L'EXCÈS

mv' = o mv" —-a

mv' — mi'"= 0

mti' = 6 mu" = 4

mv' — mv" = 2

mv' = 7 mv" = 3

mv' — mv" = 4

mv' = S mv" = 2

mv' — mv" r== 6

mv' = 9 mv"^=l

mv' — mv" = 8

mv' = 9,3 ?nu" = 0,.)

mv' — mv" =^ 9

mv' = iO mv" = 0

mv' — ?n«"^10

En considérant la formule de la résultante R :

sin[90° — J

) cos^90«-|j + sin^90^-|j

i r t7î v .cos OL mv" .cos'x' i

[ Lcos CL + sin a' cos a" + sin a," J

et en désignant le premier facteur par K et le second par M, d'où :

on voit que, quels que soient les angles ol' et oc", et quelles que soient les valeurs de ?nv' et de mv'\ la valeur de la diagonale D, dont l'expression est :

(3) D ^= mv . cos OL + mv" . coii cl" ,

diffère toujours en plus, de peu, de la valeur de la quantité M, puisque les dénominateurs de cette expression dépassent, dans tous les cas, de peu l'unité.

Les grandes différences entre la résultante R et la diagonale D dépendent principalement du coefficient K.

Le Tableau suivant fait voir comment, en effet, la résultante ne peut jamais dépasser de beaucoup la moitié de la diagonale. La cause réelle de ce phénomène ressort des démonstrations que nous avons

données dans ce paragraphe, où nous avons vu que plus l'angle y augmente, plus les deux mobiles qui impriment les impulsions se transmettent mutuellement, à travers le mobile poussé, une plus grande partie de leurs quantités de mouvement respectives, ce qui a pour résultat la diminution correspondante de la résultante.

Nous donnons dans le Tableau suivant les valeurs de K correspondantes aux angles y, depuis 60" jusqu'à 180°:

Remarque. — De la démonstration donnée dans ce paragraphe, il résulte que l'on commet en mécanique deux erreurs dans la composition des forces lorsqu'on veut en déduire la résultante. La première erreur, c'est de ne pas tenir compte des quantités de mouvement que les points qui impriment les impulsions se communiquent réciproquement par l'intermédiaire du point sur lequel ces impulsions agissent.

La seconde erreur consiste en ce que, dans la décomposition des forces que l'on fait sur la diagonale, on ne tient pas compte du mouvement rotatoire qui doit nécessairement se produire, comme nous l'avons démontré dans ce paragraphe.

Toutes les démonstrations données jusqu'à présent que la résultante en translation , ainsi déterminée , est égale à la diagonale , contiennent au fond ces deux erreurs fondamentales , comme cela ressort de nos démonstrations contenues dans ce paragraphe.

Pour montrer comment on a été induit en erreur dans la composition des forces, analysons la démonstration que Newton donne à ce sujet dans les Principes mathématiques de la philosophie naturelle^ au corollaire P"" des Lois. — Voici ce corollaire :

« Un corps poussé par deux forces parcourt, par « leurs actions réunies, la diagonale d'un parallélo-

« gramme dans le même temps dans lequel il aurait « parcouru ses côtés séparément.

« Si ce corps, pendant un temps donné, eût été « transporté de A en B d'un mouvement uniforme « par la seule force M imprimée en A, et que, par « la seule force N imprimée dans le même lieu A, « il eût été transporté de A en G, le corps, par ces « deux forces réunies, sera transporté dans le même « temps dans la diagonale AD du parallélogramme « ABGD, etc. » (Fig. a.)

En faisant ce raisonnement, Newton se représente le phénomène tout autrement qu'il ne se passe en réalité.

En effet, nous avons démontré (§ 57) que les impulsions M et N, agissant à la fois sur le point A, se transmettent réciproquement, par l'intermédiaire de ce point, une partie de leurs quantités de mouvement et sont par là réduites. Par conséquent, au bout du

temps donné, le point A qui serait arrivé en B s'il avait été poussé par la seule force M, non réduite, ou bien en C, s'il était poussé par la seule force N , aussi non réduite, du moment où il est poussé simultanément par les forces M et N, réduites aux valeurs AP et AQ, il n'arrive plus en D, mais en un point intermédiaire entre A et D.

Ensuite, comme la masse du mobile A est poussée simultanément par deux forces dans des directions différentes, il en résulte nécessairement un mouvement rotatoire de cette massé, comme nous l'avons vu dans ce paragraphe. En conséquence, les composantes AP et AQ sont encore réduites aux valeurs AG et AF, d'où il résulte que le mobile arrivera dans le temps donné en R, et, par conséquent, la résultante en translation des forces AB et AC est non pas AD, comme le croit Newton, mais bien AR, qui est la somme des projections proportionnelles de AG et de AF sur la diagonale, c'est-à-dire :