X. Convertir la proposition en cette torrae équivalente

Quelques y sont quelques non-x, et procéder d'après

les règles d'espre^sion ci-dessus énoncées :

vy=v(\'X).

En un mot, si la proposition est affirniative, exprimer le sujet et le prédicat séparément et les mettre en équation ; si l'un des deux termes est particulier, y at- ' tacher le symbole indéterminé u; si la proposition est négative, en exprimer la vraie signification, et pour cela attacher la négation au prédicat.

III. Le dessein de Boole apparaît maintenant avec une netteté parfaite. Boole n'a pas voulu appliquer la

BOOLE 113

Bcience des nombres à la logique. Il eût fallu, pour cela, supposer qu'en celte nouvelle application les lois qui la gouvernent resteraient les mêmes, ce qui eût été une pure hypothèse qu'à priori rien n'autorisait; mais il s'est proposé de constituer une lo);ique algébrique, et, pour y parvenir, il a déterminé les lois des symboles logiques par l'analyse des opérations qu'iU représentent , indépendamment des lois qui régissent les symboles numériques. La communauté des symboles dans la science logique et dans la science des quantités n'implique en aucune manière Videntilé ou la communauté des objets de ces sciences ; l'une porte sur les notions que nous nous faisions des choses; l'autre, sur leurs relations numériques. Mais, comme les lois et les propriétés des symboles ne dérivent pas directement de l'interprétation qu'ils reçoivent, il est licite et même avantageux d'employer les mômes symboles en des systèmes diiFérents de pensée, s'ils sont soumis à des lois formelles communes.

Ce n'est donc pas à priori mais à posteriori que l'on peut découvrir une correspondance entre les symboles de l'algèbre ordinaire et ceux de l'algèbre logique. — Les uns et les autres sont commutatifs et distributifs. De là vient qu'on peut, en logique, additionner et soustraire les équations, en transposer les termes, comme dans l'algèbre des mathématiciens; de là vient aussi que si deux cbsses de choses x et ij sont identiques, c'est-à-dire si tous les membres de l'une sont membres de l'autre, de

on peut, quelle que soit la propriété représentée par z, conclure :

o;,GoogIc

Hi LES L0Q1C[EMS ANGLAIS CONTEMPORAINS

équivalent formel de la loi algébrique eu vertu de laquelle les deux membres d'une équation demeurent égaux, quand ils sont multipliés chacun par une même quantité.

Mais la contparaison de ces deux systèmes symboliques nous montre aussi qu'entre eux la correspondance n'est pas complète, ou, 8i l'on aime mieux, que chacun d'eux a des propriétés spécifiques distinctes.

Ainsi, en algèbre, de xy = zy; on conclut x = y.

En logique, nous ne rencontrons pas d'équivalent formel de cette loi. Si les membres d'une classe x qui possèdent une certaine propriété z sont identiques avec ceux d'une classe y qui possèdent la même propriété s, il ne suit pas de Ut que tous tes membres de la classe X soient identiques avec ceux de la classe y. En d'autres ternies, on ne peut àe zx = zy conclure en logique x = y.

Il y a plus : nous avons tu que tous les symboles logiques sont soumis sans exception à la loi primitive et irréductible de dualité :

Cette loi est propre à la logique et n'a pas d'application générale en algèbre. Deux symboles numénques eeulement, 1 et 0, y satisfont :

0*==0, 4* = 1. En algèbre, l'équation x' = ï n'a d'aulres racines que Oeil.

Par conséquent, il n'y a pas coïncidence totale de 'algèbre logique et de l'algèbre numérique. Pour l'élablir, il faudrait faire violence i. l'algèbre ordinaire et ïuppO:ier que tes symboles de quantité admettent

BDDIS 115

sealememt les valears et 1. Dans ce cas, les deox Eystèmes auraient mêmes lois, mêmes axiomes ei lôémes procédés ' ; ils ne différeraient que par l'interpréCaUon.

IV. Nous connaissons les lois fondamentales des opérations de l'esprit ; nous tes avons exprimées en symboles. Maintenant, comment doit procéder le calcul logique?

On remarquera d'abord que les symboles logiques sont soumis k certaines conditions d'interprétabilité. Ainsi X -\-y signifie que x et y, bien que réunis par le signe de l'addition, sont exclusifs l'un de l'autre, c'està-diie qu'aucun individu appartenant & la classe x ne se trouve en mâme temps dans la classe y. Il est in> contestable que si, dans ce traitement des symboles logiques, on tient compte de ces conditions spéciales fTinterprëtabilité, il est impoasilile d'instituer un calcul logique. Mais, d'autre part, » on les néglige, pour ne tenir compte que des lois formelles impliquées dans la combinaison deî symboles, on aboutira h des résultats dépourvus de toute signification; Or, rien n'est plus contraire à nos habitudes d'esprit ; dans le raisonnement par syllogisme, & chaque pas en avant, nous rencontrons une proposition intelligible . — Mais les conditions du raisonnement symbolique ne sont pas celles du raisonnement non symbolique. Les géomètres emploient souvent, pour parvenir & des résultats intelligibles , des symboles, tels que V— I , qui, par euxmêmes, ne sont pas susceptibles d interprétation. Dans

1. Cetta remarque est de la plus haute imp<»rtance pour 'intelligence du aystème de Boole. Comme nona le verrons bientât, elle eet la def de soa calcul la^ue.

o;,GoogIc

ce genre de raisonnement, il faut et it suffit qu'une interprétation âxs soit assignée aux symboles employés dans l'expression des donnée, et que le résultat Snal puisse recevoir une interprétation conCormo à celle des données. Alors, pourvu que la démonsLration procède suivant tes lois de la combinaison des symboles, peu importe que les intermédiaires qui séparent lesdonnées de la conclusion ne puissent pas recevoir d'interprétation.

Il faut donc, suivant ces principes, pour instituer le calcul logique, faire abstraction du sens donné aux symboles dans les équations proposées. — Maïs ce n'est pas assez. On a vu que tout système de propositions peut être exprimé par des équations contenant les symboles x, y, z, qui sont soumis à des lois formelles identiques k celles d'un système de symboles quantitatifs, susceptibles seulement des valeurs et 1. Aussi, comme les procédés formels du raisonnement dépendent seulement des lois des symboles, et non de la nature de leur interprétation, est-il permis de traiter les symboles logiques comme s'ils étaient des symboles de quantité de l'espèce ci-dessus définie. De h celte règle capitale dans la doctrine de Boole: a Négliger l'itia terprétalion logique des symboles dans l'équation dona née; les convertir en symboles quantitatifs, suscep- € tibles seulement des valeurs et 1 ; les soumettre, en u cet état, à tous les procédés requis de solution, et à a la Qn leur rendre leur interprétation logique. •

Ces conventions posées et ces règles établies, toute expression algébrique contenant un symbole x est ap- I clée fonction de x, f [x] ; toute expression algébrique contenant deux symboles x et y est appelée fonction de X et de y, f {x, y], et ainsi de suite. Ainsi / {x) représentera l'une quelconque des fonctions suivantes :

BOOLE 117

X, 1-.Y. -,"t-ï, etc.,

et f [x, y) reppésentera de même l'une quelconque des funties :

x + y,x-2y,=^-+J',etc.

D'après les mêmes principes, si dans une fonction de cp nous chan^^eons X en 1, le résultat sera exprimé par la fonne f (1) ; si, dans la même tonclion, nous changeons x enO, lô résullat t^eraexprimé par la forme /\0).

Par exemple, si f (x) représente la fonction r^-;>v>

f{\) rcpré.-eiitera 2]o.et f(0) représentera ^^

Définition. — Toute fonction f {x) dans laquelle* est un symbole logique, ou un symbole de quantité susceptible seulement des valeurs et 1 , est dite être développée quand elle est ramenée à la forme &x -\^ b (1 — x), a 6t 6 étant déterminés de façon à rendre le résultat équivalent & la fonction d'où celte forme a été dérivée.

Phoposition I. — Développer toute fonction /{x) où X est un symbole logique.

Soit f{x) = ax-{-bH-x).

Pour x=\, nous avons : f (I) = a.

Pour X = U, nou-i avons : f (0/ = b.

Substituant à a et à b, dans la première équalton, leurs valeurs, nous avons ;

f[x)=f{l]x + f[0,{l-x). [1] C'est le développement demandé; le second inembro de l'équation représente adéquatement la fonction f (x), quelle qu'en soit la forme; car x admet seulement l.s

o;,GoogIc

valeui's et 1, et pour chacune de ces valeurs le développement

f(i)x + f{0)il.x), prend la même valeur que la fonction f (x). Par exemple , on demande de développer la fonction

j-^J^. Pour x=!l, nous trouvons : /(l)=g; pour X = 0, nous trouvons : HO) = j »« 1- D'oO :