f Sx

Proposition II. — Développer une fonction contenant un nombre quelconque de symboles logiques.

Soit d'abord le cas de deux symboles, f(x, y).

Considérant / (x, y) comme une fonction de x seulement, et le développant d'après le théorème généra précédent, nous avons :

nx,y]=f{i,y)x + r{0,y){l-x), [2] où /* (1, y) et f (0, y) représentent ce que la fonction proposée devient quand, au lieu de x, nous écrivons letO.

Maintenant, prenant le coefficient f (1, y) et le considéiunt comme une fonction de y, et le développant, nous avons :

f{Uy)=ni.i)y+fl\,0}(,l-y), [3] oiif(i, 1) etf{i, 0) représentent ce que/ (1, y) devient, quand on y fait y égal à 1 et à 0.

De même, le coefficient /■|0, y) donne, par expansion :

f{0,y)=no,i)y+no,0)[i-y.) [4] Substituons dans [2] à f (i, y], f (0, y) \eurs valeui'a données en [3] et on [4], et nous avons :

^iGooqIc

fiOOLE 119

f (», ») = /■(!. f) « S + f{i, 0) X [l-y] + r{0, 1) (!-») V + no, 0) (!-») (1-!/). [5]

C'est là l'expansion demandée. ^(1,1) représente ce que /(x, y) devient quand on Eait x = 1,;; =1; ^(1, 0),ce que f(x, y] devient quand on fait x = 1 et y = G, et ainsi de suite.

Si, par exemple, f (x, y) représente la fonction

. , nous trouvons :

/■(l.»)--5.f(<,0)=°=0,r{0,l) = ^,/'(0,0) = lj

d'où l'expansion de la fonction donnée est

. ^xy-\-Ox{i-y) + l Cl-ï)y+{1-:c)(l-y).

On peut de Ik tirer une règle générale pour L'expansion de toute fonction des symboles x, y, z.

1° Former les constituants *, de la manière suivante : le premier constituant est le produit des symboles; pour former le second, changer dans ce produit un symbole z en 1-t; pour former le troisième et le quatrième, changer dans le premier et dans le second un symbole y en l-y ; pour former Le cinquième, le sixième, le septième et le buitième, changer dans les quatre premiers un autre symbole x en 1-x, et ainsi de suite jusqu'à ce que le nombre des changements possibles soit épuisé.

2« Trouver le coefâcient d'un constituant quelconque. — Si ce constituant contient x comme facteur, changer dans la fonction originale x en 1 ; s'il contient le facteur i-x, changer dans la fonction originale

I. Boole appelle constituant d'une expansion tont terme tel que xy, x[i-i/), etc. , et coeffUierit tout terme tel qoe f (1,11, f (1,0), etc.

œ en 0. Appliquer la mè i e règle par rapport aux autres symboles y, z, etc. Ainsi le coefficient du constituant (l-a:)(l-y)z sera /'(O, 0, 1).

La somme des constituants, multipliés chacun par «on coefficient respectif, sera l'expansion demandée.

On remarquera que, dans une expansion donnée, un constituant quelconque, t, satisfait à la loi de dualité, ( (1-1) = 0; que le produit de deux constituants di-tincis = 0, et que la somme de tous les constituants = 1.

V. Il s'agit maintenant d'interpréter ces formules. Comme toute expansion d'une fonction contient deux espèces d'éléments, constituants et coefâcients, la question doit être divisée. Il faut rechercher d'abord l'interprétation des constituants, puis se demander en quelle sorte lt;s coefûcieuts qui y sont attachés ea luodillent l'interprétation.

En premier lieu, les constituants d'une fonction des symboles logiques x, y, etc., développée, sont interprétables et représentent toutes les divisions exclusives de la totalité du discours, formées par l'aflirmation et la négation des qualités dénotées par les symboles X et y, etc.

Pour plus de clarté, supposons que la fonction dévo- .loppée contienne seulement les symboles x et y. Nous avons les quatre constituants

«tf.œC'-!/). (l-a^)y, (l-3!)(l-!/l- Le premier, xy, représente la classe d'objets qui possèdent en même temps les qualités exprimées par x et l'ar y; le second, x (l-y), ceux qui possèdent la pro- )iriété X, mais qui ne possèdent pas la propriété y ; le troisième, (1*3^) y, ceux qui sont y, mais qui ne sont

BOOLE 121

pas x; enfin le quatrième, ceux qui ne sont ni x ni y. Ces constituants représentent donc toutes les classes dislincies que Ton peut décrire en affirmant et en niant les propriétéâ exprimées par a; et par y. Ces classes, comme il est aisé de le voir, épuisent la totalité des choses, car il n'est pas d'objet qui ne puisse être défini parla présence ou l'absence d'une qualité proposée; par suite, il n'estpasdechoseindividuelle qui ne puisse être placée dans l'une des quatre classes déterminées par toutes les combinaisons possibles des deux classes données x et y, et de leurs contraires.

C'est Bur les lois des constituants et le mode de leur interprétation que reposent l'analyse et l'interprétation des équations logiques.

Soit l'équation logique V = 0, développée de la manière suivante :

axy + bx (1-y) +e{i-x)y + d (i-x) (1-y) = 0. [I] a, b, c, d étant des coelficients constants numériquement définis.

Supposons maintenant qu'un coefficient quelconque, o par exemple, n'est pas nul. Multipliant chaque membre de L'équation par le constituant xy, auquel ce coefficient est attaché, nous avons :

axy = 0, d'où, comme a n'est pas nul,

xy=0, résultat indépendant de la nature des autres coefficients de l'expansion et qui, logiquement interprété, signifie : Il n'y a pas d individus appartenant & la fais à la classe représentée par x et à la classe représentée par y.

De la même t'econ, si le coefficient b n'est pas nul^ noua avons

o;,GoogIc

ce qui signifie : Il n'y a pas d'individus qui en même temps appartiennent à la classe x et D'appartiennent pas à la classe y.

La somme des interprétations distinctes ainsi cbtenues pour diaque terme d'une expansion dont les coefficients ne ^ont pas nuis, constituera l'intwprétation complète de l'équation V =" 0; d'où cette règle d'analyse : développer la Eonctioa V et égaler 1 tout constituant dont le coefOcàent n'est pas nnl. Les interprétations de ces résultats, prises ensemble, comdituent l'interprétation de l'équation donnée.

Soit maintenant l'équation V:=l] supplémentaira de ta forme V = 0.

Il est évident que tous les constituants qui figurent dans son développement représentent des classes dont la somme constitue la totalité des êtres ; si, par exemple, nous avons

cette expression signifie que par rapport aux propriétés dénotées par x, y, z, la totalité des êtres est divisée en quatre classes, la première contenant tous les êtres qui sont à la fois X, y, 2^ la deuxième, tous ceux qui sont y, mais qui ne sont ni x ni z; la troisième, tous ceux qui sont E, mais qui ne sont ni x, ni i/ ; enfin la quatrième, tous ceux qui ne sont ni x, ni y, ni z, et qu'un ôtra quelconque appartientà l'une de ces quatre classes.

Considérons maintenant la cas où la fonction ea\ égalée & un symbole logique quelconque, w, V = to.

Ce cas n'est pas arbitraire, mais répond ii un problème de la plus grande généralité en logiqne : Ëtant donnée une équation logique unissant les symboles x, y, z et w, on demande d'exprimer, d'une fagon qui puisse être interprétée, la relation de la classe repré-

BODLC 133

sentée par w auK classes représentées par les aatre» symboles x, y, z, etc.

En fait, si nous développons l'équatioa donaêe, quelle qu'en soit la forme |»r rapport h w , nous obtenons vme équation de la forme

Eœ + E'(l-ro) = 0, [1]

EE' étant fonctions des autres symboles.

Nous avons donc

E' = (E'-E) w, d-oû «'=ÈCE- P]

Développant le second membre, il restera à interpréter logiquement le résultat d'après la proposition qui va suivre.

Si l'on demande la relation de la classe 1 — u> aux autres classes x, y, t, etc., nous déduisons de [1], comme ci-dessus,

équation à l'interprétation de laquelle s'applique aussi la méthode contenue dans la proposition III.

Proposition III. — Déterminer l'mterprétation de toute équation logique de la forme lo = V, dans laquelle U) est le symbole d'une classe et V une fonction d'autres classes, complètement indéterminée dans sa forme .

Supposons que le second membre de l'équation wi = V soit complètement développé. Chacun de ses coefficients sera de l'une des quatre espèces suivantes :

1° Le coefûcienl est 1. — Comme 1 est le symbole de la totalité, et que le produit de deux symboles quelconques de classes représente les individus qui appartiennent aux deux classes, tout constituant qui aura

^.Coo^lc

l'unité pour coerficient devra être interprété sans limitation.

2" Le coctilcient est 0. — Comme en logique, de même qu'en arithmétique, représente rien, aucune partie de la dusse repri^senlée par le constiluant auquel est attaché comme coefiicient ne devra éire prise.

3° Le coefQcient est de la forme j7. — En arithmétique, ^représente un nombre indéfini. Dâ même, par analogie, ce symbole représentera, en logique, une classe indcflnie.

Prenons, par exempte, la proposition ; a Des hommes non-mortels n'existent pas; s représentons-la symboliquement, et cherchons, conformément aux lois cidessus énoncées, une définitinn des c êtres mortels b par rapport à « hommes *. Soit y < hommes >, x 4 êtres mortels d, la proposition donnée sera en langage symbolique :

de laquelle nous devons tirer lu valeur de x.

Di y (l a!) = 0,

nous UroDs y->jx =

ou yx=y,

doù a; = ^.

Développant le second membre, il vient :

Ce qui signifie : Les mortt^b (x) sont consUtuëa par tous les hommes (y) plus des êtres qui ne sont \a%

hommes, (l-y) précédé du coctilcient tj. Mais nous

D...,n;™;yG00gIc

BOOLE 125

ignorons m ce reste comprend fous les êtres qui ne sont pas hommes, ou s'il n'en comprend que quelques-uns. g est donc bien )e symbole d'une classe indélerminëe.

4* Il peut se faire enfin qje le coefficient d'un constituant ne rentre dans aucun des trois cas précédents. On ne peut alors l'interpréter sans le théorème suivant.

Théorème. — Si une fonction V, dont le but est de représenter une classe ou une collection d'objets w, est développi^e, et si le coefficient numérique a de l'un quelconque de ses constituants ne satisfait pas à la loi a (1-a) = 0, te consiiluant en question doit être égalé i 0.

Telles sont les règles générales de l'interprétation, et pour ce qui concerne les constituanu, et pour ce qui concerne les coeflicients. Illustrons-les à l'aide d'un exemple concret.

On donne la définition suivante : ■ Les êtres responsables sont loiis les êtres raisonnables qui font libres d'agir ou qui ont volontairement sacriâé leur liberté. »

On demande, par exemple, d'inférer de cetie prémiise le rapport qui unit la rationalité à la re^ponâabilitë, la liberté d'action, le sacrifice volontaire de la libei té et leurs contraires.

Soit X les êtres responsables, y les êtres raisonnables, 2 les êtres libres d'agir.

w les êtres qui ont volontairement sacrifié leur liberté d'action.

Les deux alternatives a êtres raisonnables libres d'a- Eir > et • êtres raisonnables ayant sacrifié leur liberté * gont inutuelleit ent esclusives. L'expression syitibolique de la prên.isâc sera dune :

..gnzM^yGoOglc

126 LES LOGICIENS ANI»AtS CONTEMPORAINS

x = yt + yw. {1}

De [1] nous avons y = - . ;

développant le second membre et rejetant les termes dont les coefficients sont 0, il vient

y= \ xzw + xz (1-w) + X (l-î)w + J X <i-z) (1-w)

d'où, en égalant à les termes dont les coefficients

sont ^ et jr, nous ave»» :

y = xj(l-w) + xw(l-ï)+t'(l-xM*-2)(l-w); [^

xzw=0 [3]

IntergirélonB, et nous obtenons les (rois «oncluslona suivantes ;

1" Les ëlres raisonnables sont tous les êtres responsables qui sont libres d'agir et n'ont pas sacriûé volontairement leur liberté, ou qui, ayant volonturement sacriûé leur liberté, ne sont pas libres d'agir, plus une classe indéterminée d'êtres qui ne sont pas libres d'agir et qui n'ont pas samflé leur liberté. [2]

2° Il n'y a pas d'êtres qui en même temps soient responsables, libres d'agir, et aient sacrifié volontairement leur liberté d'action. [3]

3" 11 n'y a pas d'êtres qui en même temps soient responsables, ne soient pas libres et n'aient pas sacrifié leur liberté d'action. [4j

On peut aller plus loin et de [3] conclure :

OU xw=«(l-2); [51

et de [4] :

ou x{i-w) = vz; [6]

ce qui signifie : Les êtres responsables qui ont volontairement sacrifié leur liberté sont quelques non- "ibres. [ô]

Les êtres responsables qui n'ont pas volontairemeat sacrlHé leur liberté sont quelques êtres libres. [6]

En prenant pour prémisse la même déSnition dea êtres responsables, on peut demander une description des êtres irralionneU.

Nous avons alors

= âxzw-+-0xz{i--w)-i-0x (i-z) W4- Q x(i-z)ii-v

+ {i-x) zw + {i-x)z{i-w) 4- (i-x) {i-z) w-t-^(I-x) [i-z) (i-w},

d'où, en supprimant les termes qui ont pour coefflcient 0, et en égalant à ceux qui ont [Our coefficient

n ou jî, nous avons :

(l-x) zw + {i-x)z(i-w) + (i-x) (1-2) w -\-v(i-x) (i-z)

(l-w)={t-X)2 + (l-X)(l-!)W + tj(l-x)(l-î)(l-W).

La solution directe est donc : Les êtres irrationnels comprennent tous les êtres irresponsables qui sont libres d'agir ou qui, ayant perdu volontairement leur liberté, ne sont pas libres d'agir, plus une classe indéterminée délies qui ne sont ni responsables ni libres

d'agir et qui n'ont pas perdu volontairement leur liberté.

On aurait pu de mâme demander la définition de s et de non-z, de w et de non-w, par rapport aux uutres termes de la délinilion posée comme prëiriisse, et les obtenir par le nième procédé. Il suflit de cet exemple pour faire voir la fécondité du calcul logique dans l'inférence immédiate.

VI. Dans les inférences considérées jusqu'ici, tous les éléments de la prémisse reparaissent dans la conclusion; il n'y a de changé, de l'une à l'autre, que l'ordre et les connexions de ces éléments. Mais ce n'est pas là le seul type du raisonnement déductif. Souvent la question à résoudre se présente sous la forme suivante : Étant données plusieurâ prémisses, en eitlraire une relation entre tels et tek éléments déterminés. Dans ce cas, tous les éléments des prémisses ne reparaissent pas dans la conclusion; certains d'entre eux, les moyens termes, dont la fonction est de manifester la relation demandée, en sont éliminés. Il faut donc cherclier un procédé général d'élimination d'un nombre quelconque de moyens termes dans un système composé d'un nombre quelconque de prémisses données sous forme d'équations.

Soit une équation loyique f (x) = 0.

Déveliipiant le premier membre, nous avons :

• ^(1>3; + /-{0)(l-x)=0, Ou |/-(l)-rm;^ + nO)=0; [11

donc ^ = ^(0)'^i'^/.(,y

BOOLE 129

Substituons ces expre-^sions à x el à 1 — x dans l'équation (ondumentalâx (1 - x) = 0,

„ou..vo„. |^;;%™„-y.=o,

On voit que, par ce procède, l'élimination a lieu récileii ent entre l'équation donnée f (x) = et l'équation universellement vraie œ (1 — x) = 0, expression de la ioi fondamentale des symboles logiques. Il n'est donc besoin, pour rendre possible l'élimination d'un terme, que d'une seule prémi.-se ou équation; la loi nécessaire de la pensée supplée virtuellement & l'autre prémisse ou équation.

On peut encore procéder de la façon suivante. Soit, comme ci-dessus, l'équation

fil)x + f(0){i-x) = 0.

Multiplions l'équation d'abord par x, puis par i — x, nous avons

ni)x=o.

De ces équations nous tirons par solution et développement :

no)=ii=g».

équations qui signifient : i" Tous les individus contenus dans la cbsse représentée par /' (1) ne sont pas x; 2° Tous les individus contenus dans la classe représentée par f (0) sont x ; d'où : Il n'y a pas d'individus contenus à la fois dans la classe / (1) et dans la classe f (0), ou symboliquement :

130 LES LOGICIENS ASGLAIS CONTEUFOBAIHS

De là cette règle : Pour éliminer un symbole x d'une équation proposée, donner successirement à ce symbole, après avoir fait passer, si c'est nécessaire, tous les termes de l'équalion dans le même membre, les valeurs 1 et 0, et multiplier l'une par l'autre les équation résultant.

Considérons maintenant l'équatiou générale

dont le premier membre représente toute fonction de X, y et d'autres symboles.

D'après ce qui précède, le résultat de l'élimination de ' y dans cette équation est ;

fixA)f{x,0)^0.

Si maintenant dans ce résultat, obtenu en changeant successivement y en 1 et en dans l'équation proposée et en mulUpliant l'un par l'autre les réiultats obtenus, nous changeons successivement a; en 1 et en et multiplions les résultats, nous avons

/'(l,l)fCt,0)f(0,l)/'(0,0)-0, comme résultat Snal de l'élimination.

Or les quatre facteurs du premier membre de cette équation sont les quatre coefticients de l'espansion complète de f {x, y), premier membre de l'équation donnée.

D'oii cette règle : Pour éliminer d'une équation de la forme V ^ un nombre quelconque de symboles X, y, etc., développer complètement le premier membre de cette équation en constituants des symboles donnés ; multiplier ensemble tous les coefficients de ces constituants et égaler le produit à 0.

Appliquons ces règles à un exemple. Soit ta défîmtion de la richesse de Senior : c La richesse consiste

BOOLl 131

en choses susceptibles d'échange, limitées en quantité,

et qui produisent le plaisir ou préviennent la douleur. »

Représentons richesse par te,

choses limitées en quantité par' s,

choses échangeables par t,

choses produisant le plaisir par p,

choses prévenant la douleur par r,

nous avons :

w = st j pr + p (1-r) + r (i-p) \, ou uj = at j p + r fl-p) [, De cette équation, nous pouvons éliminer tous les symboles dont nous ne désirons pas tenir compte.

En premier Lieu, que devient l'expression de iv quand on élimine l'élément rî

Faisant passer tous les termes de l'équation dans le premier membre, nous avons :

«1 — st (j> -[- r-rp) = 0.

Faisant r := i, le prenùer membre devient w — tt; &isant 1* = 0, il devient w — atp; d'ob nous avons, d'après la règle d'éUmination,

(to-st) (yj'Stp) = 0, ou UJ-ioalp — wst + stjD =t 0,

d*Otl

^-st + stp-l' équation dont le second membre développé donne : v> = stp + l«t(i-p).

Ce qui, d'après les règles d'interp rétalion plus haut déterminées, signifie : La richesse est constituée par toutes les choses limitées en quantité, susceptibles d'échange, et produisant le pTaistr, avec un reste indéterminé de choses hmitées ea quantité, susceptibles d'échange et ne produisant pas le plaisir.

u..„-;™;yG00gIc

133 LES LOGICIEEIS ANGLAIS CONTSHPORAIKS

Supposons, en second lieu, qu'on demande la descripiion de s par rapport à w, à l et à p, mais en négligeant tout rapport de s à r. De l'équation w — ê(mt + wlp — tp] =■ 0,

nous tirons S = — i ^ r-,

wt-i-wlp — f/)' d'où par développement :

s^wtp+wt[i-p)+lw[i-(ip+^w{U)[\-p)+0{i-v})ti»

+ l{l-w] 1 11-p) +g(l-«.) U-l) p + gd-M.) (l-t) (1-p),

' ce qui signifie ; Les choses limitées en quantité sont toute richesse susceptible d'échange et produisant le plaisir, toute richesse susceptible d'échange et non productive de plaisir, plus une somme indéfinie de choses qui ne sont pas ta richesse, mais qui sont susceptibles d'échange sans produire de plaisir, ou non susceptibles d'échange'mais productives de plaisir, ou qui, tout k ta fois, ne sont pas susceptibles d'échange et ne produisent pas te plaisir.

Des termes dont les coelficients sont ^ nous pouvons tirer en outre les deux relations indépendantes :

1° Il n'y a pas de richesse qui ne soit pas susceptible d'échange et qui en même temps produise le plaisir.

2° 11 n'y a pas de richesse qui ne soit pas susceptible d'échange et qui ne produise pas te plaisir.

Si l'on demande d'éliminer deux ou plusieurs symboles d'une équation proposée, nous pouvons, ou bien employer la méthode décrite plus haut :

/(l,l)/'(l,0)f(0,l)/'(0.0) = 0, ou les éliminer un à un, succe^isiveuient^ en tel ordre qu'on voudra.

De l'équalion

w = s( (;j -t- r - pr], nous avons éliminé r et obicnu

w — wst — wstp -\- stp = 0.

Si l'on demandait d'éliminer & la fois r et t, nou» pourrions prendre t-<3ur point de départ le résultat de l'élimination de r et en éliminer l.

Faisant t= i,\e premier membre de l'équation devien

tu — tus — tosp -\- ip.

Faisant t = 0,il devient :

Multipliant ces deux membres l'un par l'autre, et égalant le produit à 0, nous avons :

M) (w — tes — wsp \- sp] = 0, ou W — WJS = 0.

Donc "'^îli = Ô*'

ce qui signifie : Toute richesse est limitée en quantité *. De même fyçon, on éliminerait tels autres symboles de l'équation donnée.

VII. La méthode générale d'élimination, dont nous venons d'exposer les principes et les règles, n'est applicable qu'à une seule équation, c'est-à-dire à une seule prémisse. En fait, les prémisses d'un raisonnement déductif sont le plus souvent au nombre de deux; en droit, rien n'empâche que le nombre en soit illimité. La question qui se pose maintenant est celle de savoir

1. DaoB tous les calculs qui précèdent, il faut toujours avoir présente b. l'esprit la loi Tondonientale des symboles logiques, anacepttliles seulement des valeurs numériques 1 et 0, x' =: x.

134 I£S LOGICIBIIS ANGLAIS COKTEHFOBAINS

s'il est possible, dans an systâme de prémisses formé d'un nombre quelconque d'équatîons, d'éliminer un nombre quelconque de symboles, ce qui revient à se demander s'il est possible de réduire un système quelconque d'équations logiques k une équation unique équivalente, à laquelle les méthodes que nous venons de décrire soient applicables.

Cette réduction peut être opérée par la méthode suivante :

i" cas. — Si V, = 0, V, = sont des équations telles que l'expansion de leurs premiers membres conlienne seulement des constituants affectés de coefficients positifs, ces équations peuvent être unies ensemble par addition en une équation unique équivalente.

En effet, si At représente un terme du développement de la fonction V„ BC le terme correspondant dn développement de V, et ainsi de suite, le terme correspondant dans le développement de l'équation,

V, + V, + etc=0, [1]

formée par l'addition des équations données, sera : (A -t- B, etc.) (.

Mais comme, par hypothèse, aucun des coefficients A, B, etc., n'est négatif,le coefficient total A -f- B -|- etc., dans l'éqaation dérivée, s'évanouira seulement quand les coefficients distincts A, B, etc., s'évanouiront ensemble. Par conséquent, tous les constituants des équations distinctes V, = 0, ■¥»= 0, etc., se trouveronl dans le développement de t'équation [1] ; d'où l'int»prélatioD de l'équation [1] sera équivalente aux interprétations collectives des différentes équations d'où elle est dérivée.

2" coa — Si V, = 0, V, = 0, etc., représentent un'

BOOI.E 135

système quelconque d'équations, dont les termes oat été placés par transposition dans le premier membre, l'interpréution combinée du système sera contenue dans l'équation unique :

V,» + v,ï + etc. == 0, formée par l'addition des carrés des équations données.

En effet, soit une équation du système V, = 0, donnant par expansion l'équaUon :

(/,(, -I- a,f, + etc. = 0,

dans laquelle t„ tt, etc., sont les constituant», et a^,

Of, etc., les coefficients correspondants, l'equation V,

= donnera par développemeot l'équation :

a,\ + cr,'(, + etc. = 0.

Par conséquent les constituants, contenus dans l'expansion de l'équation V^* = sont les mêmes que ceux de l'expansion de l'équation V^ = 0, et ils ont des coefficients positifs. La même remarque s'applique aux équations Vj> = 0, etc., d'ob il suit que l'équation

Vi» + V,» + etc. = 0.

aura ime interprétation équivalente à celle du système d'équations

V, = 0, V, = 0, etc.

3° rus, — Quand les équations d'un système ont été par l'élévation au carré, ou par tout autre procédé, ramenées à une forme telle que tous les constituants qui se trouvent dans leur expansion aient des coefficients positifs, toute équation dérivée, obtenue par élimination, possédera le même caractère et pourra être combinée par addition avec les autres équations.

Supposons qu'on ait éliminé un symbole x d'une équation V => 0, telle qu'aucun des constituants de

LT., î.Cooj^lc

136 lES lOfilCIESS ANGLAIS CONTEMPORAINS

l'expan^on de son premier membre n'ait de coeflicieut négatif, l'expansion peut être écrite sous la forme

V, a: + V, (1 — x} = 0, V„ V, étant chacun de la forme

oùt„ f,,... U sont constituants des autres symboles, et a,, a„... «a, des quantités positives ou nulles. Le résultat de l'élimination est

et, comme aucun des coeriicients de V, et de V, n'est négatif, il ne peut y avoir de coefficients négatifs dans le produit V,V,. Par suite, l'équation VjV, = peut être «joutée à loule autre équation dont les cûaflicients sont positifs, et l'équation qui en résultera comprendra la signification entière de celles dont elle sera formée.

Il reste à rechercher quelles équations logiques rentrent dans leâ cas que nous venons de distinguer.

Nous connaissons les principaux types de propositions :

1* Celles dont le sujet est universel et le prédicat particulier :

X et Y satisfaisant à la loi de dualité. Eliminant v, nous avons

qui satisfait & la même loi. Il n'est pas nécessaire, pour réduire ces propositions, de les élever au carré. 2° Celles dont les deux termes sont universels : X = Y, X et Y satisfaisant séparément à la loi de dualité. Ecrivant féquation sous la forme X — Y =0, et l'élevant au carré, nous avons :

BOOLE 137

X — 2XY + Y = 0, ou X(t-Y) + Y (1-X) =0, [2]

dont le premier membre satisfait & la loi de dualité.

3* Celles dont les deux teiir.es sont particuliers ; vX = vY.

Ici, V n'est pas arbitraire et ne peut, par suite, ûtre éliminé; il représente en elTet quelques. Noua devons donc faire passer le second membre dans le premier et élever au carré l'équation résultant :

fX (1-Y| + vY (l-X) = 0.

Concentrons dans une règle unique ces résultats divers : « Les équations ayant été exprimées de façon à ce que les termes X et Y des formes typiques obéissent h la loi de dualité, changer les équations : X = «Y en X (l-Y) = 0, X = Y en X (l-Y] -f- Y (1-X) = 0, fX = rY en uX (l-Y) + vY ll-X)= 0.

Toute équation donnée suus la forme X = n'a pas besoin d'être transfurmée, et toute équation qui sa présente sous la forme X = 1 peut être remplacée pari— X = 0.

Quand les équations du système donné ont élé ainsi réduites, elles peuvtnt, ainsi que celles qui en dérivent par élimination, èLre combinées par addition.

Appliquons ces règles à un exemple.

Siiient comme prémisses les deux propositions suivantes de géométrie :

1' Les figures semblables sont celles dont les angles correspondants sont égaux et les côtés correspondants proportionnels;

2° Les triangles dont les angles correspondants sont égaux ont les côtés correspond unts proportionnels, et vice versa.

;yGOOglC

Si l'on représente semb^ibtes par s,

triangles par t,

ayant leti angles égaux par q,

ayantïescôté8proportionnelsça.t r,

les préittisBes donneront le3 équations :

8 = qv, [1]

tq = Ir. [2]

Faisant passer tous les termes de ces équations dans le premier membre, élevant chacune d'elles »u carré, At. les additionnant, nous avons:

s -f. gr — 2^1-3 + tq+tr— 2tqr = 0. (3] On demande une description des Ûgures dissemblables, formée des termes t, q, r.

De l'équation [3] nous tirons :

, tq + g^ + ^t + t'r

'- ^2qr-i

Donc i-,== <''-V;;±f^~' ; W développant le second membre de [4], nous obtenons l-s=0(gr+2(3il-r)+2tr{l-îl + t(l-g)(l-r)+0(l-i)gr + t'-') 3 11-»-) + (i-t) r (1-q) + (l-() (1-3) {i-r). [5] ^ans celte expanùou, deux termes ont le coefficients; on doit donc les égaler à ; alors, 1^ termes dont les coefficients sont étant rejetés, on « :

W = t (1-9) (1^ + (l-() q (1-r) + (1-t) r (1-g) + (l-il [i-q] (1-r). [6]

tq(i-r]^0, [7]

tr ll-g}=0, [8]

équations dont void l'interprétation directe:

1° Les figures dissemblables sont constituées par tous les triangles qui n'ont pas les angles correspon-

^ BOOLK 139

dants égaux ni les cAtés correspondants proportionnels, ou qui ont les c6tés correspondants proportionnels et les angles inégaux, ou qui n'ont ni angles correspond dants égaux, ni côtés correspondants proportionnels.

2° 11 n'y a pas de triangles qui aient i la fois les angles correspondants égaux et tes c6tés correspon' daats non proportionnels.

3* U n'y a pas de triangles qui aient h la fois las angles correspondants inégaux et les câtés correspondants proportionnels,

VIII. Tout ce qui a été dit jusqu'ici se rapporte exclusivement aux propositions primaires (Voy. § II). Mais il est d'autres propositions qui cml pour objet non des choses ou des idées de choses, mais des propositions consàdérées comme vraies ou comme fausses. Ce sont les propositions secondiaires, qui compreoneot tous les jugements par lesquels nous exprimons une relation ou une dépendance entre propositions. Telles sont, par exemple, les propositions conditiannellee : t Si le soleil brille, le jour sera beau; > les proposi* lions disjonctives : < Le soleil brillera, ou la partie sera remise. > Ces sortes de propositions apparaissent aussi souvent dans les raisonnements ordinaires de la vie que les propositions primaires; les moralistes et les métaphysiciens eux-mêmes raisonnent moins souvent sur les choses et leurs qualités que sur les principes et les hypothèses relatives aux vérités et k leurs connexions mutuelles. Il est donc important d'établir une méthode générale pour le traitement des propositiont secondaires.

Un caractère commun h toutra ces propositions, c'est d'impliquer une relation de temps. Quand nous disons, par exemple : Si la proposition X est vraie, 1^

f40 ' LES L03iaEHS ANGLAIS CONTEHFOBAINS

proposition T l'est aussi, nous entendons que le temps dans lequel la proportion X est vraie est le temps dans lequel la proposition Y lest aussi. Ce n'est pas )à sans doute tout le sens de l'usserliuii ; mais cela suffît pour ce que nou^ nous pro|iii-ons.

Si l'on représente par X, Y Z les iToposiiions élémentaires engagées dans les raisonnements, paTx,y, x, les temps pendant lesquels elles sont vraies, par +, — , = l'addition , la soustraction et l'égalité de ces temps, par le néant du temps, par 1 la totalité du temps, on aura évidemment :

x + y=.y + x, ^y = !/îc,

X {i-x} = 0, lois formelles identiques à celles qui régissent L'expreasion des propositions primaires.

Inlerprétons maintenant ces symboles.

Comme 1 désigne la totalité du temps, et x la portion de ce temps pendant laquelle la proposition X est vraie, t-x désigne la porlion supplémentaire pendant laquelle la proposition X est fausse; comme xy désigne la porlion du temps pendant laquelle les propositions X et Y sont vraies toutes les deux, x (l-y) représentera le temps pendant lequel )a proposition X est vraie et la proposition Y fausse; (1-a;) (1-y) représentera le temps pendant lequelles propositions X et Y sont simultanément fausser; X (1-y) + y (I-x) exprimera le temps pendant lequel les propositions X et Y sont vraies h. l'exclusion l'une de l'autre; xy-|-(l.a:) (l-y) représentera le temps pendant lequel les propositions X et Y sont vraies ou fausses toutes les deux h la fois, et ainsi du reste.

BOOLG iH

Mais ce n'est là qu'un élément des proposiiions. Comment exprimer les propositions elles-mêmes? Il faut distinguer plusieurs cas :

1° Exprimer la proposition : « La proposition X est vraie. > — Aucune restriction de temps n'est énoncée ; on doit donc entendre que la proposilion X est vraie en tout temps; comme a; représente le temps pendant lequel la proposition X est vraie, et que ce temps est tout le temps,

x = i sera l'expression symbolique demandée.

2° Exprimer la proposition : e La proposition X est

fausse. ■» — Comme là encore aucune restriction de

temps n'est énoncée, le temps x pendant lequel la pro-

poiiiion X est vraie est égal à 0,

3* Exprimer la proposition disjonctive : a Ou la proposition X, ou la proposition Y est vraie, » étant entendu que ces propositions sont mutuellement exclusives. — Nous savons que x (l-y) + y (l-x) représente le temps pendant lequel l'une ou l'autre des pro* positions X et Y est vraie; donc

x{l-y)-i-y[\-x)^i est l'expression demandée.

4" Exprimer la proposition conditionnelle : « Si la proposition Y est vraie, la proposition X Test aussi. • — Il suffit d'exprimer que le temps pendant lequel la proposition X est vraie est le temps pendant lequel la proposition Y l'est aussi. Cela revient à dire ; il y a une partie indéterminée du temps total pendant laquelle la propositiun Y est vraie. Maintenant le temps pendant lequel la proposition Y est vraie est y, et le temps pen-

142 LES LO&tCIENS AK6UIS CONTEltFOBAlNS

dant lequel la proposition X est vraie est x; soiï v le symbole d'uo temps indétermioé, vx représentera uœ partie indéterminée du temps x. Nous avons donc : yi^vx.

5f Exprimer une proposition k la fois conditionnelle et disjonctive,

11 faut distinguer trois cas :

■l' Si X ou Y est vrai, Z est vrai.

2° Si X est vrai, Y ou Z est vrai.

3" Si X ou Y est vrai, Z et W sont vrais ou faux ensemble.

D'après les principes posés plus haut, nous avons comme expressions symboliques de ces trois cas:

1» x(l-y) + (l-œ!y=»wi,