On serait peut-être tenté de se méprendre sur le sens des
Supposons maintenant que x eiy aient exactement la même signification; leur combinaison n'exprimera rien de plus que ce qu'exprime l'un des symboles pris à part. Si, par exemple , d'un groupe d'êtres nous extrayons tous les X, et que nous répétions la même opération sur la classe ainsi obtenue, nous obtiendrons encore la même classe, sans profit ni perte ; dire a homme, homme », « bon, bon », c'est la même chose que de dire a homme », « bon ». De là, ces formules qui jouent dans le système un rôle capital :
XX = X eu X^ = X, p]
Outre les opérations ci-dessus décrites, il en est par lesquelles nous réunissons en un tout des parties différentes, et divisons un tout en parties. Ainsi nous disons : te Les Anglais et les Français, » « les Français ou les Anglais , » « les Européens , à l'exception des Anglais, )) etc. Ce sont là deux opérations inverses. La première sera marquée par le signe -\-, la seconde par la signe — :
symboles logiques ccy, xyz, etc., car il est malaisé de s'élever au degré d'abstraction nécessaire à l'intelligence du système de Boole. Dans l'algèbre des mathématiciens, xy signifie que x est multiplié par y. Il serait absurde d'interpréter en ce sens l'expression logique xy. Mais, nous l'avons vu, les propriétés des formules analytiques ne dépendent pas de l'interprétation qu'elles peuvent recevoir, mais uniquement des lois de la combinaison des symboles qu'elles contiennent. Aussi, bien que la multiplication algébrique dont xy = yx est la loi fondamentale n'ait en elle-même aucune analogie avec le procédé de combinaison logique représenté par xy, Boole a été en droit de dire que, si les procédés arithmétique et logique sont exprimés de la même manière, leurs expressions symboliques sont soumises à la même loi formelle.
BOOLE 109
Il est aisé de voir que, dans la formule x -\- .y, l'ordre de distribution des symboles réunis par le signe -]- est indifférent. Puisque ce + y désigne une totalité composée de tous les individus contenus dans la classe x et dans la classe y, peu importe que nous écrivions X -\- y ow ij ■\- x\ dans les deux cas, le résultat est le même. Les symboles logiques sont donc doués de la propriété distrihutive :
ou encore :
z(x-{-y) = zx + zy ; [4]
ce qui est attaché à tous les membres d'un tout l'est à chaque membre en particulier, de quelque manière que ces membres soient distribués. — Cette propriété dérive assurément de la nature même de l'opération symbolisée. Étant donné un groupe d'objets, considéré comme un tout, il est indifférent d'en extraire la classe z, par exemple, ou de diviser le groupe en deux parties, d'extraire de chacun d'eux tous les z et de réunir ces résultats en un même agrégat.
Revenons aux symboles 0 et 1. Si 0 signifie rien, et 1 tout, il est évident que la loi formelle de l'algèbre :
quelle que soit la valeur ou le sens de y, est vraie en logique. 0^ est la classe qui contient les individus communs à la classe 0 et à la classe y ; il ne peut en exister. De même, ainsi que nous l'avons déjà remarqué,
quel que soit y, est vrai en logique comme en algèbre. Allons plus loin. Si x représente une classe déterminée d'objets et 1 la totalité des êtres, il est évideijt
que i'X représentera la classe supplémentaire de x, c'est-à-dire la somme des êtres qu'il faut ajoutera œ pour avoir 1. Par conséquent, 1-cc signifiera le contraire de ce, c'est-à-dire non-x. Si, par exemple, x signifie homme, 1-cc signifiera non-homme.
Maintenant il est aisé de voir que l'axiome appelé par les logiciens principe de contradiction, et considéré par eux comme une loi primitive et irréductible de la pensée, est une conséquence de cette loi antérieure, dont l'expression est :
cc2 = ce.
En effet, à l'équation
x^ = x substituons l'équation équivalente
x^-x = 0, d'où X (1-cc) = 0.
Traduisons : le produit formel ce [i-x) représente la classe d'individus qui sont à la fois x et l-.x, c'est-à-dire non-x; ce produit est égal à 0; en d'autres termes, il n'y a pas d'individus qui soient à la fois x et 1-x, c'est-à-dire ce et non-ce.
Passons à l'expression symbolique des propositions.
Toutes les propositions logiques sont ou primaires ou secondaires. Les premières expriment des relations entre des choses ; les secondes, des relations entre des propositions. Occupons-nous d'abord des propositions primaires. |
En premier lieu, il faut établir une méthode générale pour énumérer toutes les variétés possibles d'une collection de choses pouvant constituer un terme d'une proposition primaire.
Si la classe est définie par des qualités communes à tous les individus qui la constituent, on l'exprimera
BOOLE m
par nn lerme simple, dans lequel les symboles seront juxtaposés comme dans la multiplication algébrique. — Si elle est, au contraire, une collection de choses distinctes, définies chacune par une propriété spéciale, les expressions de ces parties seront formées séparément et unies par le signe +; si la collection est définie par l'exclusion de certaines parties, les parties exclues seront précédées du signe — .
Dans les propositions disjonctives, « les choses qui sont X ou y », on aura deux symboles, équivalents des choses qui sont x et non-y et des choses qui sont y et non-x :
Si oc et y peuvent coexister, on aura
xy -\-x (i-y) + y {i'X),
expression de toutes les alternatives possibles dans le cas donné.
Ainsi l'expression totale de la triple alternative ou aj, ou y on z est
X (i-y) a-z) + y (l-oc) [i-z) + z (1-x) (1-y)
quand les classes désignées par x^ y et z sont mutuellement exclusives, et
xyz + X [i-y) [i'Z] + y (1-x) [i-y)
quand elles ne sont pas exclusives.
Gela posé, comment exprimer les propositions primaires?
Distinguons différents cas :
1° Le sujet et le prédicat sont tous les deux universels.
Dans ce cas, il faut former séparément l'expression ed chacun d'eux et les unir par le signe =.
i2« Le prédicat est particulier. Ex. : Tous les honiines sont mortels (quelques mortels).
Un symbole spécial de la particularité est ici nécessaire. Soit V le symbole d'une classe indéterminée en tout, si ce n'est en ce que quelques-uns de ses memhvQS sont X; nous aurons :
y = vx.
La règle d'expression de ces propositions sera donc d'exprimer le sujet et le prédicat comme précédemment, d'attacher au prédicat le symbole indéterminé u, et de mettre les deux expressions en équation.
De même, si la proposition est disjonclive, on aura :
3*^ Négatives universelles : Aucun ij n'est x. — Convertir la proposition dans la forme équivalente : Tout -3C est quelque non-y ^ et procéder comme précède. riment; d'où : |-
4° Négatives particulières : Quelques y ne sont pas 3C. Convertir la proposition en cette forme équivalente : Quelques y sont quelques non-x, et procéder d'après les règles d'expression ci-dessus énoncées :
vy ^ V (1-x). ^
En un mot, si la proposition est affirmative, exprimer le sujet et le prédicat séparément et les mettre en équation ; si l'un des deux termes est particulier, y attacher le symbole indéterminé r ; si la proposition est négative, en exprimer la vraie signification, et pour cela attacher la négation au prédicat.
IIL Le dessein de Boole apparaît maintenant avec une netteté parfaite. Boole n'a pas voulu appliquer la
science des nombres à la logique. Il eût fallu, pour cela, supposer qu'en cette nouvelle application les lois qui la gouvernent resteraient les mêmes, ce qui eût été une pure hypothèse qu'à priori rien n'autorisait; mais il s'est proposé de constituer une logique algébrique, et, pour y parvenir, il a déterminé les lois des synîboles logiques par l'analyse des opérations qu'ils représentent , indépendamment des lois qui régissent les symboles numériques. La communauté des symboles dans la science logique et dans la science des quantités n'implique en aucune manière Tidentité ou la communauté des objets de ces sciences ; l'une porte sur les notions que nous nous faisons des choses; l'autre, sur leurs relations numériques. Mais, comme les lois et les propriétés des symboles ne dérivent pas directement de l'interprétation qu'ils reçoivent, il est licite et même avantageux d'employer les mêmes symboles en des systèmes différents de pensée, s'ils sont soumis à des lois formelles communes.
Ce n'est donc pas à priori mais à posteriori que l'oii peut découvrir une correspondance entre les symboles de l'algèbre ordinaire et ceux de l'algèbre logique. — Les uns et les autres sont commutatifs et distributifs: De là vient qu'on peut, en logique, additionner et soustraire les équations, en transposer les termes, comme dans l'algèbre des mathématiciens; de là vient aussi que si deux classes de choses x et y sont identiques^ c'est-à-dire si tous les membres de l'une sont membres de l'autre, de
on peut, quelle que soit la propriété représentée par z^ conclure :
zx = zy,
équivalent formel de la loi algébrique en vertu de laquelle les deux membres d'une équation demeurent égaux, quand ils sont multipliés chacun par une même quantité.
Mais la comparaison de ces deux systèmes symboliques nous montre aussi qu'entre eux la correspondance n'est pas complète, ou, si l'on aime mieux, que chacun d'eux a des propriétés spécifiques distinctes.
Ainsi, en algèbre, de xy = zy, on conclut x ^ y.
En logique, nous ne rencontrons pas d'équivalent formel de cette loi. Si les membres d'une classe .v qui possèdent une certaine propriété z sont identiques avec ceux d'une classe y 'qui possèdent la même propriété z, il ne suit pas de là que tous les membres de la classe X soient identiques avec ceux de la classe y. En d'autres termes, on ne peut de zx = zy conclure en logique x = y.
Il y a plus ; nous avons vu que tous les symboles logiques sont soumis sans exception à la loi primitive et irréductible de dualité :
Cette loi est propre à la logique et n'a pas d'appUcation générale en algèbre. Deux symboles numériques seulement, 1 et 0, y satisfont :
En algèbre, l'équation x- = x n'a d'autres racines que Oetl.
Par conséquent, il n'y a pas coïncidence totale de 'algèbre logique et de l'algèbre numérique. Pour l'établir, il faudrait faire violence à l'algèbre ordinaire et supposer que les symboles de quantité admettent
BOOLE Mo
seulement les valeurs 0 et 4. Dans ce cas, les deux systèmes auraient mêmes lois , mêmes axiomes et mêmes procédés ^ ; ils ne différeraient que par l'interprétation.
IV. Nous connaissons les lois fondamentales des opérations de l'esprit ; nous les avons exprimées en symboles. Maintenant, comment doit procéder le calcul logique?
On remarquera d'abord que les symboles logiques sont soumis à certaines conditions d'interprétabilité. Ainsi X + y signifie que x et y, bien que réunis par le signe de l'addition, sont exclusifs l'un de l'autre, c'està-dire qu'aucun individu appartenant à la classe x ne se trouve en même temps dans la classe y. Il est incontestable que si, dans ce traitement des symboles logiques, on tient compte de ces conditions spéciales d'interprétabilité, il est impossible d'instituer un calcul logique. Mais, d'autre part, si on les néglige, pour ne tenir compte que des lois formelles impliquées dans la combinaison des symboles, on aboutira à des résultats dépourvus de toute signification. Or, rien n'est plus contraire à nos habitudes d'esprit ; dans le raisonnement par syllogisme, à chaque pas en avant, nous rencontrons une proposition intelligible. — Mais les conditions du raisonnement symboUque ne sont pas celles du raisonnement non symbolique. Les géomètres emploient souvent, pour parvenir à des résultats intelligibles , des symboles , tels que V— 1 , qui, par eux- . mêmes, ne sont pas susceptibles d interprétation. Dans
1. Cette remarque est de la plus haute importance pour intelligence du système de Boole. Comme nous le verrons bientôt, elle est la clef de son calcul logique.
ce genre de raisonnement, il faut et il suffit qu'une interprétation fixe soit assignée aux symboles employés dans l'expression des données, et que le résultat final puisse recevoir une interprétation conforme à celle des données. Alors, pourvu que la démonstration procède suivant les lois de la combinaison des symboles, peu importe que les intermédiaires qui séparent les données de la conclusion ne puissent pas recevoir d'interprétation.
Il faut donc, suivant ces principes, pour instituer le calcul logique, faire abstraction du sens donné aux symboles dans les équations proposées. — Mais ce n'est pas assez. On a vu que tout système de propositions peut être exprimé par des équations contenant les symboles .x, y, z, qui sont soumis à des lois formelles identiques à celles d'un système de symboles quantitatifs, susceptibles seulement des valeurs 0 et 1. Aussi, comme les procédés formels du raisonnement dépendent seulement des lois des symboles, et non de la nature de leur interprétation, est-il permis de traiter les symboles logiques comme s'ils étaient des symboles de quantité de l'espèce ci-dessus définie. De là cette règle capitale dans la doctrine de Boole : « Négliger Tin- « terprétation logique des symboles dans l'équation dona née; les convertir en symboles quantitatifs, suscep- « tibles seulement des valeurs 0 et 1 ; les soumettre, en c( cet état, à tous les procédés requis de solution, et à « la fin leur rendre leur interprétation logique. »
Ces conventions posées et ces règles établies, toute expression algébrique contenant un symbole x est appelée fonction de .x, f [x] ; toute expression algébrique contenant deux symboles x et y est appelée fonction de X et de y, f {x, y), et ainsi de suite. Ainsi f {x) représentera l'une quelconque des fonctions suivantes :
BOOLE itl
X, l-Xy ^ } 6lC.,
et f (x, y) représentera de même l'une quelconque desfurniCs :
x + v,x-2y, ''^-+J^,etc.
D'après les mêmes principes, si dans une fonction de sr nous changeons ce en 1, le résultat sera exprimé par la forme f (1); si, dans la même fonction, nous changeons .X en 0, le résultat sera exprimé par la forme j (0),
Par exemple, si f (x) représente la fonction ^r^^-^r
f (1) représentera -^-^ , et f (0) représentera -«
DÉFINITION. — Toute fonction f (x) dans laquelle x est un symbole logique, ou un sym.bole de quantité susceptible seulement des valeurs 0 et 1 , est dite êtra développée quand elle est ramenée à la forme ax + ^ (4 — x), a et 5 étant déterminés de façon à rendre le résultat équivalent à la fonction d'où cette forme a été dérivée.
Proposition I. — Développer toute fonction f (x) où X est un symbole logique.
Soit f (x) = ax + 6 (1-x).
Pour X = 1, nous avons : f (1) = a. Pour X = 0, nous avons : f (Oj = b.
Substituant à a et à 5, dans la première équation, leurs valeurs, nous avons :
f[x) = f{i]x + no){[-x). [q
C'est le développement demandé; le second membre de l'équation représente adéquatement la fonction f(x)^ quelle qu'en soit la forme; car x admet seulement Its
valeurs 0 et 1, et pour chacune de ces valeurs le développement
f[\)x + f{0)(Ux),
prend la même valeur que la fonction f (x). Par exemple , on demande de développer la fonction
jr^<^-,' Pour :\: = 1, nous trouvons : f (1) = ^ j pour
x = 0, nous trouvons : f (0) = j ou 1. D'où :
Proposition II. — Développer une fonction contenant un nombre quelconque de symboles logiques.
Soit d'abord le cas de deux symboles, f (x, y).
Considérant f {x, y) comme une fonction de x seulement, et le développant d'après le théorème généra précédent, nous avons :
où /■ (1, y) et f (0, y) représentent ce que la fonction proposée devient quand, au lieu de x, nous écrivons 1 etO.
Maintenant, prenant le coefficient /" (1, y) et le considérant comme une fonction de y, et le développant, nous avons :
où f (1 , 1 ) et /* (1 , 0) représentent ce que /" (1 , y) devient, quand on y fait y égal à 1 et à 0.
De même, le coefficient /"(O, y) donne, par expansion :
Substituons dans [2] à /" (1, ?/), f (0, y) leurs valeurs données en [3] et en [4], et nous avons :
BOOLE 119
f {y^ y) =/■(!, 1) X y + f{i,0)x [Uy] + f (0, i) (\-x) y + f{0,0){i.x){i-y). [5]
C'est là l'expansion demandée. f{i, 4) représente ce que
f (x, ij) devient quand on fait x ^ 1, i/ = 4 ; f (1 , 0), ce
que /"(x, ij] devient quand on fait x = 1 et ?/ = 0, et
ainsi de suite.
Si, par exemple, f (x, y) représente la fonction
-— , nous trouvons :
f (14) = ^,f{ifi) =f = 0, /-(O,-!) = i, f (0,0)= 1; d'où Texpansion de la fonction donnée est
-^xy + Ox [Uj) + ^ (4-x) y + (4-x) (l-y).
On peut de là tirer une règle générale pour l'expansion de toute fonction des symboles x, y, z,
4° Former les constituants ^ de la manière suivante : le premier constituant est le produit des symboles; pour former le second, changer dans ce produit un symbole z en 4-z; pour former le troisième et le quatrième, changer dans le premier et dans le second un symbole y en 4-?/; pour former le cinquième, le sixième, le septième et le huitième, changer dans les quatre premiers un autre symbole x en 4-x, et ainsi de suite jusqu'à ce que le nombre des changements possibles soit épuisé.
2^ Trouver le coefficient d'un constituant quelconque. — Si ce constituant contient x comme facteur, changer dans la fonction originale x en 4 ; s'il contient le facteur 4-x, changer dans la fonction orjççinale
1. Boole appelle constituant d'une expansion tout terme tel que xij, x[i-7j), etc. , et coefficient tout terme tel que / (1,1), /(IjO), etc.
X en 0. Appliquer la même règle par rapport aux autres symboles y, z, etc. Ainsi le coefficient du constituant (i-y) (1-y) z sera /"(O, 0, 1).
La somme des constituants, multipliés chacun par son coefficient respectif, sera l'expansion demandée.
On remarquera que, dans une expansion donnée, un constituant quelconque, t, satisfait à la loi de dualité, t (i-t) = 0; que le produit de deux constituants distincts = 0, et que la somme de tous les constituants = 1.
V. Il s'agit maintenant d'interpréter ces formules. Comme toute expansion d'une fonction contient deux espèces d'éléments, constituants et coefficients, la question doit être divisée. Il faut rechercher d'abord Tinterprétation des constituants, puis se demander en quelle sorte les coefficients qui y sont attachés en modifient l'interprétation.
En premier lieu, les constituants d'une fonction des symboles logiques x, y, etc., développée, sont interprétables et représentent toutes les divisions exclusives de la totalité du discours, formées par l'affirmation et la négation des qualités dénotées par les symboles x et y, etc.
Pour plus de clarté, supposons que la fonction développée contienne seulement les symboles x et y. Nous avons les quatre constituants
Le premier, xy^ représente la classe d'objets qui possèdent en même temps les qualités exprimées par x et par y\ le second, x (l-j/), ceux qui possèdent la propriété a?, mais qui ne possèdent pas la propriété y ; le troisième, (1-x) i/, ceux qui sont y^ mais qui ne sont
BOOLE 12f
pas r; enfin le quatrième, ceux qui [ne sont ni x ni y. Ces constituants représentent donc toutes les classes distinctes que l'on peut décrire en affirmant et en niant les propriétés exprimées par x et par y. Ces classes, comme il est aisé de le voir, épuisent la totalité des chose^, car il n'est pas d'objet qui ne puisse être défini par la présence ou l'absence d'une qualité proposée; par suite, il n'est pas de chose individuelle qui ne puisse être placée dans l'une des quatre classes déterminées par toutes les combinaisons possibles des deux classes données a? et y, et de leurs contraires.
C'est sur les lois des constituants et le mode de leur interprétation que reposent l'analyse et l'interprétation des équations logiques.
Soit l'équation logique V = 0, développée de la manière suivante :
axy + hx [\-y) + c (l-x) y + d {\-x) {\-y) = 0, [1] a, 6, c, d étant des coefficients constants numériquement définis.
Supposons maintenant qu'un coefficient quelconque, a par exemple, n'est pas nul. Multipliant chaque membre de l'équation par le constituant xy^ auquel ce coefficient est attaché, nous avons :
axy = 0,,
d'où, comme a n'est pas nul,
xy = 0,
résultat indépendant de la nature des autres coefficients
de l'expansion et qui, logiquement interprété, signifie :
Il n'y a pas d'individus appartenant à la fois à la classe
représentée par œ et à la classe représentée par y.
De la même façon, si le coefficient h n'est pas nul,
nous avons
ce qui signifie : Il n'y a pas d'individus qui en même temps appartiennent à la classe x et n'appartiennent pas à la classe y.
La somme des interprétations distinctes ainsi obtenues pour chaque terme d'une expansion dont les coefficients ne sont pas nuls, constituera l'interprétation complète de l'équation V = 0; d'où cette règle d'analyse : développer la fonction V et égaler à 0 tout constituant dont le coefficient n'est pas nul. Les interprétations de ces résultats, prises ensemble, constituent l'interprétation de l'équation donnée.
Soit maintenant l'équation V = 1^ supplémentaire de la forme V = 0.
Il est évident que tous les constituants qui figurent dans son développement représentent des classes dont la somme constitue la totalité des êtres ; si, par exemple, nous avons
xyz + (l-o;) y (1-z) + {i-x) (l-y) z + (1-x) (1-y) [\-z) = 1 ,
cette expression signifie que par rapport aux propriétés dénotées par Xj y, z, la totalité des êtres est divisée en quatre classes, la première contenant tous les êtres qui sont à la fois x, y, 2; la deuxième, tous ceux qui sont y, mais qui ne sont ni a? ni z; la troisième, tous ceux qui sont z, mais qui ne sont ni x, ni y ; enfin la quatrième, tous ceux qui ne sont ni x, ni y^ ni z, et qu'un être quelconque appartient à l'une de ces quatre classes.
Considérons maintenant le cas où la fonction est égalée à un symbole logique quelconque, w^Y = w.
Ce cas n'est pas arbitraire, mais répond à un problème de la plus grande généralité en logique : Étant donnée une équation logique unissant les symboles x^ y, z et tu, on demande d'exprimer, d'une façon qui puisse être interprétée, la relation de la classe repré-
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sentée par w aux classes représentées par les autres symboles x, y, z, etc.
En fait, si nous développons Téquation donnée, quelle qu'en soit la forme par rapport à lu, nous obtenons une équation de la forme
Eio + E'(l-u;) =0, [1]
EE' étant fonctions des autres symboles. Nous avons donc
E' d'où w = ^,-g . [2]
Développant le second membre, il restera à interpréter logiquement le résultat d'après la proposition qui va suivre.
Si l'on demande la relation de la classe 1 — w aux autres classes x, y, z, etc., nous déduisons de [1], comme ci-dessus,
équation à l'interprétation de laquelle s'applique aussi la méthode contenue dans la proposition lïl.
Proposition III. — Déterminer l'interprétation de toute équation logique de la forme iv = V, dans laquelle w est le symbole d'une classe et V une fonction d'autres classes, complètement indéterminée dans sa forme.
Supposons que le second membre de l'équation w = Y soit complètement développé. Chacun de ses coefficients sera de Tune des quatre espèces suivantes :
1° Le coefficient est 1 . — Gomme 1 est le symbole de la totalité, et que le produit de deux symboles quelconques de classes représente les individus qui appartiennent aux deux classes, tout constituant qui aura
l'unité pour coefficient devra être interprété sans limitation.
2o Le coefficient est 0. — Comme en logique, de même qu'en arithmétique, 0 représente rien, aucune partie de la classe représentée par le constituant auquel Û est attaché comme coefficient ne devra être prise.
3^ Le coefficient est de la forme ?t. — En arithmétique, ^ représente un nombre indéfini. De même, par
analogie, ce symbole représentera, en logique, une classe indéfinie.
Prenons, par exemple, la proposition : « Des hommes non-mortels n'existent pas; » représentons-la symboliquement, et cherchons, conformément aux lois cidessus énoncées, une définition des « êtres mortels » par rapport à « hommes ». Soit y « hommes », x « êtres mortels », la proposition donnée sera en langage symbohque :
y (1-^^) = 0, de laquelle nous devons tirer la valeur de x.
De y{[.x) = 0,
nous tirons y-yx = 0
ou yx=y,
d'où X = — .
Développant le second membre, il vient :
Ce qui signifie : Les mortels (x) sont constitués par tous les hommes (ij) plus des êtres qui ne sont pas
hommes, [i-y] précédé du coefficient g. Mais nous
BOOLE 125
ûnorons si ce reste comprend tous les êtres qui ne sont pas hommes, ou s'il n'en comprend que quelques-uns.
ç: est donc bien le symbole d'une classe indéterminée.
4° Il peut se faire enfin que le coefficient d'un constituant ne rentre dans aucun des trois cas précédents. On ne peut alors l'interpréter sans le théorème suivant.
Théorème. — Si une fonction V, dont le but est de représenter une classe ou une collection d'objets Wy est développée, et si le coefficient numérique a de l'un quelconque de ses constituants ne satisfait pas à la loi a (l-a) = 0, le constituant en question doit être égalé à 0.
Telles sont les règles générales de l'interprétation, et pour ce qui concerne les constituants, et pour ce qui concerne les coefficients. lUustrons-les à l'aide d'un exemple concret.
On donne la définition suivante : « Les êtres responsables sont tous les êtres raisonnables qui sont libres d'agir ou qui ont volontairement sacrifié leur liberté. »
On demande, par exemple, d'inférer de cette prémisse le rapport qui unit la rationalité à la responsabiUté, la liberté d'action, le sacrifice volontaire de la liberté et leurs contraires.
Soit X les êtres responsables, y les êtres raisonnables, z les êtres libres d'agir,
w les êtres qui ont volontairement sacrifié leur liberté d'action.
Les deux alternatives « êtres raisonnables libres d'asir » et a êtres raisonnables ayant sacrifié leur liberté» gont mutuellement exclusives. L'expression symbolique de la prémisse sera donc :
x = yz-{- ijw. [1]
oc De ril nous avons y = — , — ;
développant le second membre et rejetant les termes dont les coefficients sont 0, il vient
y = 2 XZW + XZ (i'W) + X (1-2) W + Q ^ (1-^) (1-W)
d'où, en égalant à 0 les termes dont les coefficients
sont -^ et TT, nous avons :
y = xz {i'W) -h xw (i-z) + V (i-x) (1 -2) (1-^v) ; [2]
^:zw = 0 [3]
Interprétons, et nous obtenons les trois conclusions suivantes :
1° Les êtres raisonnables sont tous les êtres responsables qui sont libres d'agir et n'ont pas sacrifié volontairement leur liberté, ou qui, ayant volontairement sacrifié leur liberté, ne sont pas libres d'agir, plus une classe indéterminée d'êtres qui ne sont pas libres d'agir et qui n'ont pas sacrifié leur liberté. [2]
2° Il n'y a pas d'êtres qui en même temps soient responsables, libres d'agir, et aient sacrifié volontairement leur liberté d'action. [3]
3° Il n'y a pas d'êtres qui en même temps soient responsables, ne soient pas libres et n'aient pas sacrifié leur liberté d'action. f4J
On peut aller plus loin et de [3] conclure ;
XW = ^=02+^(l-2)
OU xw = u(l-2); [5]
BOOLE 1 27
et de [4] :
ou x{i-w)^=vz; [6]
ce qui signifie : Les êtres responsables qui ont volontairement sacrifié leur liberté sont quelques non- «dbres. [5]
Les êtres responsables qui n'ont pas volontairement sacrifié leur liberté sont quelques êtres libres. [6]
En prenant pour prémisse la même définition des êtres responsables, on peut demander une description des êtres irrationnels.
Nous avons alors
=.^xz\v + Oxz (1-w) + Ox (l-z) W -{- K X (1-z) (1-w)
-h (l-ix:) zw H- {i-x)z{i'W) 4- (1-x) (1-2) W-t-7T(l-x)
(1-2) (1-lV),
d'où, en supprimant les termes qui ont pour coefficient 0, et en égalant à 0 ceux qui ont pour coefficient
^ ou Tt, nous avons :
(l'X) zw -h (i'X) z (1-w) + (1-.^;) (1-2) w -\-v (1-x) (I-2) (1-w) =(l-jc) 2-1- (l-.x) (I-2) w-i-v (l-.x) (I-2) (i-w).
La solution directe est donc : Les êtres irrationnels comprennent tous les êtres irresponsables qui sont libres d'agir ou qui, ayant perdu volontairement leur liberté, ne sont pas libres d'agir, plus une classe indéterminée d'êtres qui ne sont ni responsables ni libres
d'agir et qui n'ont pas perdu volontairement leur liberté.
On aurait pu de même demander la définition de z et de non-z, de w et de non-it\ par rapport aux autres termes de la définition posée comme prémisse, et les obtenir par le même procédé. Il suffit de cet exemple 'pour faire voir la fécondité du calcul logique dans Tinférence immédiate.
VI. Dans les inférences considérées jusqulci, tous les éléments de la prémisse reparaissent dans la conclusion ; il n'y a de changé , de l'une à l'autre, que l'ordre et les connexions de ces éléments. Mais ce n'est pas là le seul type du raisonnement déductif. Souvent la question à résoudre se présente sous la forme suivante : Étant données plusieurs prémisses, en extraire une relation entre tels et tels éléments déterminés. Dans ce cas, tous les éléments des prémisses ne reparaissent pas dans la conclusion ; certains d'entre eux, les moyens termes, dont la fonction est de manifester la relation demandée, en sont éliminés. Il faut donc chercher un procédé général d'élimination d'un nombre quelconque de moyens termes dans un système composé d'un nombre quelconque de prémisses données sous forme d'équations.
Soit une équation logique f {x) = 0.
Développant le premier membre, nous avons :
f{i)x + f{0){Ux)=0, Ou \fW-fiO)\x + f(0)=0; [11
donc X =
fm-fw
Pt i.r — ^^-)
BOOLE 129
Substituons ces expressions h. x et h 1 -7- ^ dans l'équation fondamentale a; (1 — a;) = 0,
nous avons i-v-f J ,.T-n; = 0,
ou f(i)f{0) = 0. [2]
On voit que, par ce procédé, rélimination a lieu réellement entre Téquation donnée f (x) = 0 et l'équation universellement vraie ce (1 — ce) = 0, expression de la loi fondamentale des symboles logiques. Il n'est donc besoin, pour rendre possible l'élimination d'un terme, que d'une seule prémisse ou équation; la loi nécessaire de la pensée supplée virtuellement à l'autre prémisse ou équation.
On peut encore procéder de la façon suivante. Soit, comme ci-dessus, l'équation
m)x + no){i-x) = o.
Multiplions l'équation d'abord par x, puis par 1 — a?, nous avons
De ces équations nous tirons par solution et développement :
équations qui signifient : 1° Tous les individus contenus dans la classe représentée par f (1) ne sont pas x; 2° Tous les individus contenus dans la classe représentée par f (0) sont x ; d'où : 11 n'y a pas d'individus contenus à la fois dans la classe f (1) et dans la classe f (0), ou symboliquement :
De là cette règle : Pour éliminer un symbole x d'une équation proposée, donner successivement à ce symbole, après avoir fait passer, si c'est nécessaire, tous les termes de l'équation dans le même membre, les valeurs 1 et 0, et multiplier l'une par l'autre les équation résultant.
Considérons maintenant l'équation générale
dont le premier membre représente toute fonction de 0?, y et d'autres symboles.
D'après ce qui précède, le résultat de l'élimination de y dans cette équation est :
Si maintenant dans ce résultat, obtenu en changeant successivement i/ en 1 et en 0 dans l'équation proposée et en multipliant l'un par l'autre les résultats obtenus, nous changeons successivement ce en 1 et en 0 et multiplions les résultats, nous avons
comme résultat final de l'éUmination.
Or les quatre facteurs du premier membre de cette équation sont les quatre coefiicients de l'expansion complète de f (a?, y)^ premier membre de l'équation donnée.
D'oîi cette règle : Pour éliminer d'une équation de la forme V = 0 un nombre quelconque de symboles a?, y, etc., développer complètement le premier membre de cette équation en constituants des symboles donnés ; multipUer ensemble tous les coefficients de ces constituants et égaler le produit à 0.
Appliquons ces règles à un exemple. Soit la définition de la richesse de Senior : « La richesse consiste
par
Wj
par
par
par
par
BOOLE 131
en choses susceptibles d'échange, hmitéesen quantité,
et qui produisent le plaisir ou préviennent la douleur. »
Représentons richesse
choses limitées en quantité
choses échangeables
choses produisant le plaisir
choses prévenant la douleur nous avons :
w = st\ pr + p (i-r) + r {i-p) j, ou IV = st\ p '\- r (i-p) j.
De cette équation, nous pouvons éliminer tous les symboles dont nous ne désirons pas tenir compte.
En premier lieu, que devient l'expression dewq\iB.ud on élimine l'élément r ?
Faisant passer tous les termes de l'équation dans le premier membre, nous avons :
w — st (p -\- T-vp) = 0.
Faisant r = 4, le premier membre devient w — st; faisant r = 0, il devient w — stp; d'où nous avons, d'après la règle d'élimination,
[lu-st) (W'Stp) = 0,
ou W'WStp — lOSt -j- Sf/) = 0,
,, , stp
dou ^-st + stp-V
équation dont le second membre développé donne :
w = stp + 7) st (1-p).
Ce qui, d'après les règles d'interprétation plus haut déterminées, signifie : La richesse est constituée par toutes les choses hmitées en quantité, susceptibles d'échange, et produisant le plaisir, avec un reste indéterminé de choses limitées en quantité, susceptibles d'échange et ne produisant pas le plaisir.
Supposons, en second lieu, qu'on demande la description de s par rapport à ta, à t et à p, mais en négligeant tout rapport de s à r. De l'équation
w — s [Wt -i- wtp — tp\ = 0,
nous tirons s = —j 7 — ~r-.
ivt-i-iotp — tp^
d'où par développement :
s = wtp-hlVt [i-p)-\-QW [i-t) p+^ 10 [i-t) [i-p] -{-0{\'IV) tp
ce qui signifie : Les choses limitées en quantité sont toute richesse susceptible d'échange et produisant le plaisir, toute richesse susceptible d'échange et non productive de plaisir, plus une somme indéfinie de choses qui ne sont pas la richesse, mais qui sont susceptibles d'échange sans produire de plaisir, ou non susceptibles d'échange mais productives de plaisir, ou qui, tout à la fois, ne sont pas susceptibles d'échange et ne produisent pas le plaisir.
Des termes dont les coefficients sont j^ nous pouvons
tirer en outre les deux relations indépendantes :
1° Il n'y a pas de richesse qui ne soit pas susceptible d'échange et qui en même temps produise le plaisir.
2° Il n'y a pas de richesse qui ne soit pas susceptible d'échange et qui ne produise pas le plaisir.
Si l'on demande d'éhminer deux ou plusieurs symboles d'une équation proposée, nous pouvons, ou bien employer la méthode décrite plus haut :
f{i,i)f(i,0)f{0,i)fyO,0)=0,
ou les éliminer un à un, successivement, en tel ordre qu'on voudra.
De l'équation
w =^ st (p -|- r — 25)^),
nous avons éliminé r et obtenu
w — icst — ivstp -f- stp = 0.
Si Ton demandait d'éliminer à la fois r et t, nous pourrions prendre pour point de départ le résultat de l'élimination de r et en éliminer t.
Faisant t = 1, le premier membre de l'équation devien
w — los — wsp -\- sp.
Faisant t = 0, il devient :
Multipliant ces deux membres l'un par l'autre, et égalant le produit à 0, nous avons :
w {w — ws — icsp -\- sp] = 0, ou 10 — lus = 0.
Donc ^' —13^ — Ô^'
ce qui signifie : Toute richesse est limitée en quantité*. De même façon, on éliminerait tels autres symboles de l'équation donnée.
YII. La méthode générale d'élimination, dont nous venons d'exposer les principes et les règles, n'est applicable qu'à une seule équation, c'est-à-dire à une seule prémisse. En fait, les prémisses d'un raisonnement déductif sont le plus souvent au nombre de deux ; en droit, rien n'empêche que le nombre en soit illimité. La question qui se pose maintenant est celle de savoir
1. Dans tous les calculs qui précèdent, il faut toujours avoir présente à l'esprit la loi fondamentale des symboles logiques, susceptibles seulement des valeurs numériques i et 0, x- = x,
