J. tlonel , Théorie ilémenlaire dt» quantités complexes

106 LES LOGICIENS Anfi&AÎS CONTEMPOBAIKS

leur 601106X10». Il De faut âonc pas prendre les cadlres du calcul quantitatif et prétendre y faire entrer, fMce de vive force , les arguments logiques. Procéder ainsi, ce serait préjuger à ptioH la question de savoir si les propriétés du calcul proprement dit sont identiques à celles du calcul logique. Peut-être ces deus formes de l'algèbre n'ont-eUes en commun que certaines propriétés génériques, avec des propriétés spéciales propres S cFiscnne d'elles. Il faut donc analyser les opérations de l'esprit engagées dans la constitution des notions générales, des proposifîons, et des raisonnements dédiictifs , Tes exprimer en langage symbo" lique, et déduire les propriétés de ces symboles des (ois de îeoT combinaison.

H. Boole adopte trois espèces de signes : des sym- Isoles numériques et littéraux, 1 et 0, a;, y, z, etc., pour représenter les clioses en tant que si^ets de nos conceptions; des signes d^bpénitîons, -|-, — , X, poor représenter îes opérations de l'esprit par lesquelles te conceptions des choses sont combinées de manière & former âe noureltes conceptions enveloppant les mêmes éléments; enfin le signe defidentité, :=.

Les signes 1 et ont dans le système mie fonction nettement défîniç r 1 signifie ftmf , signifie rien. 1, c'est la classe qui comprend tous les éf res possibles ; 0, c'est, si l'on peat afnst parter, la classe qui comprend tout ce qui n'existe pas. Soit maintenant h former mie certaine classe comprenant tons les individus qui possèdent un certain caractère commun, jr ; c'est, en dernière analyse, extraire de la totalité des êtres tous ceux qui possèdent le caractère donné ; on l'exprimera symbâlii^uement

ix,

BOOliE fW

et„ oomme toi^ classe ainsi fonmâe œt, es fait, une certaine province définie de la totalité des cboses, oB peut souB-£9ri£adf,e, dans l'expression qui la désigne, te symÏK^ de la totalité, et l'exprimer eimplement par X. De inéme, use autre classe sera -désignée par y, une troisièfse par z, et ainsi de suite.

Sait QiavDteDant à former une notion cranplexa, telle t|ue« moutons blanfie cornus >. — C'est cboiair dans la totale des étree tous Jea moiAons, paie, dans la totalité des saoatons, tons ceux qeà lîont bluioa, et enfin, dans la totalité des moutons blancâ, tous ceux qui sont cornus. Si le résattat de la première opération est la constitution de la classe ix ou x, celui de la seconde sera œy.; icelui de la troûùàme, xyz. xj/z désigne ainsi la classe allI^)^fillaat tous les individus ifai possèdent simaltafiéioeatlesattribula de la classer, de la classe ^ et de la classe z.

Cenaidérons catte Horoiule et les opérations meutaJas qu'elle désigne, et oous râcanndtrans de suite que l'iinlre des symbole y B6t indifEéiienL Ea e£Eet, que l'on forme d'abord la classe des moutons, pour ea extraire ensuite tous le^ moutons blancs et, de cette nouvelle classe , tous les moutons cornus ; que Von forme d'abord la classe des êtres blancs, pour en extraire ensuite les moutons cornus, ou ^iub T on Ibrme dtabord la tolasse des êtres cornus, fiour en eslrairo les rnootonfi ïflancs, le réstâtat de cette triple opération sera toujoui» le jn&me.

lies symboles logitia» ont dcmc oe que les 'Biii)i&m&ticiens appellent la propriété conuatitaUre, que no js expriRtamiB par la iEffinialfi «lùKante :

SB9=yx. {Ij

1, On serait peut-être teiité de se mépreodra ««r le «en des

lOS LES LOGICIENS ANGLAIS C0NTEUF0BAIN9

Supposons maintenant que x ety aient exactement' la même sii;ni(icaiion; leur combinaison n'exprimera rien de plus que ce qu'esprime l'un des symboles pris à part. Si, par exeinple , d'un groupe d'êtres nous extrayons tous les X, et que nous répétions la même opération sur la classe ainsi obtenue, nous obtiendrons encore la même classe, sans profit ni perte; dire c homme, homme >, < bon, bon », c'est la même chose que de dire a homme », « bon >. Ds là, ceâ formules qui jouent dans le système un rôle capital :

ou X* = X, [i]

Outre les opérations ci-dessus décrites, il. en est par ' lesquelles nous réunissons en un tout des parties différentcs, et divisons un tout enparties. Ainsi nous disons : • Les Anglais et les Français, » a les Francuis ou les Anglais, » < les Européens, à l'exception des Anglais, » etc. Ce sont là deux opérations inverses. La première sera marquée par le signe -|-, la seconde par la signe — :

symboles logiques x;/, xijz, etc., car il est maloisè de s'élever au degré d'absiractîon nécessaire ù l'intelligence du système de Boole. Dans l'algèbre des matliéuiatjciens, xy signifie que x est mulLplié pur \/. Il serait absurde d'interpréter eu ce sens l'expression logique xy. Mais, nous l'avons vu, les propriétés des formules analytiques ne dépeudeut pas de l'interprétation qu'elles peuveot recevoir, mais uniquement des lois de la combinaison des symboles qu'elles coolienneat. Aussi, bien que la multiplication algébrique dont xy = yx cet la loi fODdamcnlald n'ait en elle-même aucune analogie avec le procédé de combinaison logique représeiUé par xy, BooU a été eu droit du dire <|ue, si les procédés arilliin^-tique et logique sont exprimés de ta ttièiae manière, leurs expressions symboliques sont soumises à la même loi lormoUei

;yGOOglC

BOOLB 109

H est aisé de voir que, dans la formule x-\- >j, l'ordro de distribution des symboles réunis par le signe -{- 03t indifférent. Puisque x-\- y désigne une 'otilité composée de tous les individus contenus duns la classe x et dans la classe y, peu importe que noua écrivions a: -f- y ou y + ^; ^^^^ '6^ *l6ux cas, le résultat est le même. Les symboles logiques sont donc doués de la propriété dUlribiuive :

x-\-ij = y -i-x, [:ï]

ou encore :

z{x + y) = zx + 2y; [i]

ce qui est attaché à tous les membres d'un tout l'est h chaque membre en particulier, de quelque manière que ces membres soient dislribués — Cette propriété dérive assurément de la nature même de l'opération symbolisée. Étant donné un groupe d'objets, considétti comme un tout, il est indifTérenl d'en extraire la classe z, par exemple, ou de diviser le groupe en deux parties, d'extraire de chacun d'eux tous les z et de réunir ces résultats en un même agrégat.

Revenons aus symboles et 1. Si signifie rien, et 1 tout, il est évident que la loi formelle de l'algèbre :

0^ = 0, quelle que soit la valeur ou le sent de y, est vraie en logique. Oy est la classe qui contient les indi\ i 1 i^ communs à la classe et & la classe y ; il ne peut iii exister. De même, ainsi que noua l'avons déjà remarqué,

ly = y, quel que aoit y, est vrai en logique comme en algèbre.

Allons plus loin. Si x représente une classe déterminée d'objets et 1 la totalité des êtres, il est évident (.lAan. 7

110 LES lOâtClGHS ANGLAIS CONTEMPORAINS

que i-x représentera la (daase supplémeataire de x, c'est-à-dire la somme des êtres qu'il faut ajouter à x pour avoir 1. Par conséquent, 1-s agnifiera le contraire de X, c'est-à-dire non-x. Si, par exemple, x signifie homme, i-x signifiera non homme.

Maintenant il est aisé de v(Hr que l'asiome appelé par les logiciens principe de eontradiciton, et con»déré par eux comme une loi primitive et irréductible de la pensée, est une conséquence de cette loi antérieure, dont l'expression est :

En efiët, à l'équation

BubsUtuona l'équation équivalente

d'où X (1-jc) = 0.

TraduiflOBS : le produit formel x (1-x) représente la classe d'individos qui sont à la fois x et i-x, c'est-à-dire nmi~x-y ce produit est égal à 0; en d'autres termes, il n'y a pas d'individus qui soient & la fois x et \-x, c'esti-dire x et non-x.

Passons à l'expression symbolique des proportions.

Toutes les propositions logiques sont ou primaires ou secondaires. Les premières expriment des relations entre des choses; le» secondes, des relations entre des propositions. Occupons-noos d'abord des propositions primaires.

En premier- lien, i) font établir une méthocte générale pour énumérer toutes les variétés possibles d'une collection de choses pouvant constituer un terme d'une propositifHi primaire.

% la classe est déftnie par des qualités communes à touB les individus qui la caasUtuent, on l'exprimen

BOOtE 111

par un terme simple, dans lequel les symboles aerout juxtaposés comme dans la multiplication algébrique. — Si elle est, au contraire, une collection de choses dîstinctéB, définies chacune par une propnèté spéciale, les expressions de ces parties seront formées séparément et unies par le signe -f-; si la collection est définie par l'exclusion de cwtaines parties, les parties exclues seront précédées du signe — .

Dans les propositions disjonctivea, c les choses qtû sont X ou 1/ *, on aura deux symboles, équivalents des choses qui sont x et non-y et des choses qui sont y et

Si X et 1/ peuvent coexister, on aura

expression de tontes les alternatives possibles dans le cas donné.

Ainsi l'expression totale de la triple alternative ou x, ou y on z est

quand les classes désignées par a:, {/ et z sont mutuellement exclusives, et

xyz + x[\-y)[i-z)+y(i x) (l-y) qnand elles ne sont pas excNisives.

Ceiapoaé, comment exprimer les propositions primaires?

Distiiignona différents cas :

1° Le sujet et le prédicat sont tons les deux universels.

Dans ce cas, il fant tormev séparément l'expression ed cbacbn d'eux et les unir par le signe ^,

112 LES LOQICIESS ANGLAIS CONTEMFORAINS

2* Le prédicat est particulier. Ex. : Tous les hommes Bont mortels (quelques mortels).

Un symbole spécial de la particularité est ici nécessaire. Soit V le symbole d'une classe indéterminée en toui, si ce n'est en ce que quelques-uns de ses membres sont X ; nous aurons :

y = vx.

La règle d'expression de ces propositions sera donc d'exprimer le sujet et le prédicat comme précédemment, d'attacher au prédicat le symbole indéterminé v, et de mettre les deus expressions en équation.

De même, si la proposition est disjonciive, on aura '• x=v]y{l-z) + z{\-y)l

3° Négatives universelles : Aucun y n'est x. — Convertir la proposition dans la forme équivalente : Tout X est quelque non-y, et procéder comme précédemment i d'oti :

« = tj(l-v).

4° Négatives particulières : Quelques y ne sont pas