RÉFLEXION GÉNÉRALE

« Nous voilà clone conduits par le seul raison- (( nement à une idée claire que les géomètres n'ont (( pu tirer des formules de l'analyse. C'est un nouvel « exemple qui montre l'avantage de cette méthode (( simple et naturelle de considérer les choses en (( elles-mêmes, et sans les perdre de vue dans le (( cours du raisonnement; car, si l'on se contente, « comme on le fait d'ordinaire, de traduire les pro- (( blêmes en équations, et qu'on s'en rapporte ence suite aux transformations du calcul pour mettre « au jour la solution qu'on a en vue, on trouvera le « plus souvent que cette solution est encore plus « cachée dans ces symboles analytiques qu'elle ne (( l'était dans la nature même de la question pro- « posée. Ce n'est donc point dans le calcul que ré- « side cet art qui nous fait découvrir, mais dans « cette considération attentive des choses, où l'es- « prit cherche avant tout à s'en faire une idée, en « essayant, par l'analyse proprement dite, de les « décomposer en d'autres plus simples, afin de les <( revoir ensuite, comme si elles étaient formées par (( la réunion de ces choses simples dont il a une (( pleine connaissance. Ce n'est pas que les choses « soient composées de cette manière, mais c'est

(( notre seule manière de les voir, de nous en faire u une idée, et partant de les connaître. »

iV. D. — Par cette dernière réflexion, Poinsot n'entend pas professer le scepticisme, qui ne saurait trouver accès dans l'esprit droit d\m géomètre. Mais Poinsot fait cette réflexion parce qu'il a procédé réellement ainsi dans sa théorie nouvelle de la rotation des corps. Ainsi, pour donner une image sensible de cette rotation, il établit que : « La rotation « d'un corps, sur un axe qui varie sans cesse de (( position autour d'un même point fixe, n'est autre « chose que le mouvement d'un certain cône, dont <( le sommet est en ce point, et qui roule actuelle- (( ment, sans glisser sur la surface d'un autre cône « fixe de même sommet. »

Et, pour avoir une expression plus claire de ce qui regarde la direction que prend l'axe instantané par rapport au plan du couple qui lui donne naissance, Poinsot imagine encore, autour du centre de gravité du corps et sur les directions de trois axes principaux, un ellipsoïde central avec des axes dont les carrés sont réciproques aux trois moments cï inertie du corps autour des mêmes axes.

Or, comme il n'y a en réalité dans un corps tournant ni un cône ni un ellipsoïde central, et que ce sont seulement des images géométriques auxquelles Poinsot a rattaché le phénomène, pour

en donner une image plus claire et pour pouvoir le calculer, il a dû faire la remarque ci-dessus. C'est là la raison pour laquelle il dit que les choses ne sont pas composées de la manière dont nous l'imaginons.

Quant à nous, qui avons pris toutes nos démonstrations dans la nature intime et réelle des phénomènes étudiés et qui les avons suivis pas à pas, tels qu'ils se produisent en réalité, nous démontrons au contraire que les choses sont composées de la manière dont nous les présentons, et nous relevons ceci comme un point capital de notre méthode.

Maintenant poursuivons la citation de Poinsot. On verra qu'elle est instructive sous plus d'un rapport.

(( Ainsi notre vraie méthode n'est que cet heu- « reux mélange de l'analyse et de la synthèse, où « le calcul n'est employé que comme un instrument; « instrument précieux et nécessaire sans doute, « parce qu'il assure et facilite notre marche, mais (( qui n'a par lui-même aucune vertu propre, qui « ne dirige point l'esprit, mais que l'esprit doit di- « riger comme tout autre instrument.

« Ce qui a pu faire illusion à quelques esprits « sur cette espèce de force qu'ils supposent aux « formules de l'analyse, c'est qu'on en retire, avec « assez de facilité, des vérités déjà connues et qu'on

« y a, pour ainsi dire, soi-même introduites; et il « semble alors que l'analyse nous donne ce qu'elle « ne fait que nous rendre dans un autre langage. u Quand un théorème est connu, on n'a qu'à l'expri- « mer par des équations : si le théorème est vrai, (( chacune d'elles ne peut manquer d'être exacte, « aussi bien que les transformées qu'on en peut « déduire; et si Ton arrive ainsi à quelque formule « évidente ou bien établie d'ailleurs, on n'a qu'à « prendre cette expression comme un point de dé- <( part à revenir sur ses pas, et le calcul seul paraît (' avoir conduit comme de lui-même au théorème (y dont il s'agit. Mais c'est en cela que le lecteur est (( trompé. Ainsi, pour prendre un exemple dans la (( question même qui fait l'objet de ce Mémoire, il « est bien clair qu'aujourd'hui rien ne serait plus « aisé que de retrouver nos idées dans les expres- (( sions analytiques d'Euler ou de Lagrange, et même « de les en dégager avec un air de facilité qui ferait (( croire que ces formules devaient les produire (( spontanément. Cependant, comme ces idées ont <( échappé jusqu'ici à tant de géomètres qui ont (( transformé ces formules de tant de manières, il « faut convenir que cette analyse ne les donnait (( point, puisque, pour les y voir, il aura fallu atten- <( dre qu'un autre y parvînt par une voie toute dilfé- « rente.

« Nous aurions bien d'autres réflexions à faire « et de plus grands exemples à produire, si nous (( voulions montrer, d'une part, tout ce que l'esprit « doit de lumière à cette méthode naturelle, telle « que je l'ai définie plus haut et qui constitue notre « véritable analyse; et de l'autre, le peu de vérités « nouvelles qu'on a su tirer de ces formules analy- « tiques où l'on croit enfermer une question, et » quelquefois même une science tout entière. Sans « doute la science y est contenue, comme elle le « serait dans tout autre principe énoncé en termes « généraux; mais la difficulté reste de l'en faire « sortir, et cette difficulté n'en devient-elle pas plus « grande? Et, par exemple, ne faut-il pas déjà con- « naître et la mécanique et les artifices du calcul, « pour tirer de la seule formule générale des vitesses « virtuelles, je ne dis pas quelque nouveau théo- « rème (ce dont je ne vois guère d'exemples), mais « seulement les propositions particulières qui nous « sont le mieux connues? La traduction n'est-elle « pas ici plus difficile que le texte lui-même, je veux « dire, que la considération immédiate des choses « que l'on veut étudier? L'illustre auteur qui a voulu (( transformer la mécanique en une question de (( calcul, a sans doute rempli son objet avec toute « la clarté et toute l'élégance qu'on en pouvait « attendre. Mais si la véritable analyse brille quel-

« que part dans la Mécanique analytique ^ j'oserai « dire que c'est bien moins dans ces calculs que « l'auteur range avec tant d'ordre et de symétrie, « que dans ces courts passages où il rapproche les « méthodes, et dans ces admirables préfaces qu'il « a placées à la tète des différents livres de son « ouvrage, où il examine et discute les principes « fondamentaux de la science, et fait l'histoire in- « structive du mouvement de l'esprit humain, dans « cette suite délicate d'idées fines et de solutions « ingénieuses qui ont peu à peu formé la Méca- (( nique. C'est par là surtout que ce bel ouvrage « pourra servir aux progrès ultérieurs de l'esprit, « en lui montrant la route qu'il a suivie et qui est « encore la route où il doit continuer à marcher. « Car, encore une fois, gardons-nous de croire « qu'une science soit faite quand on l'a réduite à « des formules analytiques. Rien ne nous dispense « d'étudier les choses en elles-mêmes, et de nous « bien rendre compte des idées qui font l'objet de « nos spéculations. N'oublions point que les résul- « tats de nos calculs ont presque toujours besoin « d'être vérifiés d'un autre côté, par quelque rai- « sonnement simple ou par l'expérience; que si le « calcul seul peut quelquefois nous offrir une vérité « nouvelle, il ne faut pas croire que sur ce point « même l'esprit n'ait plus rien à faire; mais, au con-

(( traire, il faut songer que, cette vérité étant indé- « pendante des méthodes ou des artifices qui ont « pu nous y conduire, il existe certainement quelque « démonstration simple qui pourrait la porter à « l'évidence, ce qui doit être le grand objet et le (( dernier résultat de la science mathématique.

« (Ju'on me pardonne ces réflexions, que je fais, « j'ose le dire, dans l'unique intérêt de la science. « Je connais le caractère propre et distinctif de « l'analyse algébrique, et je pourrais même dire avec précision en quoi cet art a pu perfectionner la logique ordinaire du discours; je sais tout ce que les bons esprits doivent au calcul, mais je u tâche d'éclairer ceux qui se trompent sur la na- « ture de cet instrument, et en même temps de « prévenir l'abus que d'autres en peuvent faire en « profitant de cette illusion même. Car sitôt qu'un « auteur ingénieux a su parvenir à quelque vérité K nouvelle, n'est-il pas à craindre que le calculateur « le plus stérile ne s'empresse d'aller vite la recher- « cher dans ses formules, comme pour la découvrir (( une seconde fois et à sa manière, qu'il dit être (( la bonne et la véritable; de telle sorte qu'on ne (( s'en croie plus redevable qu'à son analyse, et que « l'auteur lui-même, quelquefois peu exercé, ou « même étranger à ce langage et à ces symboles, « sous lesquels on lui dérobe ses idées, ose à peine

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« réclamer ce qui lui appartient, et se retire presque « confus, comme s'il avait mal inventé ce qu'il a si « bien découvert? Singulier artifice que je n'ai pas <( besoin de caractériser davantage, mais qu'il est <( bon de signaler comme un des plus nuisibles aux <( progrès des sciences, parce qu'il est sans contredit *( un des plus propres à décourager les inventeurs.

« Mais je n'étendrai pas plus loin ces réflexions, « et si le peu qu'on a dit est assez sensible par les « exemples qui précèdent, on le verra se confirmer « encore par ceux qui pourront suivre. »

Nous avons cité ces réflexions de Poinsot parce qu'elles contiennent des vérités incontestables qui viennent à l'appui de notro méthode dans l'étude des phénomènes de la nature.