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DE KOltGAN 07

tîon d'ensemble qui en serait l'ame et le lien? De Morgan disait, non sans rai3on, que logiciens et matliématiciens ont le ton de s'ignorer mutuellement; il a voulu sans doute élai^ir à la.foia les bases de la logique et celles de la malliémalique, en déierminani quelles anulogies unissent les raisonnements qualitatifs et les ruisonnementâ quantitatifs. Mais son système, hérissé de notations variées que nous n'avons pas reproduites, surchargé de distinctions verbales, divisé et subdivisé h l'infini, ne laisse pjs ii l'esprit l'impression d'unité et do simplicité, marque des œuvres déitnitivea.

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CHAPITBE V

I. Principes généraux. — n. Des symboles logiques et de leurs lois. — HL. Comparaison de l'algèbre logique a'vma l'algèbre des mai hématie lens. — IV. E^ipaitsion âea foDOlions. — V. InlerprétBlion générale des ëquationa logiques. — VI. De rélimiiiation. — VIT. fléduetion d'un système de proposiUion» & one équatioa. — VUl. Des propo«ilion& »econdaiTea ; princifie de tear expression ays^Liqun.

I. Les travaux de Boole ' aarla iogiqoe farioelle n'Oitt pas eu,Hràmeen Angleterre, un retentismcaent égal à ccax d'Hinmlton et de ses disciples immédiats. Pourtsmt, 9 la réforme poursuivie par les logicteas anglim dn xix' siècle doit prévaloir, c'est it Boole que sera due Ï3r noorelle coiistitiitioa de>ta science. Ses devanciers, Hamilton en particulier, ont les défauts des précur-

l. Boole (George), un des mathénmticiens et des logiciena les plus originaux que l'Augletecre ait produits, eit né ï Lincoln, U S! novembre ISIS, et est mort le i décembre 18G4. Toute sa vie a été- consacrée à l'enseignement des mathématiques. Ses ouvrages sont The malAematieal imaiyàs of Lagie, beirtg an etateg towarda a calailus of deductive reasoning, Cambridge, 18*7, et An investigation of the Caws of Thottght on uihich are foimded the mathtmatical tkeoriei of Logic and ProbaUlititt, Londoo, i8S4>

100 LEF LOGICIENS ANGLAIS CONTEUFOBAIKS

seurs incertitude sur la fin à réaliser, tâtonnomenta dans l'invention et le choix des moyens; aussi leur œuvre n'est-elle qu'une série d'ébauches fragmentaires, plusieurs fois reprises sur frais nouveaux, couvent mal joîntcF, parfois même discordantes. Chez DjoIg, au contraire, nulle incertitude sur le but à atteindre, nulle indécision sur la route à suivre pour y parvenir; son œuvre est un vaste système, venu tout d'une pièce et doué d'une paifoite unité organique.

Il csl important d'en nïarquer, sans méprise, le caractère essentiel. C'est une analyse malhémalique de ta logique formelle, un calcul de iiiiférence déductive. Que faut-il entendre par ce bref énoncé ?

On rattache d'ordinaire, pur une filiation directe, les théories de Boole à celles d'Hamilton. La doctrine de la - quantification du prédicat , principe de la nouvelle analytique d'Hamilton, semble, en effet, effacer toute dilTérence formelle entre le raisonnement par syllogisme et le raisonnement mathématique, et conduire ainsi à la constitution d'une logique algébrique. Avant Hamilton, les logiciens avaient maintenu une rigoureuse distinction entre les notions de qualité et les notions de quantité ; les premières sont faites d'éléments hétérogènes, inclus et comme emboîtés les uns dans les autres; les secondes sont composées de parties homogènes réunies et comme juxtaposées les unes aux autres; de là en s'unissant, notions de qualité à notious de qualité, notions de quantité h notions de quantité, elles constituent, les unes des propositions, couples de termes liés par la copule e»t, les autres des équations, couples de termes égaux ou équivalents, liés par la copule égale; en s'enchalnant, les propositions forment des syllogismes et des séries de syllogismes; les équation?, des raisonnements mathémati-

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qucp. La distinction native des notions de qualité et des notions de quantité persiste donc à travers toutes les combinaii^ons et des unes et des autres. Mais si, comme le veut Haniilton, toute proposition est au Tond une équation du »ujet et du prédicat, il n'y a plus lieu de distinguer, au point de vue formel, ceux des raisonnements qui procèdent par inclusion ou exclusion de notions en des propositions successives, de ceux qui vont à la conclusion par substitution de membres égaux ou équivalents en diverses équations. Dès lora, le type primitif et fondamental de l'inCérence déductive serait le raisonnement mathématique, et la logique serait une espèce particulière de l'algèbre.

Est-ce sur celte vue que repose la logique algébrique de Boole? Ce serait singulièrement rapetisser son œuvre que de le croire. Une logique mathématique, établie sur les principes que noas venons d'esquisier, ne serait au fond qu'une notation symbolique de la logique ancienne. De celle-ci, tout serait conservé, principes, procédas et formes principales , on y ajou- . terait quelques formes nouvelles, déterminées par l'application du principe de la quantification , du prédicat aux propositions; mais, au fond, sous un revêtement mathématique, ce serait louj ours l'analytique ancienne; le champ de la logique formelle ne serait pas étendu ; la puissance et la portée de ses procédés ne seraient pas accrues ; le seul gain serait peut-être d'en simplifier l98 énoncés et d'en abroger le traitement.

Doole a voulu, au contraire, élai^ir le champ et accroilre la puissance de la logique déductive. — Dans -l'ancienne analytique, toute inférence est tirée ou d'une proposition unique, — inférences immédiates, — ou de deux propositious, — inférences médiates, syllogiimes. Là s'arrête le procédé déductif. On ne se de-

i02 LES LOGICIENS AHGLAIS CONTEUFOnAIKS

œande pas quelles sont toutes les relations i<%iqtiement possibles enlntous Les termes, â nombreux qu'ito puissent être, d'une pcopœttion doonée; on ne m demande pas davantage quelles condusions résulteiraent d'un sysl^ne de plus de deux prémisses ; le soriie, es effet, ofc entrem aa moins trou prémisse*, est une cbaluede syllogismes, oii la conclusion du premier arguntent devient la majeure du second, et atoai de suite, juniB'à ta conclusion finale.

Mais, qu'est au Eond l'crpération dédtictive? C'est Télimination d'un terme moyen àaxis un système àe trois termes. Boole, guidé par m» iastiDct àe mathé^ maticien, généralise le problèma A le pose de la façon suivante : Étant donné un système d'on nombre qœloonqueâetermes,enélimin«'«)tant de moyens termes qu'on vou^a, et déterminer tontes les relattuis impliquées par les prémisses entre les éléments qn^on désire retenir; eu encore : Etant données certaiora . conditions logiques, déterminer la descrifAion d'one dssse quelconque d'objets sous ces conditiom.

Là est ta conception originale, l'idée nouvelle qui, » elle est vraie, doit changer la ia.ee de la logique. On comprend en effet que, si te prcfclème ainsi posé en termes généraux est résoluble, t& syllogisme des aniciens, avec ses annexes, qt» a été jusqu'ici toute la logique, n'en est, en fin de compte, qu'on cas partàcoilier, de m^e que l'élimina^on d'im: symbole de quBivtité entre deux équations données ir'est, en' algèbre, qu'un cas participer de la théorie générale de l'élimination. On a comparé, dansées derniers temps, l'oeuvFQ de Boole, en logique, à celle de' Ëescartes, en géomdtrie. La comparaison ne- manque pas d'exactitude', comme noas le verrons' plus Ma", mais s'il' a été conduit & appliquer l'algèbre -ii la Sïgiqne, de même (jiB

BooLE loa

Descartes l'avait appliquée à la géométrie, c'«9t qu'il a tranaformé, en ie généralisant, le problème de Vinférence déductive, par une vue d'ensemble comparablA à celle du maDiématicien qui, le premier, conçut la pensée d'une théorie générale pour la solution des équations.

On conçoit aisément que pour résoudre le problème général de la logique, dans les termes où Boole l'a posé, il serait cbimérique d'attendre aucun secours de L'analytique péripatéticienne; celle^i demeure confinés dans ses cadres étroits. Oa ne saurait davantage réaliser, en des exemples concrets, tous les cas comporté» par le problème. Il faut donc employer, it en poursuivre la solution, un procédé ana](^ue à eelui des matbématiciena, et faire de la logique générale un calcuL

A:vant d'aller plus loin, éclaircissona cette idée. Teùter la logique par le calcul, ca n'est pas, comme on pourrait te croire^ api^uer {uiremcot et simplement à la syliogistique les procédés de l'algèbre, et rendre uasi la logique Iribut^re de la mathématique. Si par mathématique oa entend, avec L'opinion la plus, répandue, la science des quantités et des grandeurs, il est incoBteatable que, même traitées algèbriquemeat, les notiens de qualité doivent conserver leur essence eti oe pas se transfoemer eu notioas de quantité. Maia ai lea signes O. les symboles employés en algèbre sont les signes et les symbtries de notions quantitatives et de rapports quantitatiEs, cela tient-41 à la nature des {^ératioQS qu'ils désignent, ou aux substratums aux^quels ces opérations s'appliqueat? C'est un fait, ou, si l'on aime mieux, ua principe aujourd'hui reconnu des mathématiciens, que la validité de l'analyse algébrique dépend non de l'interprétation des symboles e.nployés, niais uniquement des lois de leur combinaison. Étant

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donnée une Eormule analytique, touL sysLèine d'interprélation qui n'alFecle pas la vérité des relations supposées est également admissible, et cette formule peut représenter, avec une interprétation, la solution d'une question relative aux propriétés des nombres, avec une autre, celle d'un problème géométrique, avec une troisième, celle d'une question de dynamique ou d'optique '. Négligeons toutes ces interprètaliouâ possibles, et il reste uu système d'opérationsdouées de propriétés spéciales. L'analyste traite ses formules en tenant seulement compte des opérations qui y sont engagées, sans se préoccuper des interprétalioiis variées dont elles sont susceptibles. La mathématique' abstraite et générale n'a donc pas pour objet, comme on l'a répété tant de lois, des notions de quantité, numériques, géométriques ou mécaniques, mais des opérations considérées en elles-mêmes, indépendamment des matières diverses auxquelles elles peuvent être appliquées.

Soit, par exemple, l'addition; c'est une opération qui, en fait, se présente sous des formes variées. Ainsi, l'addition des nombres consiste dan» la réunion des groupes d'unités; l'addition des longueurs, des angles, des surfaces, etc., dans la juxtaposition de ces grandeurs; l'addition des forces, dans l'application de ces forces à un même point, suivant une même directioti. Voilà trois opérations désignées par le même nom et dont le but et les moyens d'exécution diffèrent; aucune d'elles ne peut être prise comme type des autres ; l'addition proprement dite ne peut être définie ni par l'une ni par l'autre. Mais ces opérations, si difTércn tes qu'elles soient entre elles, présentent, quand on les détache des matières spéciales avec lesquelles elles font corpî^,