Cf. appendice au Mem. u» i

par ses dernières recherches. — Nous avons vu que toutes les copules sont loin d'avoir même sens et mêmes caractères; est, signe de l'identité, n'est pas identique à ==, signe de l'égalité; toutefois l'un et Tautre sont des copules convertibles et transitives; est plus grand que , est cause de , n'ont ni le sens de l'identité, ni celui de l'égalité; en outre, si ce sont des copules transitives, elles ne sont pas convertibles; chacune d'elles a une copule corrélative : est plus petit que, est causé par. Il en résulte que les logiciens, pour donner à leur science une unité factice et ramener toutes les relations à celles qui peuvent être affirmées par est et niées par n'est pas, ont incorporé de force la relation avec le prédicat. Ils disent par exemple que dans la proposition : A est plus grand que B, plus grand que B est le prédicat, et que la copule est marque l'identité de ce prédicat et du sujet. C'est là un subterfuge destiné à dissimuler ce que leurs vues ont d'incomplet et d'erroné; en fait, ils ont exclu de leur science l'étude de la relation en général ; et cependant si la logique est, comme ils le veulent, la science purement formelle des lois de la pensée , ne convient-il pas d'éliminer tout ce qu'il peut y avoir de matériel dans les diverses relations engagées dans la pensée et dans le langage, pour n'en retenir que la forme générale? On admet généralement que A est B, B est G, donc A est C, est l'énoncé de relations purement formelles, et on le conteste des relations A = B, B =: G, donc A = G; la vérité, c'est que dans le langage la copule est toujours matérialisée, qu'elle signifie identité ou cause de; la seule relation purement formelle est la relation générale, considérée en dehors de toutes les spécifications qu'elle peut recevoir. Il y a donc heu d'établir une logique générale de la relation.

de laquelle la logique de l'identité, la logique de l'égalité, c'est-à-dire les raisonnements où la copule marque l'identité ou l'égalité du sujet seraient des cas particuliers. A ce point de vue, le syllogisme proprement dit ne serait qu'un cas de la composition des relations. Une telle conception doit heurter de front les préjugés et les habitudes des logiciens de profession. Mais que dirait- on d'un mathématicien qui, sous prétexte que l'arithmétique porte sur des nombres, voudrait la confiner à tout jamais dans la numération et déclarerait nuls et non avenus les résultats abstraits qui conduisent au calcul différentiel ?

Soit X et Y deux termes singuliers, L la relation qui peut exister ou ne pas exister entre eux; X. .LY signifiera l'assertion de la relation; X.LY signifiera la négation de cette même relation. Alors X..LY signifiera que X est un des objets de pensée qui est avec Y dans la relation L, c'est-à-dire que X est un des Ls de Y; X.LY signifiera que X est un des objets de pensée , qui n'est pas avec Y dans la relation L, c'est-à-dire que X n'est pas un des Ls de Y. Remarquons que le prédicat peut être lui-même le sujet d'une relation; alors il y a, dans la proposition même, composition de relations. Soit, par exemple, X. .L (MY); cela signifie : X est un des Ls de l'un des Ms de Y; nous pouvons donc penser X comme « un L de M » de Y, assertion qui sera exprimée par X.. (LM)' Y, ou plus simplement parX..LMY.

Toute relation L a une relation converse L— *; et celle-ci se définit comme d'ordinaire : si X..LY, Y..L-1 X; c'est-à-dire si X est un des Ls de Y, Y est un des L-* de X. — De même, toute relation a une relation contraire. Si X n'est pas un L quelconque de Y, X est ' à Y dans quelque non-L relation. La relation contraire

est marquée par 1. Ainsi X.LY donne X..IY; réciproquement, X..1Y donne X.LY. Les relations contraires peuvent être composées, bien que les termes contraires ne le puissent pas; Xcc est impossible; maisLlX, c'est-à-dire le L d"unnon-L de X, est concevable; ainsi un homme peut être partisan d'un non-partisan de X.

Ces simples énoncés suffisent à montrer comment le syllogisme est une composition de relations.

Considérons les cas les plus simples, c'est-à-dire ceux qui ne contiennent pas de relation converse.

X est dans la relation L avec Y ;

Y est dans la relation M avec Z ;

Donc X est dans la relation composée LM avec Z.

Symboliquement :