Voir ci-desBUg, Uv. II, p
la chaîne totale d'assurance annuelle sera représentée par la formule :
Dx PCx) + nx+iP(x + 1) + = SnxP(x)
la charge par tète d'assuré, c'est-à-dire la cotisation moyenne P, sera donc donnée par la formule :
La question se réduit dès lors au calcul de P(a:). Or, soient :
ui la probabilité de mort en cas d'accident, Ui la probabilité d'incapacité temporaire, uz la probabilité d'incapacité permanente, Qi(:r) la valeur de la charge résultant de la mort du blessé, Qi{x) la valeur de la charge résultant de l'incapacité temporaire, Q3{x) la valeur de la charge résultant de l'incapacité permanente,
on aura
D'autre part, en désignant par
R« la valeur de la charge qui résulte de la pension due à
la veuve de la victime, R, la valeur de la charge résultant de la pension due aux
enfants de la victime, R^ la valeur de la charge résultant de la pension due aux
ascendants, B la valeur des frais funéraires, on aura
Q,(x) = R^ + Rf + R;^ + B (il)
La valeur de l'inconnue F{x) peut donc s'écrire
Le problème est donc ramené à la recherche des quantités
Rî', Rî, R^ B, Q,(x), et Q3(:r).
!• Calcul de R^. — Désignons par :
Og le nombre des assurés valides âgés de x années,
bx,y le nombre de ceux de ces assurés qui sont mariés à
des femmes âgées de y années,
n désigne le nombre de parties ou fractions en lesquelles Tannée a été divisée,
et q est définie par la relation q = — j^ "
p étant le taux de l'intérêt *.
Cela posé,
Soit ^-hi
la valeur du capital correspondant à une pension de veuve égale à Tunité.
La valeur de ce capital, au début de Tannée sera
Ry+
Si Ton multiplie celte valeur par Texpression
[Wx,y-(W,,y-W,+ i,y + Ofl
puis que Ton intègre pour toute la durée de Tannée, et que Ton fasse la sommation pour toutes les valeurs de y, on obtient Texpression (16)
qui représente la valeur de la charge résultant de la pension de veuve qui est due en cas d'accident mortel survenu dans le courant de Tannée à un assuré valide qui, au début de Tannée, serait âgé de x années.
Pour calculer *Ry+^ supposons que Ton paie en bloc les quotes-parts de la pension dont les échéances doivent s'échelonner jusqu'à la fin de Tannée. La valeur de la pension annuelle étant égale à Tunité, le total de ces quotes-parts est (1 — /). La pension *Ry4.< deviendra au début de Tannée suivante une pension viagère Ry+i correspondant à une pensionnée âgée de (y -}- 1) années : sa valeur à l'instant / sera égale à
'Rv+. i+(.-i)(i-o >< fer (*^)
Ly représentant d'après la table de mortalité le nombre de personnes vivantes à Tâge y, et par suite jf-^ représentant la probabilité de vivre de Tinstant ^ à la fin de Tannée.
1. Si la fraction de l'année considérée est le mois, on a n = 12 : si le taux de l'intérêt est de 4 0/0, on a ^ = 1,04, d'où a = 0,4648, et si le taux de l'intérêt est de 3,5 0/0, onu q = 1,035, d'où x =» 0,4640.
Dans une première approximation, on peut remplacer le second terme de l'expression (18) par l'expression
et la somme (W,., + W.+,,,+i) par \'^^l^!^l^' d'où on obtient pour la valeur de l'expression (18)
2* Calcul de R^.. — Désignons par :
nix le nombre des assurés valides âgés de x années, d le nombre des assurés âgés de x années, ayant des enfants âgés de moins de ^ années,
«' = é ^* probabilité, pour un assuré d'âge x, d'être
père d'enfants âgés de moins de p années, Kb., le nombre correspondant d'enfants âgés de z années, KjF,r+i le nombre correspondant d'enfants âgés (de z + 1)
années.
Un calcul analogue au précédent donne pour la valeur du
capital correspondant à une pension d'enfant égale à l'unité,
la victime étant âgé de x années, l'expression
^oJ oL'niz \ wix mar-fi / ji-\-(q — 1)^ ^ ^
*R?^. t représentant le capital correspondant à une pension égale à l'unité due à un enfant âgé de {z + t) années et destinée à cesser à l'âge de ^ ans. Il s'agit d'ailleurs d'une pension payable chaque mois, par avance, en sorte que l'on a, comme plus haut, en désignant par R^ la valeur du capital correspondant à une pension égale à l'unité payable par avance pour f année entière, *R^ = R^ — a.
On obtient par la même série de calculs que pour la pension de veuve la formule suivante :
rentes probabilités correspondant aux situations diverses de chacune des catégories d'ayants droit.
2. Forme des tarifs des risques. — Dans le système des primes fixes le tarif de risques se compose de deux tableaux dont l'un comprend Fénumération des diverses catégories d'industries accompagnées de Findication de la classe de risques correspondante ; l'autre donne pour chaque classe la valeur de la prime à payer par 100 unités (francs, marcs, florins, etc.) de salaire.
3. Application des tarifs de risques. — L'application du tarif de risques à un établissement déterminé consiste miiquement à multiplier le montant des salaires annuels de cet établissement par le centième de la prime correspondant à la classe de risques dont cet établissement fait partie.
