Voir ci-dessus livre II, p

IJl^^

GENERALITES 39

« désigne le nombre de parties ou fractions en lesquelles l'année a été divisée,

et g est définie par la relation q = — . .jT '

p étant le taux de l'intérêt '.

Cela posé,

Soit ^'Rj,-^,

la valeur du capital correspondant à une pension de veuve égale à l'unité.

La valeur de ce capital, au début de l'année sera

Si l'on multiplie celte valeur par l'expression

puis que l'on intègre pour toute la durée de l'année, et que l'on fasse la sommation pour toutes les valeurs de y, on obtient l'expression (16)

(W.,,-W.+ ,.j,+,)/]p^^|i^rf/ (16)

qui représente la valeur de la charge résultant de la pension de veuve qui est due en cas d'accident mortel survenu dans le courant de l'année à un assuré valide qui. au début de l'année, serait âgé de r années.

Pour calculer ^Ry^(, supposons que l'on paie en bloc les quotes-parts de la pension dont les échéances doivent s'échelonner jusqu'à la fin de l'année. La valeur de la pension annuelle étant égale à l'unité, le total de ces quotes-parts est (1 — t). La pension *Ry+( deviendra au début de l'année suivante une pension viagère Rj,j-i correspondant à une pensionnée âgée de (y -f- 1) années : sa valeur à l'instant t sera égale à

'^^^■i + (,-i)(i-oxfeT7 (^^)

Ly représentant d'après la table de mortalité le nombre de personnes vivantes à l'âge y, et par suite rf-^— représentant la probabilité de vivre de l'instant / à la fin de l'année.

1. Si la fraction de l'année considérée est le mois, on a n = 12 : si le taux de l'intérêt est de 4 0/0, on a q- = 1,04, d'où a = 0,4648, et si le taux de l'intérêt est de 3,5 0/0, on a ç = 1,035, d'où a = 0,4640.

Posons

Lj,+ /=Lj, — (Ly— Ly + l)/

Ly— Ly + i n — }^

et l'cmarquons que Ion a approximativement

i + (,-%(i-0-^ + (^-^)^ l'expression (17) prendra la forme

"^ + '~D;^ 1 - Syt

d'où

Substituant cette valeur de ^Ry+t dans l'expression (16), on a

ou, en remarquant que l'on peut poser approximativement

1 + (?-!)'" '/ on a

V,/jw.,,-(w..y-w.+,,,+0'] (1-0 (1-^ /)rf^

+ Z/Ry+i ^J\ [Wx,y - (W.,, - 'W.+ ,.y + 0/] (1 +s,Orf/.

En eflectuant les intégrations et remarquant que 2y\VVj,=\V, on a

+ Zy%4-. %^ [W.y ^i±^ + W.+ .,, + , (^±2s^] (i8)

GENERALITES

Dans une première approximation, on peut remplacer le second terme de Tespression (18) par l'expression

et la somme (W.„ + W.+,,+.) par ^":,++:^-,''+' d"où on obtient pour la valeur de l'expression (18)

2° Calcul de R^.. — Désignons par : »ij- le nombre des assurés valides âgés de x années, d le nombre des assurés âgés de x années, ayant des enfants âgés de moins de ,j années,

Vx = ^ la probabilité, pour un assuré d"àge x, d'être

père d'enfants âgés de moins de |j années,

Kj,: le nombre correspondant d'enfants âgés de r années.

Kj,:+i le nombre correspondant d'enfants âgés (de - + 1) années.

Un calcul analogue au précédent donne pour la valeur du capital correspondant à une pension d'enfant égale à l'unité, la victime étant âgé de x années, l'expression

-^u J 0 L wit \ "i^ n«x+i / jl + ('/— ll^ ^ '

*R;4., représentant le capital correspondant à une pension égale à l'unité due à un enfant âgé de {z + t) années et destinée à cesser à l'âge de ,3 ans. Il s'agit d'ailleurs d'une pension payable chaque mois, par avance, en sorte que l'on a, comme plus haut, en désignant par R.- la valeur du capital correspondant à une pension égale à l'unité payable par avance pour tannée entière, °'R; = R; — a.

On obtient par la même série de calculs que pour la pension de veuve la formule suivante :

dans laquolle

Portant l'oxpression (20) dans la formule (d9), on a, après avoir effectué les calculs comme ci-dessus

3?+l o liii i L

3% 4% 5° Calcul de Rf , B et (). (x). — Les développements qui précèdent dispensent d'insister sur le calcul de ces quantités pour l'évaluation desquelles des bases statistiques sérieuses font généralement défaut.

6° Calcul de Q3 [x). — La valeur Q3 {x) de la charge résultant de l'incapacité permanente d'un blessé âgé de x années, correspond à une pension servie à l'expiration d'une certaine période comptée à dater de l'accident, et, en supposant compris dans la valeur de Q> (x) le montant des frais résultant de la maladie proprement dite, on est ramené à calculer le capital correspondant à une pension d'invalidité. Ce capital s'évalue par la méthode indiquée ci-dessus pour la pension de veuve, et, en admettant que l'accident se soit produit à l'instant t, la valeur, au début de l'année, du capital de la pension correspondante est donnée par la formule

T Valeur de P. — Les relations (1) à (4) donnent :

, „ SD.Q^(.r) , 2nxQ3(a:)

et les formules qui viennent d'être établies permettent de connaître tous les éléments de cette expression.

On voit donc que le système de primes fixes exige la connaissance d'éléments bien autrement détaillés que le système de la répartition, puisqu'il exige la connaissance de diffé-

GENERALITES 43

rentes probabilités correspondant aux situations diverses de chacune dos catégories J"ayants droit.

2. Forme des tarifs des risques. — Dans le système des primes fixes le tarif de risques se compose de deux tableaux dont l'un comprend l'e'numération des diverses catégories dindustries accompagnées de l'indication de la classe de risques correspondante ; l'autre donne pour chaque classe la valeur de la prime à payer par 100 unités (francs, marcs, florins, etc.) de salaire.

3. Application des tarifs de risques. — L'application du tarif de risques à un établissement déterminé consiste uniquement à multiplier le montant des salaires annuels de cet établissement par le centième de la prime coi'respondant à la classe de risques dont cet établissement fait partie.