TROISIÈME CHAPITRE

i; 39. — Le déplacenient, ou, en crautres termes, le mouvement, est, par raison géométrique, l'état inhérent à tout atome, c'est-à-dire que tout atome étant nécessairement déplacé, il a par cette raison même une certaine quantité de mouvement primordiale en rapport avec sa masse.

Preuve. — Les atomes doivent, par raison géométrique, former partout dans l'espace des centres, de chacun desquels partent douze rayons infinis qui sont des lignes composées d'atomes (§§ 16 et 17). Mais une raison géométrique tout aussi évidente rend impossible l'existence à l'état stable de cette infinité de centres avec leurs rayons infinis, car les rayons issus de centres difterents s'entrecoupent

clans tous les sens entre eux et butent contre les centres des autres rayons.

Or, comme les atomes sont indivisibles (§ H) et par conséquent impénétrables, ils doivent nécessairement être tous déplacés de leur position stable comme rayons infinis de l'espace, pour satisfaire à ces deux raisons géométriques à la fois.

Or déplacement signifie rnouvement.

Ainsi, par raison géométrique, le mouvement est nécessairement le seul état possible et réel de tout point matériel.

De même que la Terre tourne par raison géométrique autour du centre de gravité de notre Système Solaire, de même aussi les atomes se déplacent, comme nous l'avons démontré, par raison géométrique. Il en résulte que le mouvement a pour cause première une nécessité géométrique, comme c'est d'ailleurs le cas pour tous les phénomènes de l'Univers, car tous ont pour cause première la nécessité géométrique. Les formes matérielles sont aussi produites par le déplacement des parties qui les constituent, et cela toujours en vertu des lois géométriques, comme on peut le constater très clairement en observant les figures de Plateau. Mais puisque ces lois produisent les formes, elles produisent implicitement et nécessairement aussi le déplacement des parties matérielles qui consti-

LE MOUVEMENT. d09

tuent ces formes, c'est-à-dire le mouvement de ces parties.

Ainsi, de quelque manière que l'on envisage la question, le mouvement des atomes est toujours le résultat d'une nécessité géométrique.

Il nous reste à démontrer que la quantité de mouvement primitive, inhérente à tout atome, est en rapport direct de sa masse.

En mécanique, la quantité de mouvement d'un corps est égale au produit de sa masse par sa vitesse.

Si maintenant nous comparons deux atomes dont les masses m^ et iii.^ ont une minime différence entre elles, nous aurons

Qy et (ji désignent la quantité de mouvement primitive de chacun des deux atomes, et

V leur vitesse.

Comme il n'y a aucune raison pour que les vitesses primordiales diffèrent, v représente la même valeur dans le numérateur et dans le dénominateur du second membre de l'équation (1).

En simplifiant, on obtient par conséquent :

(2) ll = ^

On nous objectera peut-être que les vitesses primordiales des différents atomes doivent différer aussi bien que leurs masses, puisque l'identité absolue n'est qu'une fiction mathématique sans aucune réalité. Ce raisonnement est juste; mais pour que les vitesses primordiales de deux atomes diffèrent sensiblement entre elles, il faudrait nécessairement que le mouvement de Tun des deux atomes ait été accéléré ou retardé. Or, comme il n'y a aucune cause pour exercer l'une de ces deux actions sur le mouvement primordial des atomes, comme de plus l'idée même d'une action quelconque sur le mouvement primordial démontre que cette action ne saurait avoir lieu qu'après que ce mouvement existe, par conséquent après que les vitesses primordiales sont les mêmes pour tous les atomes, il en résulte nécessairement que les vitesses primordiales des atomes sont sensiblement égales, et cela précisément parce qu'il n'y a aucune raison géométrique pour qu'elles soient différentes.

11 est certain qu'à l'origne du mouvement, comme plus tard, l'identité mathématique absolue entre les vitesses primordiales des différents atomes est tout aussi impossible que l'identité mathématique absolue entre leurs masses. Cette différence doit toutefois être minime, comme nous l'avons déjà démontré pour la masse des atomes, et en tout cas, du moment

LE MOUVEMENT. Hl

OÙ l'on veut évaluer la quantité primordiale de mouvement des atomes, on doit comparer ces quantités de mouvement à leurs masses puisque celles-ci sont déplacées, et l'on est ainsi amené à ne pas s'occuper des différences minimes qu'il peut y avoir dans leurs vitesses primordiales. G. q. f. d.

Première remarque. — Nous venons de démontrer que la figure primordiale de l'espace est impossible à l'état stable et que le déplacement des points matériels, c'est-à-dire leur mouvement, est nécessaire par raison géométrique. C'est là ce qui constitue la cause première du mouvement.

Maintenant observons que cette même figure primordiale de l'espace, qui est impossible à l'état stable, est réalisée partout dans l'Univers à l'état mobile. L'exemple le plus saisissant en est un point lumineux aussi exigu que possible. A quelles distances incommensurables ne s'étendent pas ses rayons? Chaque point matériel de l'Univers est un centre de l'espace qui rayonne au loin par le mouvement qu'il imprime aux points matériels avec lesquels il est en contact.

Deuxième remarque. — Le fait que la matière paraît inerte parce que le déplacement des corps ne peut être déterminé que par une force indépendante de la masse qui reçoit l'impulsion, a habitué l'esprit humain à ne pas concevoir le mouvement sans

112 Ll'S LOIS FO.NDAMEiNTALES DE L'UNIVERS.

une cause étrangère à la matière. Cette conception est radicalement fausse, car la matière ne peut jamais être inerte, comme nous le démontrerons dans cette étude; mais dans ce cas la théorie scientifique a été complice des apparences pour étendre généralement cette conception, en sorte qu'elle paraît tout aussi plausible au savant qu'au laïque qui croit qu'il en est ainsi parce que cela paraît être ainsi.

Il y a cependant bien d'autres conceptions, basées sur les apparences, qui étaient tout aussi répandues dans l'humanité et qui ont fini par être rejetées comme des conceptions fausses.

Par exemple, l'idée que le Soleil tourne autour de la Terre, idée qui était bien plus démontrée par les apparences que l'inertie de la matière, car rien n'autorise en apparence à admettre que le Soleil ne tourne pas autour de la Terre, tandis que beaucoup de phénomènes, qui se passent autour de nous contredisent, même par leur apparence, l'idée de l'inertie de la matière.

Ainsi, voici une pierre humide: l'eau dont elle était humectée il y a quelques instants, s'est évaporée sous nos yeux. Voilà des apparences qui ne militent guère en faveur de l'inertie de la matière. Le laïque conçoit aussi bien que le savant que c'est la chaleur solaire qui a desséché la pierre. Le savant fait plus, il nous démontre que la quantité de

mouvement employée pour transformer Teau en vapeur est Téquivalent d'une certaine quantité de chaleur communiquée par le Soleil et transformée en mouvement. Donc la matière est toujours inerte, dira-t-on, puisqu'elle a reçu cette impulsion du dehors, du Soleil. Mais si, au lieu de communiquer à Teau de la pierre une certaine quantité de mouvement par une certaine quantité de chaleur, nous nous bornons à supprimer la pression de l'atmosphère, est-ce que les parcelles d'eau ne s'enlèventelles pas également pour se répandre en vapeurs? Ici la conception de l'inertie de la matière est déjà fausse, car voilà de la matière qui s'est mise en mouvement sans qu'on lui en ait communiqué du dehors, mais par le seul fait qu'on a supprimé une pression qui l'empêchait de se mouvoir librement. Et si, au lieu de supprimer seulement la pression atmosphérique, on pouvait supprimer la pression de TÉther qui maintient les atomes de la pierre à l'état de corps solide, comme nous le démontrons plus loin, est-ce que par leurs projections les uns contre les autres tous les atomes qui composent la pierre ne se disperseraient pas d'après la loi du § 75? Et une fois en mouvement dans des sens opposés, est-ce que ces atomes ne s'éloigneraient pas, d'après les lois de la mécanique, à l'infini les uns des autres, si d'autres atomes ne s'opposaient à ce mou-

vement? Qu'est devenue l'inertie de la matière? Une conception fausse, bonne seulement en mécanique à titre d'hypothèse pour simplifier les données du problème de la translation d'une masse en équilibre, c'est-à-dire en repos.

Mais revenons à notre point de départ.

Nous avons dit que, vu l'inertie apparente de la matière, l'esprit humain s'est habitué à ne pas concevoir le mouvement sans une cause étrangère à la matière.

Cette habitude, basée sur une fausse conception, empêchera plus d'un esprit de saisir au premier abord la démonstration géométrique que nous donnons de la nécessité du mouvement primordial et qui constitue par conséquent la raison d'être, la cause première du mouvement. Pour familiariser ces esprits avec cette démonstration, nous leur observons que tous les mouvements ont pour raison d'être une raison géométrique ; il en est ainsi du mouvement des Corps Célestes comme du mouvement des animaux. Pour s'en convaincre, on n'a qu'à prendre tous les phénomènes de la mécanique céleste et l'on verra qu'ils ont toujours chacun une loi géométrique absolue pour raison d'être. Quant aux animaux, du moment où ils éprouvent le besoin de faire tel ou tel mouvement, il est certain, d'après toutes les découvertes physiques, chimiques et phy-

siologiques, que ces mouvements s'effectuent toujours d'après les lois de la mécanique : donc ils ont aussi toujours une loi géométrique absolue pour raison d'être.

Puisque la raison géométrique détermine tous les mouvements, il serait inconcevable qu'il n'en fût pas de même aussi pour le mouvement primordial de l'atome. La difficulté consistait seulement à trouver la loi géométrique qui démontre la nécessité de ce mouvement. Eh l)ienl nous l'avons trouvée par des déductions rigoureuses des lois géométriques de l'espace (Chapitre P"").

Vouloir attribuer ce mouvement à une autre cause qu'à la cause géométrique, c'est tomber dans l'absurde, c'est forger des contes tout au plus bons pour duper des ignorants.

Mais on doit nous bien comprendre : se figurer d'abord l'espace sans atomes et puis faire créer des atomes par une cause occulte, inintelligible, c'est absurde. Se figurer ensuite ces atomes sans mouvement et puis leur faire communiquer ce mouvement par une cause étrangère aussi inintelligible que la première, c'est tout aussi absurde. Dans chacun de ces deux cas, pour avoir commencé par dénaturer la réalité en imagination, on est ensuite obligé de commettre une seconde erreur afin de rentrer dans la réalité.

Quant à notre manière de procéder, elle est précisément le contraire de celle que nous venons de critiquer. Nous ne disons pas que telle raison a créé les atomes ou leur a communiqué le mouvement. Nous prenons la réalité telle qu'elle est, et nous disons :

Les atomes ont toujours existé parce que l'espace a dû avoir toujours, par raison géométrique, des centres partout et des rayons infinis.

Nous démontrons donc la nécessité géométrique de l'existence des points matériels, mais non de leur création, car, pour chercher à les créer en imagination, il faudrait d'abord pouvoir se les imaginer n'ayant pas existé.

Or c'est un non-sens, et la raison géométrique le prouve bien, puisqu'elle nous démontre que les points matériels ont du toujours exister (§ 13).

Il en est de même du mouvement : nous ne disons pas que telle cause a communiqué la première impulsion aux atomes, car pour chercher une pareille cause il faudrait d'abord se les imaginer immobiles, ce qui est encore un non-sens. En effet, nous avons dit et démontré que le mouvement de l'atome a toujours existé, qu'il lui est inhérent à cause d'une raison géométrique déduite rigoureusement des lois de l'espace.

Il n'est donc plus permis de s'imaginer l'atome

d'abord immobile pour rechercher ensuite ce qui a pu lui donner la première impulsion.

Ces explications nous ont paru nécessaires pour prévenir tout malentendu.

On nous observera peut-être :

S'il en est ainsi, est-ce qu'il n'était pas plus simple de dire seulement que les atomes et leur mouvement existent, sans en donner aucune raison?

Il aurait été plus simple encore de ne rien dire du tout ; mais cela n'aurait guère avancé l'esprit humain, puisque cela laisserait le champ libre aux erreurs et à l'imposture, tandis que du moment où un fait a été ramené à sa raison géométrique, qui est sa dernière raison d'être, les erreurs et l'imposture ne sont plus possibles.

§ 40. — Le mouvement a toujours existé.

Preuve. — Le déplacement des atomes, c'est-àdire leur mouvement, a toujours existé, parce qu'il a toujours été géométriquement impossible que les rayons infinis qui sont des lignes coiiiposées d'atomes, lesquelles lignes partent de tout centre de l'espace et s'entre-croisent dans tous les sens, il a été, disons-nous, toujours impossible que ces rayons s'entrecoupent sans que le déplacement des atomes, c'est-à-dire leur mouvement, soit une nécessité absolue (§ 39). G. q. f. d.

§ 41. — Le mouvement est éternel.

Preuve. — Parce que les atomes, en s' entrechoquant, ne font qu'échanger leurs quantités de mouvement, comme nous le démontrons au § 46.

Première remarque. — On se demandera peutêtre comment il se fait que les atomes, en s'entrechoquant de toute éternité, ne finissent pas par s'user, puisque nous voyons que tous les corps s'usent par un 'choc répété.

La raison en est fort simple : Lorsque nous disons que les corps s'usent en s'entre-choquant, nous devons faire attention que ces corps se divisent en parcelles très petites, mais ne se divisent jamais au point de se dissoudre dans leurs molécules constitutives.

Ainsi, un cristal broyé se divise en cristaux très petits, mais toujours en cristaux. Le sable du désert, quoiqu'il s'entre-choque sous l'impulsion du vent depuis des milliers d'années, conserve cependant toujours sa forme; à plus forte raison, les atomes, qui sont indivisibles parce qu'ils sont minimes (§ 1 1), ne peuvent-ils pas se diviser ou, comme on dit en langage ordinaire, s'user.

Deuxième remarque. — Quant à l'éternité du mouvement, l'expérience nous prouve aussi que, de même qu'il est impossible d'anéantir une parcelle

de matière, il est tout aussi impossible cranéantir un mouvement quelconque.

La théorie mécanique de la chaleur nous en donne la plus belle preuve. Ainsi, une quantité de mouvement produira toujours une quantité équivalente de chaleur et vice versa une certaine quantité de chaleur produira toujours une quantité équivalente de mouvement. Le mouvement se transforme d'ailleurs aussi en électricité, on magnétisme, en lumière, mais jamais il ne se perd la moindre quantité de mouvement.

Tout mouvement arrêté se continue instantanément sous une autre forme, et ceci éternellement.

Troisième remarque. — En mécanique, pour simplifier les données du problème, on nous dit : Deux corps de même masse, se mouvant Tun vers l'autre sur la même ligne droite et avec la même vitesse, restent immobiles après le choc. Ces forces égales et contraires se sont annulées Tune l'autre.

C'est là une abstraction commode pour étudier l'action réciproque des forces de translation, mais vous êtes en droit de vous demander : Il n'est donc pas vrai qu'une somme quelconque de mouvement ne peut pas plus s'anéantir qu'une parcelle quelconque de matière, puisque le mouvement de ces deux corps s'est annulé et qu'il faudra emprunter à un autre corps une force équivalente pour leur

rendre leur mouvement antérieur? Et puis, si toutes les forces égales et contraires s'annulent, il doit s'anéantir à chaque moment dans l'Univers une somme immense de forces, puisque tous les corps ne sont que des systèmes en équilibre sollicités par des forces égales et contraires.

Voilà comment des abstractions commodes pour le but dans lequel elles ont été imaginées, peuvent fausser les idées. Eh bien! pour rétablir les choses telles qu'elles sont, quittons cette abstraction qui donne une conception radicalement fausse, puisqu'elle conduit à de fausses conséquences, et voyons comment cela se passe en réalité.

Qu'est devenu le mouvement des deux corps qui se sont arrêtés après le choc? Il est devenu chaleur, vibrations moléculaires de ces corps, son, modification de leur état moléculaire, souvent cristallisation instantanée, incandescence et lumière même, si le choc a été assez fort. Travesti sous ces différentes formes, le mouvement antérieur de translation de ces corps s'est communiqué en partie à leurs molécules et en partie au milieu ambiant. Il n'est donc pas annulé; seulement, comme il n'a pas pu se continuer sous la forme de la translation de ces corps mêmes, il s'est continué, toujours d'après des lois mécaniques, sous la forme du mouvement des molécules de ces corps et par leur intermédiaire

il a réagi sur le milieu ambiant, et cela en rapport exact du mouvement de translation arrêté.

Voilà la réalité. Il faut donc bien se garder de prendre à la lettre de pareilles abstractions, car on n'aurait jamais de la nature qu'une idée confuse et fausse.

§ A2. — De même que partout où il y a espace il y a aussi de la matière, partout où il y a de la matière il y a aussi du mouvement.

Preuve. — Parce qu'il y a partout dans l'espace des points matériels (§ 17), qui s'entre-choquent (§ 44) et qui échangent continuellement leurs quantités de mouvement (§ 46). C. q. f. d.

Remarque. — Parler de l'inertie de la matière, c'est employer une locution vicieuse qui doit nécessairement fausser les idées. D'après ce qui précède, nous avons vu que tout point matériel est en mouvement. Lors donc qu'une parcelle de matière nous paraît inerte, c'est que le mouvement de translation des atomes composant ce système est empêché de se produire par une autre force égale et contraire. Cette parcelle de matière nous présente donc un système de points matériels en équilibre, et il faut nécessairement une nouvelle quantité de mouvement dans un seul sens quelconque pour troubler cet équilibre et pour déplacer cette par-

celle de matière proportionnellement à la quantité de mouvement employée. C'est là ce qui a fait considérer la matière comme inerte par elle-même, conception évidemment fausse.

Il y a encore le cas où une parcelle de matière ou un atome a transmis son mouvement. En ce cas, certainement qu'un mouvement cesse du moment où il a été communiqué, du moment où il s'est transformé, puisque chaque atome n'a primordialement qu'une certaine quantité de mouvement en rapport avec sa masse (§ 39), et puisque la même quantité immuable de mouvement qui a toujours existé dans l'Univers existera éternellement (§ 40 et § 41).

Mais par là même que cet atome a eu un mouvement à communiquer, une force vive à dépenser, il est évident qu'il n'est pas inerte, il est évident que telle quantité de mouvement, précisément celle qu'il a communiquée par lui-même, lui est inhérente (§ 39). Ainsi, dire que l'atome est inerte, parce que du moment où il a communiqué son mouvement, il ne l'aura plus avant qu'il ne lui revienne sous la même ou sous une autre forme, c'est méconnaître d'abord qu'il a eu un mouvement à communiquer, ensuite c'est commettre l'erreur de croire que cet atome a pu communiquer tout son mouvement au point d'être inerte; eh bien!

nous verrons (§§ 46 et 48) que les atomes en se choquant échangent seulement une partie de leur quantité de mouvement et s'impriment en même temps un mouvement rotatoire. Ainsi, Tatome qui a transmis un mouvement en a reçu un autre qui le déplace en le faisant tourner sur lui-même, donc il n'est jamais inerte dans le sens absolu du mot. A plus forte raison, est-il faux de dire que telle parcelle de matière qui n'a plus un mouvement de translation est inerte parce qu'elle ne saurait se déplacer sans une impulsion quelconque, puisque dans cette matière il y a une quantité de mouvement en rapport avec la masse qui est en activité sous la forme de la gravitation, de la cohésion, de l'affmité chimique, de la chaleur, de la lumière, de l'électricité, du magnétisme et de la vibration qui est une condition nécessaire de tous les corps. Or appeler inerte cette matière tellement remplie de mouvement, c'est évidemment employer une locution vicieuse qui peut fausser les idées.

Il est certainement fort commode pour la mécanique rationnelle de faire abstraction de tous ces mouvements inhérents à la matière et de la considérer comme inerte dans le cas spécial de son déplacement sous une certaine impulsion. Dans ces limites, il n'y aurait rien à redire à ce que la matière fût considérée comme inerte, afin de simplifier et d'éta-

i24 LES LOIS FONDAMENTALES DE L'UNIVERS.

blir nettement les données du problème mécanique, mais on doit se garder de prendre une pareille locution à la lettre, comme on le fait en physique, car on s'expose à fausser ses idées sur la véritable nature de la matière.

Il serait plus rationnel de dire que pour apporter un changement quelconque à l'état dans lequel se trouve telle partie de matière dans tel moment donné, il faut toujours emprunter à une autre partie de matière une quantité de mouvement équivalente au changement à produire. De cette manière on dirait les choses telles qu'elles sont, telles qu'elles se passent.

Maintenant, s'il faut un nouveau terme pour remplacer le mot impropre d'inertie, nous proposons le mot équilibre. D'abord, comme nous le verrons plus loin, toute matière n'est qu'une agrégation d'atomes qui se trouvent, les uns par rapport aux autres et par rapport à leur milieu, dans un état d'équilibre plus ou moins stable. Par cette raison même, en disant que toute matière, prise dans un moment donné, est toujours une masse en équilibre, on énonce un fait qui caractérise avec précision la nature intime de la matière. Ensuite, pour troubler cet équilibre quel qu'il soit, il faut nécessairement toujours une nouvelle quantité de mouvement empruntée à une autre masse de matière quelconque,

et l'effet produit sera toujours proportionnel au mouvement employé. Voilà donc les bases du problème mécanique tout aussi nettement posées avec la conception d'équilibre qu'avec celle d'inertie, avec la différence que la conception d'inertie est fausse, tandis que celle d'équilibre correspond à la véritable nature des choses.

§ 43. — Les masses des atomes sont à peu près égales entre elles, mais ne sont pas d'une égalité absolue.

Dans leurs différences entre eux, les atomes ne peuvent jamais varier au point qu'un atome soit le double d'un autre.

Preuve. — Les atomes sont semblables puisqu'ils sont sphériques (§ 12), mais ils ne sont pas d'une égalité absolue, parce que ce sont des points réels et parce que l'identité absolue, mathématique, est une pure fiction, un jeu de notre imagination qui n'a aucune réalité, puisque, dans toute la nature, nulle part on ne peut trouver deux objets d'une identité absolue. D'ailleurs nous avons démontré géométriquement (§ 9) que le point mathématique est un non -sens. Enfin un atome ne peut pas être le double d'un autre parce qu'alors ce ne serait plus un simple point matériel, ce serait un composé de deux points. C. q. f. d.

§ 44. — Les atomes s'entre-choquent.

Preuve. — Le mouvement étant l'état inhérent à tout atome (§ 39), ce mouvement se produit dans un sens quelconque et en ligne droite, ce qui a nécessairement pour résultat que tout atome en rencontre un autre qui le repousse par le choc.

La mécanique exprime ce fait en disant que lorsqu'un point matériel se trouve animé de mouvement et qu'aucune cause extérieure ou intérieure ne tend à modifier son mouvement, ce corps décrit nécessairement une ligne droite parce qu'il n'y a aucune raison pour qu'il s'en écarte.

Remarque. — Si de l'excessive petitesse des atomes et de la distance relativement immense qui sépare deux atomes voisins dans l'Éther, on voulait inférer que rarement ils doivent se rencontrer, il suffirait d'observer que, les deux atomes voisins ne se rencontrant pas, chacun d'eux se rencontrera nécessairement avec un autre atome plus éloigné qui se trouvera dans sa direction, parce que le nombre des atomes augmente dans un sens avec la distance. Ceci devant en ce cas arriver, par la même raison aussi, aux autres atomes, il en résulterait un simple échange de situation qui ne modifierait en rien les rencontres des atomes entre eux. Par conséquent, puisque des atomes éloignés les uns

des autres peuvent se rencontrer, il est évident que, sur un certain nombre de cas, les atomes voisins peuvent se rencontrer plus facilement. D'ailleurs l'immense quantité d'atomes qu'il y a dans toute partie excessivement petite de l'espace rend probable que les atomes voisins ne peuvent pas se déplacer sensiblement de leur position normale sans rencontrer dans leur direction un autre atome.

§ 4o. — Les atomes sont absolument durs et ne sont pas élastiques.

Preuve. — L'atome est un coj'ps absolument dur, parce qu'il est absolument plein, c'est-à-dire qu'il n'a aucun vide à l'intérieur, comme cela a été démontré antérieurement.

Il nous reste à démontrer que les atomes ne sont pas élastiques : L'élasticité ne peut se produire que lorsque les différentes parties d'un corps se déplacent sous une compression quelconque, puis reprennent leur position antérieure en rendant l'impulsion qu'elles ont reçue. Pour que l'élasticité se produise, il faut donc nécessairement qu'un corps soit composé de plusieurs parties entre lesquelles se trouvent des interstices, des vides, sans quoi la compression serait impossible. Or l'atome est un point matériel minime et indivisible (§ 11) : donc il n'est pas composé de plusieurs parties, il n'a pas

à son intérieur des interstices, des vides, par conséquent il ne peut pas être élastique.

§ 46. — L'atome qui imprime le choc communique, sur sa quantité de mouvement totale, à l'atome qu'il choque, une quantité de mouvement égale au produit de sa masse par sa vitesse multiplié par le cosinus de son angle d'incidence et divisé par la somme du cosinus et du sinus de cet angle, et conserve une quantité de mouvement égale au produit de sa masse par sa vitesse multiplié par le sinus de son angle d'incidence et divisé par la somme du cosinus et du sinus de cet angle.

Voici l'expression mathématique de cette loi :

mv. cos a

cosoc-h sinoc

mv sin a

cosa +sina

mv -

?nv.cos(/.-\-?nv.

sina

cos a- +

sin

oc

my désigne la quantité de mouvement totale de l'atome qui imprime le choc.

Cm désigne la quantité de mouvement transmise à l'atome choqué.

C^. désigne la quantité de mouvement qui reste, après le choc, à l'atome qui imprime le choc.

o, indique Tangle que forme la droite qui réunit les centres des deux atomes avec la droite suivant laquelle est dirigée Timpulsion de l'atome qui imprime le choc.

Preuve. — Nous avons démontré (§ 39) que tout atome a une certaine quantité de mouvement primordiale proportionnelle à sa masse, et (§ 44) que les atomes voisins s'entre-choquent nécessairement dans tous les sens. Considérons donc tous les cas qui peuvent se présenter dans le choc de deux atomes et analysons les effets qui doivent en résulter.

Prenons d'abord le cas le plus simple, celui où les deux atomes s'entre-choquent dans une direction passant par leurs centres de gravité, et où la différence de leurs masses est tellement minime par rapport à ces mêmes masses qu'elle est négligeable.

Fi?. 2.

Soient A et A' (fig. 2) ces deux atomes. L'atome A est animé d'une quantité de mouve-

ment inv qui est le produit de sa masse m par sa vitesse y, et l'atome A' est animé d'une quantité de mouvement mv qui est également le produit de sa masse m par sa vitesse v , L'atome A se meut dans la direction D D' et l'atome A' dans celle de D'D. Au moment du choc, l'atome A transmet à l'atome A' toute sa quantité de mouvement mv^ c'est-à-dire qu'il le pousse dans le sens DD'. Au même moment, l'atome A' transmet à l'atome A aussi toute sa quantité de mouvement mv ^ ce qui revient encore à dire qu'il le pousse dans le sens D'D. Il en résulte que chacun des deux atomes retourne dans le sens opposé, avec la quantité de mouvement de l'autre atome : ils ont donc échangé leurs quantités de mouvement en entier.

Ce moment où deux points matériels s'entrechoquent sur leur ligne des centres a été quelquefois mal compris : pour preuve, il suffira de rappeler qu'on en est venu jusqu'à imaginer de nouvelles forces, autres que les quantités de mouvement primitives de deux points matériels, avant le choc, pour expliquer leur mouvement en sens opposé, après le choc. On est allé même jusqu'à prêter au point matériel une espèce de volonté, puisque, a-t-on dit, au lieu de s'arrêter après le choc qui a dû détruire son mouvement, il s'en va dans le sens opposé. C'est le cas ou jamais de dire : Autant de

mots, autant cï erreurs. Et d'abord d'où a-t-on pris la notion que les deux points matériels devraient s'arrêter après le choc? De ce que deux corps qui s'entre-choquent avec des masses et des vitesses égales, s'arrêtent réciproquement? Mais on sait bien que dans ce cas le mouvement n'a pas plus été détruit que dans aucun autre cas; il a servi à aplatir les unes sur les autres les différentes parties de ces corps, et il a communiqué à toutes leurs molécules le mouvement vibratoire qui constitue la chaleur. Or l'erreur est venue de ce qu'on a voulu appliquer le même raisonnement à deux points matériels, à deux atomes. Mais ceux-ci ne sont pas composés de plusieurs parties, donc ils n'ont pas d'espaces vides à l'intérieur, par conséquent ils ne sont pas mous et ils ne peuvent s'aplatir.

D'un autre côté, n'étant pas composés de plusieurs parties, le mouvement vibratoire des parties qui constitue la chaleur ne peut pas se produire dans l'atome, raison pour laquelle il n'y a pas de chaleur dans l'Éther. Tout ce qui peut arriver, c'est qu'une partie des impulsions que se transmettent les atomes se change en mouvement rotatoire, comme nous le démontrerons plus loin, et tout le reste des impulsions agit nécessairement comme mouvement de translation. Comme dans le cas con-

sidéré, où deux atomes se choquent sur leur ligne des centres, il ne peut se produire aucun mouvement rotatoire, ils échangent toutes leurs quantités de mouvement, donc ils se repoussent.

Les atomes, comme les corps, ne se meuvent qu'en vertu des quantités de mouvement qu'ils possèdent ou qu'ils se transmettent en s'entre-choquant. Au moment donc où les deux atomes A et A' s'entre-clîoquent, ils se transmettent l'un à l'autre leurs quantités de mouvement respectives, l'un vers D' et l'autre vers D. Dès ce moment l'atome A n'a plus de mouvement de translation vers D' puisqu'il la transmise à l'atome A', et par la même raison l'atome A' n'en a plus vers D : aussi l'atome A s'arrêterait-il sur place au point du choc, s'il ne recevait de l'atome A' une impulsion vers D. C'est ce qu'on peut très bien observer sur des billes de môme masse, suspendues à un support commun et en contact de manière que leurs centres se trouvent sur une ligne droite horizontale. Si, après en avoir écarté une, on l'abandonne à l'action de la pesanteur, après le choc, elle s'arrête, tandis que la bille qu'elle a choquée s'enlève vers le côté opposé à peu près du même angle. Ainsi, instantanément après le choc, chacun des deux atomes A et A' se trouve, par rapport à l'autre, dans la situation de la bille immobile qui reçoit une impulsion; comme

celle-ci, ils s'en vont, par la même raison, chacun du côté opposé.

Ainsi, deux atomes de masses égales, animés de la même vitesse, et qui s'entre-choquent dans une direction passant par leurs centres de gravité, se repoussent vers les côtés opposés, sans être élastiques, et seulement par la raison qu'ils échangent leurs quantités de mouvement. Ils se repoussent comme se repoussent les billes dures; mais comme ce sont des points matériels isolés absolument durs (§ 45) et non des masses avec des vides à l'intérieur, rien ne les empêche d'exécuter leur mouvement de translation en sens contraire instantanément après le choc. En prenant deux billes dures, en acier, de même rayon, suspendues à un support commun, de manière qu'elles se touchent sur la ligne horizontale des centres, en les écartant vers les côtés opposés d'un même angle de la verticale, et en les abandonnant à l'action de la pesanteur, on voit qu'avant de s'arrêter, elles rebondissent l'une sur l'autre un peu à plusieurs reprises et de moins en moins. Si ces billes n'étaient pas empêchées dans leur recul par les fils auxquels elles sont suspendues, elles s'en iraient chacune avec la vitesse amoindrie avec laquelle elles ont rebondi l'une contre l'autre, et toute la quantité de mouvement qu'elles auraient perdue en translation se retrou-

verait en elles en vibrations qui constituent la chaleur. Ainsi, c'est bien mal comprendre le phénomène que de dire que les mobiles s'arrêtent et que les quantités de mouvement égales et de sens contraire se détruisent.

En représentant par 1 la quantité de mouvement mv de l'atome qui imprime le choc, on voit que dans le cas où la ligne d'impulsion est sur la ligne des centres, c'est-à-dire où l'angle d'incidence a, est égal à zéro, l'expression de la valeur de la quantité de mouvement transmise à l'atome choqué est :

mv. cosa= 1 c'est-à-dire que pour ce cas particulier nous avons : rav=^mv .ç.Çi'ào..

Ainsi, dans ce cas, l'atome qui imprime le choc transmet à l'atome choqué toute sa quantité de mouvement my, comme nous l'avons démontré plus haut.

Les limites entre lesquelles peut varier l'angle d'incidence a, sous lequel un atome peut imprimer un choc à un autre atome, sont 0° et 90''. Nous venons de considérer la première limite : a=0°; maintenant nous allons considérer l'autre cas limite où a = 90°, c'est-à-dire où l'impul-

sioii est dans le sens de la tangente au point du choc.

Dans ce dernier cas, l'atome qui imprime le choc effleure seulement l'atome choqué, et, bien qu'il tende à lui imprimer par là un mouvement rotatoire, comme nous le constaterons dans le § 48, il ne lui en communique qu'une partie minime que Ton peut considérer comme zéro. Ainsi, dans ce cas, l'atome qui choque, glisse sur l'atome choqué, ce qui est exprimé grosso modo^ en mécanique, lorsqu'on soutient que les chocs tangentiels ont pour unique effet de faire glisser les corps les uns sur les autres. Dans ce second cas limite, la quantité de mouvement transmise par l'atome choquant à l'atome choqué est aussi égale à mv cos oc, puisque dans le cas où l'angle d'incidence cl est de 90°, mv cos a, est égal à zéro.

Nous venons de considérer jusqu'à présent deux cas, à savoir :

1° Celui où les impulsions passant toutes les deux par les centres de gravité des deux atomes déterminent seulement leur répulsion dans des directions opposées par suite de l'échange de toute leur quantité de mouvement, et

2° Celui où les impulsions étant dans la direction de la tangente au point de contact des deux atomes, ceux-ci glissent seulement en s'effleurant, et tendent

à s'imprimer un mouvement rolatoire sans échanger des quantités de mouvement sensibles.

Ces deux cas extrêmes sont fort rares, puisque les angles formés autour d'un point dans un plan quelconque peuvent avoir une grande quantité de valeurs différentes de celles que Ton vient de considérer, et qu'il n'y a d'ailleurs aucune raison pour que les chocs se produisent plutôt dans une direction que dans une autre. Ces deux cas extrêmes sont non seulement fort rares, mais il est impossible qu'ils se réalisent d'une manière absolue, car la coïncidence absolue de deux lignes ou de deux points est une pure fiction mathématique sans aucune réalité, et cela par la raison que les atomes ne sont pas d'une égalité absolue (§ 43). Or ces deux cas extrêmes ne pourraient se réaliser d'une manière absolue que si une pareille coïncidence était possible.

Reste donc le troisième cas, le seul général et réel et qui comprend tous les chocs possibles entre deux atomes. C'est le cas où les impulsions que se transmettent les deux atomes ne passent pas par leurs centres de gravité et ne sont pas non plus tangentielles au point du choc.

Traitons maintenant ce troisième cas, afin d'établir la loi générale relative à un angle quelconque.

Nous avons vu que dans les deux cas limites

les quantités de mouvement transmises ont pour expression le produit du cosinus a par la quantité de mouvement qui constitue l'impulsion initiale, et cela dans tous les cas, par la raison que le cosinus est la projection de l'impulsion sur la ligne des centres en prenant Timpulsion pour unité.

Or cette raison est décisive, puisque tout choc s'effectue par la ligne d'impulsion et par la ligne des centres.

En voici la preuve :

Soient B et B' (fig. 3) deux atomes dont l'un B'

a une impulsion dans le sens IF et vient choquer Tatome B en 0.

On voit que, dans le choc, l'impulsion IF se transmet à l'atome B au point 0 sur la ligne C'O et

sur la ligne l'F' parallèle à la ligne IF et agit sur l'atome B simultanément dans deux directions dont Tune est OC et l'autre OF'. Or le cosinus est la seule fonction à considérer de ces deux éléments, c'est-à-dire de la ligne d'impulsion et de la ligne des centres. Cette même raison subsiste également dans toute position intermédiaire, car, quel que soit l'angle d'incidence oc, la projection de l'impulsion initiale sur la ligne des centres a toujours pour expression le produit de cos a, par cette impulsion initiale.

Puisque mv cos a représente, dans les deux cas limites, la valeur de la quantité de mouvement transmise par l'atome qui choque à l'atome choqué, nécessairement dans les cas intermédiaires où a varie de 0" à 90°, la quantité de mouvement communiquée à l'atome choqué par l'atome qui imprime le choc est toujours proportionnelle à cos 7. ou bien à :

m2;.cosa,.

Nous allons maintenant démontrer que la quantité de mouvement qui reste après le choc à l'atome qui a imprimé le choc est proportionnelle à sin a. ou bien à :

mv, sin 0..

En effet, nous avons démontré que lorsque l'angle a, est de 90°, l'atome qui imprime le choc garde toute sa quantité de mouvement : or, celle-ci étant représentée par i , sa valeur n'est autre chose que le sinus de oc.

Nous avons également démontré que lorsque l'angle a. est égal à zéro, l'atome qui imprime le choc communique à l'atome choqué toute sa quantité de mouvement, d'où il suit que la quantité de mouvement gardée après le choc par l'atome qui imprime ce choc est égale à zéro, qui est de même représentée aussi, dans ce cas, par le sinus de 7-.

Puisque mv sina, représente, dans les deux cas limites, la valeur de la quantité de mouvement gardée par l'atome qui choque, la quantité de mouvement qui reste après le choc à l'atome qui a imprimé le choc est nécessairement proportionnelle à sin (z- ou bien à mv sin a. dans les cas intermédiaires où o- varie de 0° à 90°.

De ce que l'atome qui imprime le choc communique sur sa quantité de mouvement totale my, à l'atome choqué, une quantité de mouvement proportionnelle à cos 0, et garde une quantité de mouvement proportionnelle à sin a, ce serait une erreur de conclure que mv est égal à la somme de m?;cosa plus mv sin a. D'abord, parce que nous savons que

la somme du carré du cosinus et du carré du sinus est égale au carré du rayon, et non pas au seul rayon. Ensuite, parce qu'il serait absurde d'admettre que la quantité de mouvement mv ^ représentée en grandeur par l'hypoténuse d'un triangle rectangle, puisse fournir deux quantités de mouvement représentées par les cathètes de ce triangle, dont la somme est plus grande que celle de mv.

En effet, en représentant la quantité de mouvement mv^ en grandeur et en direction, par la ligne rO (fîg. 3) et en abaissant sur la ligne des centres G'G la perpendiculaire l'D, on voit que l'atome B^ ne peut pas communiquer à l'atome B une quantité de mouvement égale à DO et en conserver une autre égale à l'D, puisque la quantité totale mv de l'atome B' est égale seulement à l'O et pas à la somme DO + l'D.

On doit par conséquent prendre une valeur proportionnelle à la somme de mv cos a plus mv sin 00 qui soit égale à mv.

En désignant ce rapport par /?, on a :

mv = jo \mv. cos a. + mv. sin ocj

d'où

cos a, + sin a,

En conséquence :

^ mv. cos 7.

COS a.4-sin 7-

et

^ mv.s'mœ

■^ rosT-H-sino,

et enfin :

?nv. cos CL + ?nv. sin a,

— . — Il II . cos 7, + sin 7,

Première remarque. — La démonstration cidessus prouve que l'on commet aujourd'hui une grave erreur en mécanique lorsqu'on admet C„, =:mycos7-, puisque nous venons de démontrer que pour avoir la véritable valeur de la quantité C,„ on

doit multiplier ;??i'cos 7. par le rapport -. .

C0S7. + Sm7-

Ce rapport est toujours positif et plus petit que l'unité, parce que l'angle d'incidence 7. ne peut jamais dépasser 90°. En effet, lorsque l'atome A, au lieu de venir toucher l'atome A' au point 0 ffig. 4j, vient, suivant la direction FJi oblique par rapport à la perpendiculaire DDi à la ligne des centres C'C, le toucher au point Oj , alors la ligne des centres . au moment du choc, aura la direction CjC, et l'angle d'incidence 7-1 sera toujours plus petit que 90°. Le phénomène s'accomplit dans tous les cas de la

142 LES LOIS FONDAMEiNTALES DE L'UNIVERS.

même manière, et par conséquent l'angle que la ligne d'impulsion fait avec la ligne des centres ne dépasse jamais 90"*.

Au delà de 90", les mobiles ne peuvent s'imprimer aucune impulsion. En voici la preuve :

Considérons les atomes A et A' pour un moment

Fig. 4.

immobiles. Si l'atome A commençait à se [mouvoir dans la direction FiOIi parallèle à FI, sous l'angle d'incidence FiOG > 90°, on voit que l'atome A quitterait l'atome A' sansipouvoir lui imprimer aucune impulsion.

Deuxième remarque. — Nous avons démontré géométriquement (§ 6) que l'espace est infini. De

ce qui précède, résulte maintenant une démonstration mécanique qui conduit à la môme conclusion. En effet, puisque les quantités de mouvement des atomes transmises continuent à se transmettre dans leurs directions générales aux atomes qui se trouvent sur ces directions, si nous considérons un point quelconque A de l'espace (fig. o) et une direction quelconque DD' passant par ce point, nous voyons que ce point étant occupé par un atome quelconque, il se transmet à travers ce point, dans chaque unité de temps, des quantités de mouvement qui viennent

de D et s'en vont vers D' et qui ne reviennent plus de D' vers D, et cela de toute éternité. Or, pour fournir ce nombre infini de quantités de mouvement, il est absolument nécessaire que l'espace d'où ces quantités arrivent soit lui-même infini et rempli de points matériels ayant chacun une quantité de mouvement à transmettre. Car si l'espace était fini, ce qu'on ne saurait d'ailleurs concevoir, ou si la matière située dans l'espace était finie, ce que l'esprit ordinaire conçoit plus facilement parce qu'il ne se rend pas compte des raisons géométriques qui en font une anomalie, il arriverait toujours un moment

OÙ il n'y aurait plus de quantités de mouvement qui puissent se transmettre de D vers D' par le point A. Or il y en a toujours et éternellement sur chaque point de l'espace, d'où il est mécaniquement démontré, d'une manière évidente et absolue, que l'espace est infini et qu'il est rempli, dans toute son étendue, de points matériels en mouvement. Il en est d'ailleurs de même si l'on considère les quantités de mouvement qui vont de D' vers D parce que ce ne sont pas les mêmes que les précédentes, puisque les quantités de mouvement échangées à travers l'atome A continuent à se communiquer à d'autres atomes dans leurs directions générales, sans jamais revenir sur elles-mêmes. En voici d'ailleurs la démonstration :

C'est d'abord bien évident pour le cas où les chocs passent par les centres de gravité ; quant aux chocs obliques, les quantités échangées dévient de leurs directions primitives, mais il n'y a aucune raison pour qu'elles dévient plus dans un sens que dans l'autre; en considérant une suite quelconque de ces déviations, on en sera toujours ramené à une moyenne qui constitue la direction générale, d'où il résulte que, dans tous les cas, les quantités de mouvement échangées à travers un point matériel continuent à se communiquer à d'autres points matériels toujours suivant leurs directions générales,

sans jamais revenir sur elles-mêmes, puisque celles qui vont de D vers D' se répandent dans les hémisphères concentriques à l'hémisphère qui a AD' pour rayon.

§ 47. — Au bout d'une série de chocs, la quantité de mouvement cédée par un atome est toujours égale à la moitié de sa quantité de mouvement totale pi'imordiale.

Preuve. — Nous avons démontré dans le paragraphe précédent que lorsque l'angle d'incidence a. est égal à zéro, Tatome qui imprime le choc cède toute sa quantité de mouvement à Tatome choqué. Nous avons vu dans le même paragraphe que dans ce cas la valeur de la quantité de mouvement cédée

TÏIV , COS OC

est, comme dans tous les cas, '- ;— ^; or, dans

cosa.H-sma,

le cas où a, est égal à zéro, cette expression est égale à rnv.

Nous avons également démontré dans le paragraphe précédent que lorsque Tangle d'incidence est égal à 90", l'atome qui imprime le choc ne cède à l'atome choqué qu'une partie minime de sa quantité de mouvement, que l'on peut considérer comme zéro, parce qu'il ne fait que glisser. Dans ce cas,

,, . my.cosa . , , , ,

1 expression -. — est égale a zéro.

cosa + sm7-

Enfin, lorsque l'angle d'incidence a est de 45*^,

m, V . co s en,

l'expression — — ; — de la quantité de mouve-

cosoc + sinoc

ment cédée par un atome devient -^•

Il en résulte qu'au bout d'une série de chocs, lorsque l'angle d'incidence a, aura passé par toutes les valeurs comprises entre 0° et 90", l'atome aura cédé une quantité de mouvement moyenne correspondante à l'angle de 45", c'est-à-dire la moitié de sa quantité de mouvement totale.

En calculant la quantité de mouvement cédée par un atome dans son choc contre un autre atome, pour les valeurs de l'angle d'incidence a, de 0° à 90", seulement pris de o° en o", en additionnant les valeurs obtenues et en prenant leur moyenne, on voit comment se vérifie cette loi, à savoir, qu'au bout d'une série complète de chocs nous avons :

mv

C„, désigne la quantité de mouvement communiquée.

En voici la preuve dans le Tableau suivant :

l'tl

Moyenne ,

§ 48. — La quantité de mouvement imprimée à un point matériel immobile, choqué par un autre

d48 LES LOIS FONDAMENTALES DE L'UNIVERS.

point matériel de même masse et de même volume, se décompose en un mouvement de translation égal au produit de la masse par la vitesse de l'atome qui imprime le choc, avec le carré du cosinus de Tangle d'incidence divisé par le carré de la somme du cosinus et du sinus de cet angle, et en un mouvement rotatoire égal au môme produit de la masse par la vitesse avec le produit du cosinus par le sinus de l'angle d'incidence divisé par le carré de la somme du cosinus et du sinus de cet angle.

En voici l'expression :

mv. cos^oc

(cosa + sina.)'

????;,cosasina,

(cosa + sina)^

^ ????;, cos asm a, (2) R,

D'où :

mv.cosa /^z^. cos^a, + w2z;. cos a,sina,

(cosa4-sinGc) (cos7- + sina)^

T,~ désigne la quantité de mouvement en translation, et

Ri la quantité de mouvement en rotation transmise à l'atome choqué par l'atome qui imprime le choc.

Preuve. — Nous avons démontré (§ 46) que la quantité de mouvement cédée à l'atome choqué par

l'atome qui imprime le choc a pour expression

mv. cosa cosa + sina.

Nous allons maintenant déterminer quelle partie de cette quantité de mouvement est employée en translation et quelle autre partie en rotation par le point matériel qui était immobile avant le choc.

Pour le cas où Fangle d'incidence o. est égal à

zéro, nous avons démontré que toute la quantité de

. mv.(io?>a. . , , .

mouvement -. — estemplovee en translation,

cosoc + sma ^ " '

c'est-à-dire que dans ce cas il ne se produit pas de

mouvement rotatoire.

(Considérons maintenant l'autre cas extrême,

celui où l'impulsion est dans le sens de la tangente au point du choc.

Soient A et A' les deux atomes (fig. 6), FO et F'O

la direction tangentielle suivant laquelle ils s'entrechoquent au point de contact 0.

En vertu de la démonstration précédente, l'impulsion FO communiquée au point à par le point a dans la direction FF' et l'impulsion F'O communiquée au point a par le point a, dans la direction opposée F'F, sont le résultat de l'échange des impulsions respectives initiales de ces deux éléments « et d . Il en résulte que l'impulsion FO en s'appliquant au point d l'entraîne comme cela arriverait au plateau d'une balance en équilibre sur lequel on laisserait tomber un poids. Ainsi C'«' et CV/' font ici fonction de bras de balance ou de levier et C le centre de gravité de l'atome A' est le point d'appui du système au moment donné.

Telle est la raison pour laquelle les atomes k et A' tendent à s'imprimer un mouvement rotatoire par les impulsions tangentielles FO et F'O.

On peut mettre en évidence le fait de la rotation par une expérience aussi simple que décisive. La voici :

Si l'on suspend par des fils de soie, à un support commun, deux billes en acier très poli, de manière qu'elles se touchent à peine sur une ligne horizontale passant par leurs centres de gravité, il suffit de tordre le fil d'une de ces billes et de l'abandonner au mouvement rotatoire que cela lui imprime, pour

LE MOUVEMENT. 15i

lui voir communiquer peu à peu ce même mouvement rotatoire à la bille avec laquelle elle est en contact. Cela a lieu bien que les billes se touchent à peine par un contact purement tangentiel et bien que les surfaces de ces billes soient dures et polies. On peut d'ailleurs varier cette expérience de bien des manières et Ton arrive nécessairement toujours au même résultat.

Dans cette expérience, on voit que la bille immobile ne reçoit un mouvement rotatoire de l'autre bille que peu à peu, c'est-à-dire après que les éléments de la bille immobile ont reçu assez d'impulsions pour que la bille entière puisse prendre ce mouvement rotatoire.

Ce résultat est tout à fait conforme à la théorie que nous venons d'établir, puisque nous avons vu que dans un choc purement tangentiel les atomes A et A' n'échangent que les quantités de mouvement des points a et d . Il est évident que si cet échange ne donne pas des quantités de mouvement suffisantes pour faire tourner ces atomes d'une manière sensible après le choc, ils ont l'air d'avoir seulement glissé l'un sur Tautre.

En mécanique, on soutient que les chocs tangentiels ont pour unique effet de faire glisser les corps les uns sur les autres, d'où dérive une erreur positive, à savoir, que les chocs tangentiels n'impri-

ment absolument aucun mouvement rotatoire. On vient de voir que c'est faux au double point de vue théorique et expérimental, car si les chocs tangentiels ne pouvaient pas imprimer de mouvement rotatoire, les deux billes en acier poli ne s'imprimeraient pas ce mouvement par un glissement tangentiel répété. Or nous venons de voir qu'elles tendent à s'imprimer ce mouvement : donc l'erreur est bien mise en évidence.

Considérons maintenant le cas général où l'angle d'incidence a a une valeur quelconque entre 0" et 90°.

'^■■,L>iv/\\

Fi- 7.

Soit FO (fig. 7) la direction suivant laquelle se meut le point matériel A qui choque en 0 le point matériel immobile A'.

Soient v sa vitesse et m la masse de chacun d'eux.

De la démonstration précédente il résulte que l'impulsion FO agit simultanément dans les directions

OC et OP. Il s'ensuit que le point A' reçoit un mouvement de translation dans la direction OC, comme si le choc avait été dirigé sur la ligne des centres (§ 46), et un mouvement de rotation déterminé par l'impulsion qui agit dans la direction OP.

En elFet, soit DD' une ligne située dans le plan de la figure et qu'on peut considérer comme une barre rigide qui fait corps avec l'atome. On voit que rimpulsion, suivant la ligne OP, agit en I' comme une autre barre rigide qui viendrait choquer le bras dé levier CD' en T. La conséquence nécessaire en est que le bras de la balance DD', dont C est le point d'appui, puisque c'est le centre de gravité du corps, est entraîné dans le sens 01', comme le serait le plateau d'une balance qui recevrait un excès de poids sur l'un de ses deux bras.

Le levier DD' tourne donc à partir du point I' autour du point d'appui C dans la direction de la flèche, ce qui revient à dire que l'atome A' reçoit un mouvement de rotation autour de son centre de gravité.

Après avoir démontré que tout choc oblique imprime à l'atome choqué un mouvement de translation dans la direction de la ligne des centres, et un mouvement rotatoire dans la direction de la ligne d'impulsion, il nous reste à déterminer les quantités de mouvement respectives en translation et en

io4 LES LOIS FONDAMENTALES DE L'UNIVERS.

rotation dans lesquelles se décompose l'impulsion transmise. Ainsi FO = mv étant l'impulsion initiale du point matériel A, en vertu de la démonstration qui a conduit, dans le § 46, à exprimer par

mv.QO?>a. ,,. , . . -,

■ — : — 1 impulsion transmise par 1 atome A

cos a, + sin a, ^

à l'atome A', la partie que ce dernier emploie

en translation, sur la quantité totale reçue, est :

mv. COS' 7.

(cosa,4- sina)"^

et la quantité qu'il emploie en rotation est :

mv.Q,o^CL.?,mcL (cos ocH- sino,)^

En effet, partageons, d'après la loi établie § 46, la ligne FO ^= mv en deux parties proportionnelles aux deux cathètes OM =^ mv cos a et FM = mv sin oc,

ce qui nous donne : 0^ = -. — et NF =

cos 0-4- sino,

my.sina ^ ^ . , ,

rortons ensuite sur le prolongement

cos 0- + sin 0,

de FO la quantité proportionnelle OP = ON =

mv.co^a. . , , ,.

■ — : — et proietons-la sur la liene des centres.

cos a. + sin a ^ '' ^

En prenant maintenant sur la ligne OP les parties proportionnelles aux lignes OK = OP cos o, et

LE MOUVEMENT. loo

PK = OP sinoc, selon la même loi du §46, nous

obtenons :

OK

et

PK' =

C0S7- + sino,

PK

cos7,-^ sina

Or la quantité OK' représente ce que l'atome A' emploie réellement en translation, et la quantité PK' représente ce qu'il emploie en rotation. Par conséquent, en désignant le premier mouvement par T,. et le second par R^ et en mettant à la place de OK et de PK leurs valeurs en fonction de OP, puis en remplaçant OP par sa valeur en fonction de mv^ d'après les relations susétablies, nous avons :

R^==PK' =

(coso. + sinoc)''^ 7nv.cosoL sino,

(cosGc + sina)'^

Ainsi la somme de ces deux quantités de mouvement employées en translation et en rotation est égale à la quantité de mouvement reçue, à savoir :

(cosoc + sino,)'^ (cos a + sin 7-)- cos7- + sma

§ 49. — Lorsqu'un atome A', ayant une quan-

]o6 LES LOIS FONDAMENTALES DE L'UNIVERS.

tité de mouvement mv\ choque un autre atome A de même masse, animé d'une vitesse v^ moindre que celle de l'atome A' qui lui imprime le choc et se mouvant tous les deux sur la même ligne et dans le même sens, la quantité de mouvement C,„ transmise à l'atome choqué par l'atome qui lui imprime le choc est égale au produit de la différence de leurs quantités de mouvement initiales par le cosinus de l'angle d'incidence divisé par la somme du cosinus et du sinus de ce même angle, c'est-à-dire:

(1) C,„ = (wî;' — mv)

cosa + sm<x

d'où, après le choc, la quantité de mouvement q^ de l'atome A est :

/5)\ cosa

et celle q^ de l'atome A est :

/Q\ , . , , coso,

(o) q' =: mv — (mv — ?nv) — ; — =

^ ' ^ \ ''cosa + smoc

et comme, dans ce cas, oc est zéro, les formules (1), (2), (3), se réduisent aux suivantes :

(4) C;„ = fnv — tnv ,

(5) q^ = mv -f i^mv — ?nv) = mv ,

(6) q^, = ffiv — {?nv — î)iv) = mv.

Preuve. — Si les deux atomes étaient animés

des mêmes vitesses dans le même sens, ils ne se communiqueraient aucune quantité de mouvement, puisqu'il ne s'exercerait aucune pression de l'un sur l'autre à leur point de contact. Ce qui démontre qu'il ne peut se communiquer au point de contact que le surplus de la quantité de mouvement que possède l'atome (jui imprime le choc par rapport à l'atome qui reçoit le choc, comme cela a lieu dans le cas où un atome immobile reçoit le choc d'un atome en mouvement.

Les quantités de mouvement que possède chacun des deux atomes après leur choc sont représentées par les formules générales (2) et (3) qui découlent des démonstrations que nous avons données aux § 46, § 47 et § 48.

§ 50. — La quantité de mouvement que possède l'atome après son choc contre un autre atome, se compose de la somme de la quantité de mouvement qui lui est restée et de celle qui lui a été communiquée par l'atome contre lequel il a effectué ce choc.

En voici l'expression :

/ , . nw. sm 7- mv . cos a

cosoc+sma ' cosa+sina.'*

Preuve. — La démonstration concernant les quantités de niouvement conservées et reçues par

un atome dans son choc contre un autre atome a été donnée au § 46. G. q. f. d.

Remarque. — Nous avons démontré dans la première Remarque du § 46 que le coefficient

est toujours positif comme le cosinus

cosa + sinoc

de l'angle d'incidence a.

Il en est de même du coefficient —

coso- +sina

par la raison que l'impulsion imprimée par l'atome

tV>

IS

Fig. 8.

A' à l'atome A agit sur l'hémisphère opposé à celui où se trouve l'angle oc; par conséquent le cosinus a, pris par rapport à l'angle CON'i (fig. 8) opposé à l'angle a', est positif pour ce qui regarde la réduction. Lorsqu'on considère les quantités analogues de l'atome A', on arrive au même résultat, car on doit prendre pour origine des angles le point D'.

Les formules ainsi établies sont la véritable expression du phénomène, tel qu'il se passe en réalité.

D'ailleurs, en faisant la somme des quantités de mouvement conservées et reçues après le choc par chacun des atomes A et A', on voit que cette somme est égale aux quantités de mouvement initiales my + mv : ce qui devait être.

§ 51. — Tous les atomes de l'Univers, qu'ils soient à l'état d'Éther ou bien concentrés en Corps Célestes, ont toujours leur mouvement rotatoire dans le même sens que leur mouvement de translation, c'est-à-dire qu'ils tournent dans le sens qui va de la ligne d'impulsion vers la ligne des centres : c'est ce qu'on exprime, en astronomie, pour les Corps Célestes, par mouvement direct .

Fior. 9.

Preuve. — Soit A' (fig. 9) l'atome considéré; soit FI l'impulsion qu'il a reçue de l'atome A.

Des démonstrations précédentes il résulte que l'atome A' tourne dans le sens 01 K indiqué par la flèche.

Or, comme tout atome qui a un mouvement rotatoire Ta par la raison qu'il a reçu d'un autre atome une impulsion qui n'a pas passé par son centre de gravité, tous les atomes de l'Univers se trouvent dans le cas de l'atome A'. C. q. f. d.

§ 52. — Dans le choc de deux atomes , leur mouvement de translation et leur mouvement rotatoire, fondus pour chacun dans l'instant du choc en une seule quantité de mouvement, se communiquent respectivement sur leur ligne d'impulsion et sur leur ligne des centres et se décomposent, après le choc, en mouvement de translation et en mouvement rotatoire.

Preuve. — Dans l'instant du choc de deux atomes, leurs mouvements rotatoires sont arrêtés comme leurs mouvements de translation, et instantanément après le choc, ces quantités de mouvement fondues par l'arrêt pour chacun en une seule se communiquent par le point de contact aux atomes qui se sont choqués, et cela sur leurs lignes d'impulsion et sur leur ligne des centres, conformément aux démonstrations précédentes, parce que ce sont les seules lignes sur lesquelles il est possible qu'il

y ait une transmission de mouvement dans le choc de deux atomes : d'où découle, toujours en vertu de ces démonstrations, la décomposition de chacune de ces deux quantités de mouvement totales en mouvements de translation et en mouvements rotatoires.

§ 53. — Quelles que soient les situations respectives des impulsions de deux atomes, les lois établies jusqu'ici restent les mêmes, avec la seule différence que les axes de rotation de ces atomes, après le choc, au lieu d'être tous deux perpendiculaires à un même plan, comme dans les cas considérés jusqu'ici, sont chacun perpendiculaires au plan déterminé par la ligne des centres et par la direction de l'impulsion que reçoit chacun de ces atomes.

Preuve. — Soit A (fig. 10) l'atome qui reçoit une impulsion F T de l'atome A', et dont la direction est dans un autre plan que celui de l'impulsion FI de l'atome A et de la ligne des centres.

Au moment du choc, le plan dans lequel s'effectue l'impulsion considérée est déterminée par la direction de l'impulsion F T et par la ligne des centres ce. Or, comme le point d'application de la force se trouve sur un grand cercle situé dans ce même

plan, cela détermine la rotation de l'atome A autour

d'un axe perpendiculaire à ce plan. Par les mêmes raisons, l'atome A' tourne après le choc autour d'un axe perpendiculaire au plan formé par la ligne

Fis:. 10.

d'impulsion FI de l'atome A et par la ligne des centres.

g 54. — Tous les atomes de l'Univers, sans exception, qu'ils soient isolés dans l'Éther ou concentrés en matière pondérable, ont toujours leur axe de rotation perpendiculaire à l'impulsion qui les anime.

Preuve. — Nous avons vu (§ 39) que chaque atome possède une certaine quantité de mouvement primordiale en rapport avec sa masse. Nous avons également vu (§ 44) que les atomes s'entre-choquent. En prenant les choses à l'origine du mouvement, les

atomes, arrivant à la rencontre les uns des autres, n'auraient pas de mouvement rotatoire et s'en imprimeraient un après les premiers chocs qui ne passeraient pas par leurs centres de gravité. Or, d'après ce que nous venons de démontrer dans le paragraphe précédent, ces chocs déterminent toujours dans chaque atome un mouvement rotatoire dont l'axe est perpendiculaire au plan passant par la ligne des centres et par l'impulsion (fui lui a été communiquée.

Cet atome, après le choc, aura donc, par cette raison, son axe de rotation toujours perpendiculaire à l'impulsion qui l'anime.

C'est suivant cette loi que, dans les Corps Célestes, l'axe des pôles est toujours perpendiculaire au plan équatorial. En se choquant ensuite contre un autre atome et en prenant une nouvelle direction sur une impulsion nouvelle, Taxe de rotation de l'atome deviendra, par la même raison encore, perpendiculaire à cette nouvelle impulsion, et, quels que soient les chocs qui s'effectuent, cette loi restera toujours constante.

§ 00. — Au bout d'une série de chocs correspondant à toutes les valeurs comprises entre 0" et 90" des angles d'incidence des impulsions avec la

d64 LES LOIS FONDAMENTALES DE L'UNIVERS.

ligne des centres de deux atomes qui s'entre-choquent, sur la somme totale des quantités de mouvement successives conservées et reçues par un atome, après ses chocs contre un autre atome, deux tiers sont employés en translation et un tiers en rotation; d'où il résulte que le rapport des quantités de mouvement en translation et en rotation de tout atome est comme ^ à tj ou bien comme deux à un.

Preuve. — Nous avons démontré (§ 46) que le mouvement de translation imprimé à un atome est zéro lorsque l'angle d'incidence a est de 90", et qu'il est égal à 1 lorsque 7- est 0^ Nous avons également démontré que le mouvement de rotation est presque zéro lorsque oc est de 90% qu'il est également zéro lorsque a est 0", qu'il atteint son maximum lorsque a est de 45", et que dans ce cas il est la moitié du maximum 1 de la quantité de mouvement totale de l'atome. Il en résulte que le rapport des quantités de mouvement de translation et de rotation d'un atome est comme ^ à ^ ou bien comme deux à un.

En effet, nous avons démontré que sur la quan-

.. , , . 7nv. cos a,

tite de mouvement : — reçue par un atome

cos a, + sin a

dans son choc contre un autre atome, il emploie

en translation une quantité de mouvement égale à

mi). cos'^ o.

7 ■ — -; et en rotation une quantité éeale à

(ces a + sin 7-)- ^ ^

;wy.eosasinoc ^-, , , , , .

7 ■ — -. -; . Or le rapport de ces deux dernières

(C0S7-+Sni7-)'

quantités se réduit a -.

sm 7,

Il en est de même de la quantité de mouvement

mv. sin t- , , ,

7 ^ r conservée par un atome dans son choc

(cosa,H-s]n7-)'

contre un autre atome ; car, comme nous l'avons démontré antérieurement, sur cette quantité de mouvement l'atome emploie en translation la quantité

wy.sin7.cos7- , , .. , ..., mr.^w^a. 7 -. -jet en rotation la quantité , ~ — ^•

(cosa + sinoc)^ ^ (cosT. + sina)''

Or le rapport de ces deux dernières quantités se

réduit aussi, comme dans le cas précédent, k—

^ sin 7.

Mais —. — ^ = cots;, a. ; et en prenant la moyenne des sin 7- ^ ^

valeurs connues de la cotg. pour les variations de

a de 0° à 90°, on obtient le nombre 2, ce qui vérifie

la loi susétablie. C. q. f. d.

© désigne la vitesse angulaire d'une bille, d^ le diamètre d'un élément de la bille, et n le nombre d'éléments contenus sur la périphérie d'un grand

cercle de cette bille, enfin ?v la vitesse de rotation de la bille.

Preuve. — Soit B une bille de masse m^ soit mVr la quantité de mouvement employée à la rotation de cette bille. Il s'agit de déterminer sa vitesse angulaire B.

A cet effet, nous devons d'abord prendre un élément de la bille B assez petit pour que les courbes occupées par ces éléments soient confondues sensiblement avec les diamètres de ces éléments. Soit e cet élément, soit Ng le nombre d'éléments e contenus dans cette bille. Nous savons que, pendant qu'un élément situé sur Taxe de rotation tourne sur luimême, un élément situé sur la circonférence d'un grand cercle perpendiculaire à Taxe de rotation fait le tour de ce grand cercle. Voilà les deux limites entre lesquelles doivent se partager les vitesses de tous les éléments de la bille B, et la somme Vr de toutes ces vitesses multipliée par le nombre N^ doit toujours être égale à mv^^ puisque c'est là la quantité de mouvement totale employée en rotation. A cet effet, nous divisons le diamètre D de la bille B parr4 qui est le diamètre de l'élément p. En faisant passer des cercles inscrits par chacune de ces divisions et en désignantpar^de nombre de ces cercles, nous avons:

(1) D = (27z-hl)f4.

En désignant par r„ le rayon d'un cercle qui a nde pour rayon, on a :

(2) ncle = rn.

En inscrivant avec le diamètre de un polygone régulier sur le cercle inscrit considéré, on voit que le nombre N,i des éléments situés sur la circonférence de ce cercle est :

ou bien, en vertu de la formule (2) :

Ainsi le nombre des éléments situés sur la circonférence de chaque cercle est proportionnel au nombre n qui indique le nombre des diamètres de contenus dans le rayon de ce cercle.

Pour obtenir le nombre d'éléments contenus dans le plan du grand cercle de la bille, on doit eifectuer la sommation des éléments situés sur la circonférence des différents cercles depuis n = 1 jusqu'à

(^) '*=|-î=JS-'

On sait que la somme de la série des nombres naturels pris jusqu'à une limite n est exprimée par :

En remplaçant n par sa valeur de la formule (5), on a :

ce qui nous donne le nombre des éléments contenus dans le plan d'un grand cercle de la bille B. Maintenant, pour avoir le nombre d'éléments N^ contenus dans toute la bille, on n'a qu'à multiplier

la valeur S, formule (7),pary; on obtient alors :

En désignant par 6 la vitesse angulaire, on sait que la- vitesse absolue de tous les éléments situés sur la même circonférence de rayon nde est Qndg^ et comme il y a sur cette circonférence 2izn éléments, la somme ^y^ des vitesses absolues de tous ces éléments est :

(9) ^y^ = '2,TZQde?l'.

Nous devons par conséquent faire la sommation

dos carrés do tous les nombres naturels à partir de 1 jusqu'à n.

En désignant par Q cette somme, on a :

(10) i\ = Y:'^^^n'='^-^\tn^-\-^iv^n\

En multipliant d'abord la somme Q par tiz%de

et ensuite ce produit encore par -r , on obtient la

somme P des vitesses absolues dans le mouvement rotatoire de tous les éléments de la bille B, à savoir :

(M) Y=tie^iU%

Clg

La somme des quantités de mouvement des éléments de la bille B reçues par le choc qui Ta mise en rotation est, d'après ce qui précède : Ng Vr.

D'un autre côté, la somme des quantités de mouvement employées dans le mouvement rotatoire de tous les éléments de la bille B est, d'après la formule (11) :

Puisque la quantité de mouvement mi\- qui est égale à Ng y,, est employée tout entière en rotation par la bille, en mettant à la place de Ne sa valeur de la formule (8), nous avons :

(1 2) 2 71- 0 Qe = ^-r Vr-

En tirant de cette formule, 0, nous avons :

dans laquelle, en remplaçant Oe par sa valeur de la formule (10) et en réduisant, nous trouvons la formule définitive pour la vitesse angulaire :

On voit que la vitesse angulaire 6 est dans tous les cas proportionnelle à la vitesse i\, qui a imprimé le mouvement rotatoire. C. q. f. d.

Remarque. — Nous venons de résoudre ce problème par des calculs relativement simples, et cela seulement parce que, en vertu de notre méthode, nous avons suivi la nature pas à pas dans le phénomène étudié.

Corollaire. — Le diamètre de de l'élément e, considéré dans ce paragraphe, doit être pour toute sphère, quel que soit son volume, la 159'"%4 partie de son rayon, c'est-à-dire égal à la corde qui soustend un arc de 0%33...

En voici la démonstration :

Soit C (fig. H) la périphérie d'un grand cercle de la Terre.

Soient Cj et Co les périphéries de deux cercles,

riin circonscrit et l'autro inscrit par rapport au cercle C et tous les trois compris dans le même plan.

Soit 7. un angle de 0°,33... formé par les rayons OA et OB de la Terre.

On sait que, d'après les mesures des méridiens

FiiT. M.

terrestres, les géomètres ont établi que le maximum de longueur d'arc, pris à la surface de la Terre, qui peut être confondu avec sa corde est de iO kilomètres, qui est la 159™^, 4 partie du rayon de la Terre et qui sous-tend un angle de 0°,33...

On voit qu'il en est de môme pour les cercles Cl et G2, ainsi que pour les cordes AiBi et AoBo.

Il en résulte- que pour déterminer le diamètre de

de l'élément e on doit, dans tous les cas, prendre la

159'"%4 partie du rayon de la sphère dont on veut

calculer 6.

Observation. — A l'aide de cette formule, on peut calculer aussi, dans la balistique, la vitesse angulaire d'un projectile, quelle que soit sa forme, pour en déduire sa force de pénétration.

!^ 57. — Lorsque sur deux forces données on construit un parallélogramme, la résultante en translation est toujours plus petite que la diagonale de ce parallélogramme.

Voici l'expression de la résultante R des deux forces données mv et mv :

sinf90°-|

cos(90° — i) + sin 90^— p(

tmv . cos a! mv" . cos cl' n

cosa' + sina cosa." + sina"J

mv et mv" désignent les quantités de mouvement qui constituent les forces primitives du parallélogramme.

y désigne l'angle des directions des forces.

a = 90° — ^ , désigne l'angle que fait chaque

impulsion avec la ligne des centres des points matériels qui impriment les impulsions. (Voyez Remarque, § oO.)

ol et a," désignent les angles formés par la diagonale du parallélogramme avec les directions des forces données.

Mais lorsqu'on construit un parallélogramme sur une force donnée qui représente une résultante en translation, alors cette résultante peut être considérée comme égale à la diagonale du parallélogramme ainsi construit, dont les côtés sont des réductions des composantes primitives.

Voici l'expression de la résultante donnée Ki qui est prise pour la diagonale :

(2) Ri = m^Vx cos a' + m^v'^ cos oc" .

mxi\ et m^,i\ désignent les forces primitives réduites, c'est-à-dire les côtés du parallélogramme dont Ri est la résultante donnée en translation.

Dans ce cas, comme on a pris en entier les cosinus de a' et de oc" au lieu de prendre seulement leurs quantités proportionnelles, l'excès de la somme des composantes ne représente pas la valeur proportionnelle entière des mouvements rotatoires définitifs, produits par les sinus de al et de oc" divisés respectivement par la somme du cosinus de oc' et du

sinus de a! et par la somme du cosinus de 7." et du sinus de a', ce qui ne dérange d'ailleurs pas les calculs de ceux qui construisent un parallélogramme sur une résultante donnée, puisqu'ils ne s'occupent pas du mouvement rotatoire et que le mouvement en translation leur est donné par la résultante sur laquelle ils ont construit le parallélogramme ; seulement ils ne doivent pas se figurer qu'ils ont les composantes primitives.

Mais lorsque, étant données deux composantes, on veut en déduire la résultante, en prenant, comme on le fait, pour sa valeur, la diagonale du parallélogramme construit avec ces composantes, on commet une grande erreur, comme nous le démontrons dans ce paragraphe.

Preuve. — Soit A' et A" (fig. 12) deux points matériels de même masse m, ayant les quantités de mouvement ?nv =F'C' et ?nv" = F" C" qui choquent suivant leur ligne des centres U V un troisième point matériel A immobile et de môme masse.

L'expérience aussi bien que nos démonstrations antérieures prouvent que, dans ce cas, le point A reste immobile après le choc et que les points A' et A" échangent leurs quantités de mouvement respectives à travers le point A et s'en vont chacun du côté opposé avec la quantité de mouvement de l'autre.

L'expérience suivante met bien en évidence ce fait. Si l'on suspend à un support commun trois billes dures de même volume et de même masse de manière que leurs centres se trouvent sur la même ligne horizontale, si l'on écarte d'angles différents les deux billes extrêmes et qu'on les abandonne à l'action de la pesanteur, on voit que la bille centrale reste immobile après le choc, tandis que les billes extérieures s'enlèvent vers les côtés opposés, chacune avec la quantité de mouvement de l'autre.

Ce phénomène se passe comme si les deux billes se choquaient directement; par conséquent, les lois démontrées (§§ 46 et 48) s'appliquent aussi au cas où la transmission se fait par l'intermédiaire d'une autre bille.

Ainsi, dans le cas où y est de 180° et les trois mobiles de même masse, la résultante R des quantités de mouvement nw et mv est nulle, puisque le point A reste immobile après le choc. Nous avons démontré (§ 46) que lorsqu'un atome choque un autre atome suivant leur ligne des centres, il lui transmet toute sa quantité de mouvement : c'est ce qui a lieu dans le cas susindiqué pour les deux atomes extrêmes. Nous avons également démontré (§ 46) que lorsque la ligne d'impulsion forme avec la ligne des centres un angle quelconque a, la quan-

tité de mouvement C,„ que l'atome qui imprime le choc transmet à celui qui le reçoit, est :

^ ' cosa. + sma

En conséquence, lorsque l'angle des impulsions y décroît, le point A', étant par exemple dans la position A'i , transmet par l'intermédiaire du point A au point A", lequel est dans la position Ai', au lieu de toute sa quantité de mouvement FÔCj = F'C = CFi', comme dans le cas de y = 180°, seulement la partie proportionnelle :

cos(90°— I

(2) C// = mv — =-^- ^ := ()"d'.

cos(90°— |) + sin(90° — 1^

La quantité de mouvement mv = FÔCj transmise par l'atome A^ à l'atome A suivant leur ligne des centres C^C est représentée en grandeur et en direction par la ligne GB'. Or, comme toutes les parties de l'atome A se meuvent, par suite de cette impulsion, sur des lignes parallèles à OB', l'impulsion donnée par l'atome A à l'atome A'î au point de contact 0", qui est le point d'application de la force, est représentée en grandeur et en direction par la ligne 0"/'^GB'. Maintenant, pour détermi-

ner la quantité de moiivemont transmise par la force Oy à l'atome Ai , nous devons décomposer 0"/" sur la ligne 0"fi parallèle à Ci'Ci', parce que celle-ci est la ligne des centres des atomes A'i et Aï qui se transmettent, par l'intermédiaire de l'atome A, une partie de leurs quantités de mouvement, de la même manière qu'ils se transmettent toute leur quantité de mouvement lorsque y= 180% comme cela a été démontré. En faisant cette décomposition et en prenant la partie proportionnelle du cosinus a, conformément au § 46, et comme

cos a = -yjjr, et sin cl = ^yjr, = ^yji par construction,

nous avons le rapport suivant :

c'est-à-dire :

,,, 0" d' cosa

mv cos a + sin a.

Et comme a =90" — |, nous déduisons

cos(90°— I (5) 0"d' = mv'

cos(^90°-|Wsinf90°-|) Il en est de même de la quantité de mouve-

ment transmise par le point A'i' au point A'i par l'intermédiaire du point A, laquelle, au lieu d'être F"C" comme dans le cas de y := 180°, est :

cos(90*'— l' (6) C^" = mv ;^^ = OV/'

cos(90<' — Ij+sin^OO^-l)

La quantité de mouvement O'V/' formule (5) transmise à l'atome Aj se décompose, conformément au § 48, sur la ligne C'CJ', en mouvement de translation suivant la ligne 0"C|', et en mouvement de rotation suivant la flèche Z". Par les mêmes raisons, ce fait a lieu aussi pour la force OV/" formule (6), qui se décompose en mouvement de translation suivant la ligne O'CJ et en mouvement de rotation suivant la flèche Z'.

Dans le § 46, nous avons démontré que la quantité de mouvement conservé Gj par l'atome qui a imprimé le choc est :

cos a, + siu 7-

Comme dans le cas considéré le point A^ transmet au point A toute sa quantité de mouvement, puisque le choc s'eff*ectue sur leur ligne des centres Ci'C, c'est le point A qui conserve la quantité de mouvement correspondante à la formule (7).

En conséquence, on a :

sinf'oO'' — I (8) d'f = mv ^ =C2".

cosfOO^-lj+sinfW-lj

Il en est de même de la quantité de mouvement que le point A conserve sur la quantité de mouvement totale que lui a transmise le point A". En conséquence, on a :

sinfW — I' (9) d"f' = mv' ■ ^ ^ ^^ — =Cr.

cos(90°-|Wsinf90'' — I'

Si l'atome A'( était immobile au moment du choc et n'imprimait par conséquent aucune impulsion, à Tatome A, celui-ci s'en irait après le choc (§ 46) suivant la ligne CjC avec la quantité de mouvement représentée en grandeur et en direction par C?" formule (8).

Mais comme l'atome K[ imprime à l'atome A suivant la ligne G'ÎG une impulsion représentée en grandeur et en direction par G/", l'atome A, dont le centre de gravité est dans ce cas le point d'application des forces, est sollicité par les deux impulsions G? et Gz .

Constatons maintenant que le centre de gravité C du mobile A doit se mouvoir dans tous les cas sur la diagonale du parallélogramme des forces, formé par les deux composantes, par la raison que c'est le seul lieu géométrique pour un parallélogramme donné, sur le parcours duquel le mobile A peut se mouvoir sans que les deux forces qui lui sont appliquées et qui sont les côtés du parallélogramme changent de direction. Or, comme il n'intervienv aucune cause pour changer la direction initiale de chacune de ces deux forces, le centre de gravité G de Tatome A se meut nécessairement sur la diagonale CD. Toute autre position prise sur une ligne quelconque différente de la diagonale entraînerait un changement dans la direction des forces, ce qui est impossible.

Toutes nos démonstrations antérieures prouvent que le mobile qui a reçu un choc d'un autre mobile, quelle que soit la direction de l'impulsion, se meut toujours avec la quantité de mouvement en translation qu'il a reçue suivant la ligne des centres de ces deux mobiles. Or, comme le centre de gravité Cdu mobile A effectue son mouvement de translation suivant la diagonale CD, il en résulte que, dans ce cas, c'est cette ligne qui tient lieu de la ligne des centres sur laquelle doit se faire la décomposition des, forces Ci' et C?", pour déterminer

les quantités de mouvement du mobile A en translation et en rotation.

Cette décomposition des forces en translation et en rotation doit nécessairement se faire en vertu de la loi établie § 48, car ce n'est que dans le cas où la force Ci' serait dans le sens de la diagonale CD que cette force serait employée toute en translation. Mais comme l'impulsion C2'est oblique par rapport à la diagonale CD, elle doit nécessairement imprimer au mobile A, outre un mouvement de translation suivant CD, aussi un mouvement en rotation vers la diagonale dans le sens de la flèche Z". Il en est de même de la force Ci" .

Ainsi, en faisant cette décomposition sur la diagonale et en prenant les parties proportionnelles aux cosinus des angles a' et 7." (§46), nous obtenons la résultante définitive en translation CR^.

Voici l'expression algébrique de cette résultante désignée dans l'énoncé par R :

sin 90°-^

R = ?nv' — X

/oAo T\ , • /nno T\ cosa,+sin7: cos 90" — ^ + sin 90" — ^

sin 90" — ^ „ \ z/ cos 7.

/(lAo T\ , • /nno T\ COS 7, +S]n7cos 90° — -k + sm 90°— p:

OU bien :

sin(90'' — ^

cos(90° — |] + sin(90° — I

[mv .cosa^ mv .cosa r-^ ^ + cosoc +smoc

+ smoc cosa H-sin7. I C. (|. r. (I.

Il nous reste à démontrer que lorsqu'on construit un parallélogramme sur une force donnée, qui représente une résultante en translation, alors cette résultante est égale à la diagonale du parallélogramme ainsi construit, dont les côtés sont des réductions des composantes primitives.

Voici cette démonstration :

Du moment où la résultante en translation est donnée, il n'y a plus lieu de déduire ni une partie des forces transmises, ni une partie des forces employées en rotation, puisque ces quantités de mouvement ont été déjà déduites. En conséquence, les côtés du parallélogramme formé sur cette résultante comme diagonale sont des réductions des forces primitives, et comme la somme de leurs projections sur la diagonale exprime la quantité de mouvement en translation qui constitue la résultante donnée, il en résulte que dans ce cas la résultante est égale à la diagonale. G. q. f. d.

Remarque. — Lorsque l'un des deux angles du parallélogramme des forces est plus grand que 90°,

bien que le cosinus de cet angle soit négatif, le

coefficient de réduction proportionnelle —

cosa + sina,

entre toujours avec le signe plus, par la raison que, dans cette opération, il s'agit de réduire la quantité — cosa en parties proportionnelles à la somme des valeurs absolues de cos a et de sina.

Premier corollaire. — En désignant par Ro les quantités de mouvement employées en mouvement rotatoire par le point matériel A, nous avons, conformément à la démonstration ci-dessus :

sin(90° — ^

cos(90°-|U-sinf90"-^

inv .'èxncL mv . sin a "i

00 H- sin ix J

cosa-i-sina cos a -f

En désignant encore par R^^ les quantités de mouvement transmises par l'intermédiaire de l'atome A aux atomes A/ et A", nous avons toujours, conformément à la démonstration ci-dessus :

cos(90°-ï

(13) R,„ = ^ [mv + 7nv"].

cos(90°-|j-fsin(90° — I

Enfin, en désignant par i: la somme R + Ro + Rw , nous obtenons :

(14) 'Z = ?)îr' + }7ir'\

ce qui devait être.

Oltservons maintenant que. sur les deux quantités de mouvement rotatoire de sens contraire du mobile A, après le choc, exprimées formule (12), c'est Texcès seul d'une de ces deux quantités qui produit la rotation de ce mobile, dans le sens de la plus grande. Quant aux parties égales de ces deux quantités de mouvement rotatoire de sens contraire, elles produisent dans les corps pondérables les vibrations qui constituent la chaleur, et dans les atomes seulement des oscillations. Il en est ainsi, parce que les atomes n'étant pas composés, comme les corps pondérables, de plusieurs parties séparées par du vide, les vibrations entre les différentes parties qui constituent la chaleur ne peuvent pas se produire dans l'atome. Les deux parties de quantités de mouvement rotatoire égales et contraires déterminent une oscillation de Taxe de rotation, laquelle devient circulaire aux pôles par suite de la rotation de l'atome.

En Yoici la démonstration :

Dans le plan perpendiculaire à Taxe de rotation,

et qui passe par son centre, l'excès de l'un des deux mouvements rotatoires sur l'autre détermine la rotation du mobile dans le sens de cet excès. A partir de ce plan, vers les pôles de l'axe de rotation, l'effet de cet excès diminue, puisque la vitesse en rotation de tout point pris sur la surface du mobile décroît vers les pôles, en raison du cosinus de sa latitude. /

Comme la vitesse en rotation devient presque nulle aux pôles, pendant que les deux quantités de mouvement rotatoire de sens contraire restent constamment égales dans tous les pians depuis l'équateur jusqu'aux pôles, il en résulte que, sous l'action et la réaction alternative de ces deux quantités de mouvement rotatoire égales et contraires, l'axe de rotation prend un mouvement oscillatoire.

Ces oscillations sont circulaires autour de la position normale de chacun des pôles de l'axe de rotation, par suite du mouvement rotatoire du mobile autour de cet axe. Observons aussi que le maximum des oscillations a lieu aux pôles, pendant qu'au milieu de l'axe ces oscillations sont presque nulles, ce qui démontre encore que le mouvement rotatoire du mobile et son mouvement oscillatoire sont, de l'équateur aux pôles, en raison inverse l'un de l'autre.

Aujourd'hui, en mécanique, on affirme que deux

forces égales et contraires se neutralisent et ne produisent aucun effet.

C'est une erreur, car toute quantité de mouvement doit produire un effet, c'est-à-dire un déplacement quelconque, parce qu'elle ne peut pas être détruite. C'est ce que nous venons de démontrer dans ce cas.

Ce mouvement oscillatoire circulaire des pôles d'une sphère en rotation est analogue à ce qu'on appelle, en astronomie, la nutation.

Deuxième corollaire. — Lorsque l'angle y formé par les deux impulsions est égal à 180°, la résultante est nulle.

Preuve. — Voyez la démonstration du j::; ol .

Troisième corollaire. — - Deux points matériels ne peuvent pas pousser simultanément un troisième point sous un angle y moindre que 60°, dans le cas où ces trois points ont le même volume et où les impulsions sont sur la ligne des centres.

Preuve. — 11 en est nécessairement ainsi parce que les lignes des centres de trois sphères de même diamètre, tangentes entre elles, forment un triangle équilatéral. Or, comme toute force ne peut pas être autre chose que l'impulsion d'un point matériel sur un autre point matériel, on a tort aujourd'hui, en mécanique, d'admettre que deux forces peuvent pousser simultanément un point matériel sous un

angle moindre que 60". Les angles plus petits que 60° proviennent du croisement des lignes matérielles, mais ne peuvent pas provenir du contact des bouts de deux lignes matérielles, parce que ces deux bouts ne peuvent pas se confondre en un seul, puisque ce sont deux points matériels. D'ailleurs, si l'angle y pouvait diminuer au-dessous de 60° et arriver enfin à être égal à zéro, ce qui ne pourrait se réaliser que si les deux points matériels qui impriment simultanément leurs chocs au troisième point pouvaient se confondre en un seul, lequel serait le point d'application de la force (fig. 10); alors, dans ce cas, comme dans tous les autres, la loi se vérifierait encore, et, dans le cas de Y = 0, la résultante serait :

(7) "^ ^= mv -\- 7nv" .

<3uatrième corollaire. — A mesure que y décroît, la résultante augmente.

Preuve. — Voyez la démonstration du § 57.

Nous donnons dans le Tableau suivant les valeurs de la diagonale D, de la résultante R et du rapport

Y" pour le cas où mv' = o et nw" = 1 , et Tangle y

variant de 10° en 10°, depuis 180° jusqu'à 60°. On voit que le maximum de la résultante correspond à

l'angle de OO'' et ne dépasse que de peu la moitié

de la diagonale.

mv mv

Cinquième corollaire. — La somme des deux forces étant constante sous le même angle y, la résultante croît avec l'excès de Tune sur Tautre.

Preuve. — A mesure que l'excès de Tun des côtés du parallélogramme des forces augmente, l'angle

que forme la diagonale avec le grand côté diminue ; la diagonale augmente en se rapprochant de plus en plus de la somme des côtés du parallélogramme, et, comme la résultante augmente avec la diagonale, il est démontré que la résultante croît avec Texcès de l'une des deux forces sur l'autre.

Le Tableau suivant met en évidence la loi démontrée dans ce corollaire :

LES FORCES mv' + mv" = 10