Voir ci-dessus, liv. II. p

•y le montant total des salaires distribués pendant lanne'c considérée dans l'un des établissements soumis à l'obligation de l'assurance,

c le coetiîcient do risques correspondant, et en appelant

Q la cotisation moyenne par unité de salaire, on aura

et la charge incombant à l'établissement dont le coefficient de risques est c, sera

'Zcs

La détermination de la charge incombant à chaque établissement industriel suppose donc connue, indépendamment du coefficient de risques, la cotisation moyenne par unité de salaire.

1. Calcul de la cotisation moyenne. — Le calcul de cette cotisation peut s'etïectuer comme suit :

Un accident peut avoir pour conséquence, soit la mort, soit l'incapacité temporaire, soit l'incapacité permanente du blessé : les ayants droit sont, du reste, non seulement le blessé, mais encore, en cas de décès de ce dernier, sa veuve, ses enfants (jusqu'à un âge déterminé) et ses ascendants; d'ailleurs, indépendamment des pensions accordées aux diverses catégories d'ayants droit, les législateurs étrangers ont prévu l'allocation de frais funéraires.

Cela posé :

Désignons par P(.r) la charge résultant de l'assurance, relative à un exercice, d'un ouvrier âgé de x années.

Supposons, en outre, que le nombre des assurés soit dans un état d'équilibre, c'est-à-dire que le nombre des assurés de chaque âge reste constant : ce qui aura lieu si, pour chaque âge, le nombre des entrées est égal à celui des extinctions '.

Si l'on désigne par :

Hx le nombre des assurés âgés de x années,

Hx+i le nombre des assurés âgés de {x -f- 1) années, etc.,

N le nombre total des assurés,

1. Cette tiypothése est justifiée parles résultats de la statistique et en particulier par ceux de la statistique allemande relative à quatre mois de l'année 1881.

GENERALITES 37

la charge totale dassurance annuelle sera représentée par la formule :

Dx P.xi + nx+ ,P(x+ 1) + = Zn.P{x)

la charge par tète d'assuré, c'est-à-dire la cotisation moyenne P, sera donc donnée par la formule :

La question se réduit dès lors au calcul de P(x). Or, soient :

î/i la probabilité de mort en cas d'accident, iti la probabilité d'incapacité temporaire, Uj la probabilité d'incapacité permanente, Qi(j:) la valeur de la charge résultant de la mort du blessé, Qî{x) la valeur de la charge résultant de l'incapacité temporaire, Qzlx) la valeur de la charge résultant de l'incapacité permanente, on aura

PiVj = M.Qifx) -1- u,Q,{x) + u,Q,{x) (10)

D'autre part, en désignant par

R, la valeur de la charge qui résulte de la pension due à

la veuve de la victime, R,- la valeur de la charge résultant de la pension due aux

enfants de la victime, R; la valeur de la charge résultant de la pension due aux

ascendants, B la valeur des frais funéraires, on aura

Q,(j) ='Rr' + R,^ 4- R^ + B (11)

La valeur de l'inconnue P(x) peut donc s'écrire

Le problème est donc ramené à la recherche des quantités

R^;. RI R-\ B, Q,>), et QJx).

1° Calcul de R^. — Désignons par :

Oj. le nombre des assurés valides âgés de x années,

èj,y le nombre de ceux de ces assurés qui sont mariés à

des femmes âgées de y années,

èx,y-)-i le nombre de ceux de ces assurés qui sont maries à des femmes âgées de (y + 1) années,

Wj.,y=:: ^^ la probabilité que l'un des «x assurés soit

marié à une femme âgée de y années, y

Wx = ^^ la probabilité que. l'un des «^ assurés soit

dans l'état de mariage.

On aura donc "SV^=^yWx,y (13)

De plus, on peut admettre que, pour la durée d'une année, la probabilité d'être marié est une fonction linéaire du temps que nous désignerons par /, de telle sorte que t étant compris entre 0 et 1, on aura

Or, la probabilité d'être victime à l'instant t d'un accident mortel est ^^ ^^^

La probabilité, pour un homme âgé de (.r + f) années, d'être, à l'instant /, marié à une femme âgée de (y + t) années et d'être, au même instant t, victime d'un accident mortel est donc

[Wx,j - (Wx,3, - W.+ ,,y + ,)0 M' (15)

Or, cette probabilité est précisément la probabilité qu'une pension soit due à une veuve d'assuré.

D'autre part, désignons :

1° Par Ry la valeur du capital correspondant à une pension annuelle égale à l'unité, payable par avance pour tannée entière,

2° Par °'Ry la valeur du capital correspondant à une pension annuelle égale à l'unité, payable par avance, non plus pour l'année entière, mais par fraction d'année.

On a établi plus haut ' que la différence entre R, et "Ry est constante et que la valeur de cette constante a est donnée par la formule

formule dans laquelle :