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134 LES LOGICIENS ANGLAIS COMTEI\IPOIlAINS

s'il est possible, dans un système de prémisses formé d'un nombre quelconque d'équations, d'éliminer un nombre quelconque de symboles, ce qui revient à se demander s'il est possible de réduire un système quelconque d'équations logiques à une équation unique équivalente, à laquelle les méthodes que nous venons de décrire soient applicables.

Cette réduction peut être opér-ée par la méthode suivante :

l^r cas. — Si Vi = 0, V2 = 0 sont des équations telles que l'expansion de leurs premiers membres contienne seulement des constituants affectés de coefficients positifs, ces équations peuvent être unies ensemble par addition en une équation unique équivalente.

En effet, si kt représente un terme du développement de la fonction V,, Bt le terme correspondant du développement de V2 et ainsi de suite, le terme correspondant dans le développement de l'équation,

V* + V2 + etc. = 0, [1]

formée par l'addition des équations données, sera:

(A + B, etc.) t.

Mais comme, par hypothèse, aucun des coefficients A, B, etc.,n'estnégatif,lecoefficienttotalA4-B + etc., dans l'équation dérivée, s'évanouira seulement quand les coefficients distincts A, B, etc., s'évanouiront ensemble. Par conséquent, tous les constituants des équations distinctes Vj = 0, V2 = 0, etc., se trouveront dans le développement de l'équation [1] ; d'où l'interprétation de l'équation [1] sera équivalente aux interprétations collectives des différentes équations d'où elle est dérivée.

2' cas. — Si Vi = 0, V2 = 0, etc., représentent un

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système quelconque d'équations, dont les termes ont été placés par transposition dans le premier membre, l'interprétation combinée du système sera contenue dans l'équation unique :

V,^ + V,2 + etc. = 0,

formée par l'addition des carrés des équations données. En effet, soit une équation du système V^ = 0, donnant par expansion l'équation :

dans laquelle t,, fj, etc., sont les constituants, et c/^, ttj, etc., les coefficients correspondants, l'équation Vj = 0 donnera par développement l'équation :

a^Hi + «2'^^2 + ©te. = 0.

Par conséquent les constituants, contenus dans l'expansion de l'équation Vj^ = 0 senties mêmes que ceux de l'expansion de l'équation V^ = 0, et ils ont des coefficients positifs. La même remarque s'applique aux équations Vg^ = 0, etc., d'où il suit que l'équation

V,^ + V/ + etc. = 0,

aura une interprétation équivalente à celle du système d'équations

Vj = 0, \\ = 0, etc.

3^ ca9. — Quand les équations d'un système ont été par l'élévation au carré, ou par tout autre procédé, ramenées à une forme telle que tous les constituants qui se trouvent dans leur expansion aient des coefficients positifs, toute équation dérivée, obtenue par élimination, possédera le même caractère et pourra être combinée par addition avec les autres équations.

Supposons qu'on ait éliminé un symbole a; d'une équation V = 0, telle qu'aucun des constituants de

rexpansion de son premier membre n'ait de coefficient négatif, l'expansion peut être écrite sous la forme

Vi X + V2 il — 03] = 0,

Vj, V2 étant chacun de la forme

oùfj, fjv ^n sont constituants des autres symboles, et a,, «2v ^n, des quantités positives ou nulles. Le résultat de l'élimination est

et, comme aucun des coefficients de Vj et de Vj n'est négatif, il ne peut y avoir de coefficients négatifs dans le produit V1V2. Par suite, l'équation ^ ^^ = 0 peut être ajoutée à toute autre équation dont les coefficients sont positifs, et l'équation qui en résultera comprendra la sis^nification entière de celles dont elle sera formée.

Il reste à rechercher quelles équations logiques rentrent dans les cas que nous venons de distinguer.

Nous connaissons les principaux types de propositions :

1» Celles dont le sujet est universel et le prédicat parti cuUer :

X = vY,

Xet Y satisfaisant à la loi de dualité. Eliminant v, nous avons

qui satisfait à la même loi. Il n'est pas nécessaire, pour réduire ces propositions, de les élever au carré. 2" Celles dont les deux termes sont universels :

X = Y, X et Y satisfaisant séparément à la loi de dualité. Ecrivant réquation sous la forme X — Y ^= 0, et l'élevant au carré, nous avons :

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X — 2XY -f- Y = 0,

ou X (1-Y) + Y (1-X) = 0, [2]

dont le premier membre satisfait à la loi de dualité. 3" Celles dont les deux termes sont particuliers :

vX = vY.

Ici, V n'est pas arbitraire et ne peut, par suite, être éliminé; il représente en effet quelques. Nous devons donc faire passer le second membre dans le premier et élever au carré l'équation résultant : vX (1-Y) -f- vY il-X) = 0.

Concentrons dans une règle unique ces résultats divers : « Les équations ayant été exprimées de façon à ce que les termes X et Y des formes typiques obéissent à la loi de dualité, changer les équations : X = i;Y en X (1-Y) = 0, X = Y en X (1-Y) + Y ^l-X) = 0, vX = vY en vX (l-Y) + vY (1-X) = 0.

Toute équation donnée sous la forme X = 0 n'a pas besoin d'être transformée, et toute équation qui se présente sous la forme X = 1 peut être remplacée par 1 — X = 0.

Quand les équations du système donné ont été ainsi réduites, elles peuvent, ainsi que celles qui en dérivent par élimination, être combinées par addition.

Appliquons ces règles à un exemple.

Soient comme prémisses les deux propositions suivantes de géométrie :

1° Les figures semblables sont celles dont les angles correspondants sont égaux et les côtés correspondants proportionnels;

2" Les triangles dont les angles correspondants sont égaux ont les côtés correspondants proportionnels, et vice versa,

Si l'on représente sembZflZ;?es par s,

triangles ' par t,

ayant les angles égaux par q,

ayant les côtés proportionnels par r,

les prémisses donneront les équations :

s = qr, [1]

tq = tr. [2]

Faisant passer tous les termes de ces équations dans le premier membre, élevant chacune d'elles au carré, et les additionnant, nous avons :

sJL-qr — 2qrs -\- tq + tr — 2tqr = 0. [3]

On demande une description des figures dissemblables, formée des termes t^ q^r.

De l'équation [3] nous tirons :

tq -\~ qr -^ ri -{• tgr

s- 2qr—i

. qr — tg — rt-\-'2tqr — 1. r-.-.

Donc 1 — s = -^ ^-~ !-i— ^^ ; [4 ]

2 qr — 1 ' L j

développant le second membre de [4], nous obtenons

i-s==Otqr -{-'2tq [i-r] ^2tr[i-q] + t(\-q)[i-r) + 0(i-t'\qr + (1-t) q (1-r) + (1-t) r (l-q) + (1-t) (1-g) (1-.). [5]

Dans cette expansion, deux termes ont le coefficient 2; on doit donc les égaler à 0 ; alors, les termes dont les coefficients sont 0 étant rejetés, on a :

l-s = t (1-g) (l-r) + (1-i) q (1-r) + (1-i) r (l-gj + (i-f) [i-q) (1-r). [6]

iq (1-r) = 0, [7]

tr [i^q) = 0, [8]

équations dont voici l'interprétation directe :

lo Les figures dissemblables sont constituées par tous les triangles qui n'ont pas les angles correspon-

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dants égaux ni les côtés correspondants proportionnels, ou qui ont les côtés correspondants proportionnels et les angles inégaux, ou qui n'ont ni angles correspondants égaux, ni côtés correspondants proportionnels.

2° Il n y a pas de triangles qui aient à la fois les angles correspondants égaux et les côtés correspondants non proportionnels.

3° Il n'y a pas de triangles qui aient à la fois les angles correspondants inégaux et les côtés correspondants proportionnels.

VIII. Tout ce qui a été dit jusqu'ici se rapporte exclusivement aux propositions primaires (Voy. § II). Mais il est d'autres propositions qui ont pour objet non des choses ou des idées de choses, mais des propositions considérées comme vraies ou comme fausses. Ce sont les propositions secondaires, qui comprennent tous les jugements par lesquels nous exprimons une relation ou une dépendance entre propositions. Telles sont, par exemple, les propositions conditionnelles : « Si le soleil brille, le jour sera beau; » les propositions disjonctives : « Le soleil brillera, ou la partie sera remise. » Ces sortes de propositions apparaissent aussi souvent dans les raisonnements ordinaires de la vie que les propositions primaires; les moralistes et les métaphysiciens eux-mêmes raisonnent moins souvent sur les choses et leurs quaUtés que sur les principes et les hypothèses relatives aux vérités et à leurs connexions mutuelles. Il est donc important d'établir une méthode générale pour le traitement des propositions secondaires.

Un caractère commun à toutes ces propositions, c'est d'impliquer une relation de temps. Quand nous disons, par exemple : Si la proposition X est vraie, la

proposition Y Test aussi, nous entendons que le temps? dans lequel la proposition X est vraie est le temps dans lequel la proposition Y l'est aussi. Ce n'est pas là , sans doute tout le sens de l'assertion ; mais cela suffit pour ce que nous nous proposons.

Si l'on représente par X, Y, Z les propositions élémentaires engagées dans les raisonnements, par x, ^, z, les temps pendant lesquels elles sont vraies, par +» — , = l'addition , la soustraction et l'égalité de ces temps, par 0 le néant du temps, par 1 la totalité du temps, on aura évidemment :

xy = ijx,

lois formelles identiques à celles qui régissent l'expression des propositions primaires.

Interprétons maintenant ces symboles.

Gomme 1 désigne la totalité du temps, et x la portion de ce temps pendant laquelle la proposition X est vraie, i-x désigne la portion supplémentaire pendant laquelle la proposition X est fausse ; comme xy désigne la portion du temps pendant laquelle les propositions X et Y sont vraies toutes les deux, x (i-y) représentera le temps pendant lequel la proposition X est vraie et la proposition Y fausse; [i-x] (i-y) représentera le temps pendant lequel les propositions X et Y sont simultanément fausses ; x {\-y) -{- y (1-cc) exprimera le temps pendant lequel les propositions X et Y sont vraies à l'exclusion l'une de l'autre; xy -{- (i-x) (l-y) représentera le temps pendant lequel les propositions X et Y sont vraies ou fausses toutes les deux à la fois, et ainsi du reste.

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Mais ce n*est là qu'un élément des propositions. Comment exprimer les propositions elles-mêmes? Il faut distinguer plusieurs cas :

1° Exprimer la proposition : « La proposition X est vraie. » — Aucune restriction de temps n'est énoncée; on doit donc entendre que la proposition X est vraie en tout temps; comme x représente le temps pendant lequel la proposition X est vraie, et que ce temps est tout le temps,

sera l'expression symbolique demandée.

2° Exprimer la proposition : « La proposition X est fausse. î> — Comme là encore aucune restriction de temps n'est énoncée, le temps zc pendant lequel la proposition X est vraie est égal à 0,

3° Exprimer la proposition disjonctive : « Ou la proposition X, ou la proposition Y est vraie, » étant entendu que ces propositions sont mutuellement exclusives. — Nous savons que x (1-y) + y (1-x) représente le temps pendant lequel Tune ou l'autre des propositions X et Y est vraie; donc

est l'expression demandée.

4° Exprimer la proposition conditionnelle : « Si la proposition Y est vraie, la proposition X l'est aussi. » — Il suffit d'exprim.er que le temps pendant lequel la proposition X est vraie est le temps pendant lequel la proposition Y l'est aussi. Cela revient à dire : il y a une partie indéterminée du temps total pendant laquelle la proposition Y est vraie. Maintenant le temps pendant lequel la proposition Y est vraie est ?/, et le temps pen-

dant lequel la proposition X est vraie est x ; soit v le symbole d'un temps indéterminé, vx représentera une partie indéterminée du temps x. Nous avons donc :

\j = vx.

5° Exprimer une proposition à la fois conditionnelle 8t disjonctive.

Il faut distinguer trois cas :

4° Si X ou Y est vrai, Z est vrai.

2o Si X est vrai, Y ou Z est vrai.

30 Si X ou X est vrai, Z et W sont vrais ou faux ensemble.

D'après, les principes posés plus haut, nous avons comme expressions symboliques de ces trois cas :

lo ce (1-y) -[- (1-a;) y = vz^

2^ x=zv\y (i'z) + z (i-y) \,

3° X (Uy) + y (\<c) =tv\ziv-\- (i-z) (1-iu)}.

On voit par ce qui précède que la combinaison des symboles logiques, qu'ils expriment des propositions primaires ou des propositions secondaires, est toujours soumise aux mêmes lois formelles; il n'y a, d'un cas à l'autre, qu'une différence d'interprétation. Ainsi les règles des procédés fondamentaux d'expansion et d'élimination sont les mêmes dans les deux cas.

Mettons la méthode à l'épreuve sur un exemple assez complexe.

On trouve dans le deuxième livre de la République de Platon l'argument suivant en faveur de l'immutabilité divine : « Lorsqu'un être quitte sa forme naturelle, n'est-il pas nécessaire que ce changement vienne de lui ou d'un autre? — Oui. — Mais les choses les mieux constituées sont aussi les moins sujettes au changement de la part des causes étrangères : par exemple, les corps les plus sains et les plus robustes sont les

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moins affectés par la nourriture et le travail. Il en est ainsi clés plantes par rapport aux vents, à l'ardeur du Goleil et aux outrages des saisons. — Gela est certain.

— L'âme n'est-elle pas aussi d'autant moins troublée et altérée par les accidents extérieurs qu'elle est plus courageuse et plus sage? — Oui. — Pour la même raison, les ouvrages de main d'homme, les édifices, les vêtements résistent au temps et à tout ce qui peut les détruire, à proportion qu'ils sont bien travaillés et formés de bons matériaux. — Sans doute. — En général donCj tout ce qui est parfait, qu'il tienne sa perfection de la nature ou de l'art, ou de l'une et de l'autre, est très-peu sujet au changement de la part d'une cause étrangère. — Cela doit être. — Mais Dieu et tout ce qui appartient à sa nature est parfait. — Oui.

— Ainsi donc, à le considérer de ce côté, il n'est nullement susceptible de recevoir plusieurs formes. — Non. — Se changerait-il donc de lui-même ? — Il est évident que, s'il se faisait quelque changement en Dieu, il ne pourrait venir d'ailleurs. — Ce changement serait-il en bien ou en mal? — Ce serait une nécessité qu'il se fît en mal, car nous n'avons garde de dire de Dieu qu'il lui manque aucun degré de beauté et de vertu. — Tu dis bien; cela posé, crois-tu, Adimante, que qui que ce soit, homme ou Dieu, prenne de luimême une forme moins belle que la sienne ? — Gela est impossible. — Il est donc impossible que Dieu veuille se changer, et chacun des dieux, très-beau et très-bon de sa nature, conserve toujours la forme qui lui est propre. »

Dégageons les prémisses de cet argument. Elles sont au nombre de six :

1° Si Dieu souffre quelque changement, il est changé par lui-même ou par un autre être ;

2" Si Dieu est pariait, il n'est pas changé par un autre être ;

3° Dieu est parfait ;

4° Si Dieu est changé par lui-même, il est changé en mal;

5° Si Dieu agit volontairement, il n'est pas changé en nal;

6° Dieu agit volontairement.

Exprimons les éléments de ces prémisses de la façon suivante :

X représentera la proposition : « Dieu souffre quelque changement » ;

^, la proposition « il est changé par lui-

même ù ;

g, la proposition : « Il est changé par un

autre que lui » ;

s, la proposition : « Il est parfait;

t, la proposition: « Il est changé en mal o ;

w, la proposition « il agit volontairement. »

Les prémisses, exprimées en langage symbolique, donnent heu, après élimination des symboles indéterminés t', aux équations suivantes :

xyz + X [\-y) (1-2) = 0, [1]

sz = 0, [2]

y (l-fj = 0, [4] .;

wt = 0, [5]

Éhminons successivement z, s, y^ t et lo, et interprétons les résultats obtenus.

Éhminant z de fl] et de [2], nous avons :

xs (i-y) --= 0. [7]

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Éliminant s de [3] et de [7],

Éliminant y de [4] et de [8],

Éliminant t de [5] et de [9],

xv: = 0. [10]

Éliminant w de [6] et de [10],

Ces équations, à partir de [8], donnent les résultats suivants :

De [8] , nous avons :

Si Dieu souffre quelque changement, il est changé par lui-même.

De [9], nous avons:

Si Dieu souffre quelque changement, il est changé en mal.

De [10], nous avons :

Si Dieu souffre quelque changement, il n'agit pas volontairement.

De [il] :

Dieu ne souffre pas de changement, ce qui est la conclusion de Platon.