruhl (151) exposant cette doctrine, « il y a un certain nombre de phénomènes primitifs qui, n'étant établis par aucun raisonnement, ne peuvent être fondés que sur l'observation et servent de base à toutes les déductions géométriques. Cette part de l'observation, quoique très petite, est indispensable, parce qu'elle est initiale. Elle ne saurait jamais se réduire à rien. Ainsi se trouvent écartées les discussions métaphysiques sur l'origine des définitions et de l'espace géométrique ».

La géométrie est une « science de faits » (156); elle « garde sa racine dans l'expérience ». Car « l'application de l'analyse mathématique ne peut jamais commencer une science quelconque ». Et plus loin (162) : « Conforme en ceci encore à la définition positive de la science », la géométrie et les sciences qui en découlent « sont empiriques dans leur origine et elles restent relatives dans le cours de leur développement ».

Liard (A, 18) expose (pour la discuter ensuite) toute la doctrine de cette « école fort nombreuse de philosophes et de géomètres », d'après laquelle les notions géométriques « dérivent de l'expérience et de l'abstraction travaillant sur une matière expérimentale ».

11 cite Stuart iMill, pour lequel les définitions géométriques doivent être considérées « comme nos pre-

mières et nos plus évidentes généralisations relatives aux lignes et à toutes les figures telles qu'elles existent », et pour lequel les axiomes géométriques sont c des vérités expérimentales, des généralisations de l'observation » (Liard, B, 88).

De même, pour Houel (Fouillée, D, 38), « la géométrie est fondée sur la notion expérimentale de la solidité ou de l'invariabilité des figures, qui fait qu'on peut les déplacer sans les déformer ».

Il paraît assez aisé de réfuter cette doctrine qui donne une base expérimentale à la géométrie et qui par conséquent refuse d'admettre des limites entre elle et la Biologie.

Cette discussion peut être calquée sur celle du paragraphe précédent, relative aux mathématiques.

a. La géométrie est tout entière déduite de certains axiomes et de certaines définitions. Ces définitions et ces axiomes sont si peu d'origine expérimentale que nous n'avons jamais observé des objets répondant exactement à ces définitions et pouvant par suite leur servir de point de départ et de substratum.

L'homme, l'animal... existent tels que nous les décrivons, avec toutes les propriétés que nous leur décrivons, puisque nous ne décrivons que ce que nous observons en eux. Au contraire une vraie ligne droite, un vrai triangle, une vraie circonférence... répondant exactement à la définition géométrique n'ont jamais été réalisés, ni par suite observés par personne.

Goblot (14), Milhaud (B, 140), Liard (A, ?8) ont bien nettement posé et développé cette pensée.

Donc, les définitions géométriques ne sont pas basées sur l'observation directe des objets qu'elles visent. Comme les définitions mathématiques, elles sont vi'aies sans répondre à des objets réels.

Il est curieux de voir StuartMill reconnaître la chose et dire (B, Blum, 141) : « il n'y a pas de choses réelles exactement conformes aux définitions géométriques; il n'y a pas de points sans étendue, pas de lignes sans largeur, ni parfaitement droites, pas de cercles à rayons exactement égaux ni de carrés à angles parfaitement droits * ».

b. Ce que nous venons de dire des définitions géométriques peut être textuellement répété pour les théorèmes qu'on déduit de ces définitions et des axiomes.

a La somme des angles d'un triangle, dit Goblot (14), est égale à deux angles droits. Ceci n'a pas besoin d'être vérifié expérimentalement, et d'ailleurs ne peut l'être ; car l'expérience prouvera seulement que c'est vrai sensiblement; mais le mathématicien veut dire que c'est vrai absolument. Ce serait encore vrai, quand même ce ne serait pas réel. Ce n'est peut-être pas réel... Mais il suffît qu'on puisse concevoir et définir le triangle pour que les propositions qu'on en démontre soient vraies. »

C'est l'esprit humain qui pose les définitions et les axiomes géométriques ^.

Sur ces notions initiales, l'esprit applique des raisonnements plus ou moins comparables au syllogisme (nous reviendrons sur ce point) et il construit ainsi la science entière sans le secours de l'observation et de l'expérience externes.

1. Il est vrai que, sans craindre la contradiction, Stuart Mill dit aussi, quelques lignes plus loin : « les points, les lignes, les cercles que chacun a dans l'esprit sont, il me semble, de simples copies des points, lignes, cercles et carrés qu'il a connus par l'expérience » ; « on ne voit plus du tout la suite des idées, dit très justement Blum (142).., Toute la théoi'ie débute par une contradiction ».