Revue philosophique, l»' janvier

le résultat d'une expérience tellement ancienne dans l'histoire de notre espèce, qu'elle n'a plus besoin d'être vérifiée à nouveau expérimentalement pour s'affirmer à notre logique, et je pensais à la pierre ensorcelée de Guaradur eh lisant le chapitre de M. Poingaré^ « sur la nature du raisonnement mathématique ».

Pour étudier la possibilité à' \xxlq démonstration Aq^ propriétés de l'addition, l'illustre géomètre commence en ces termes: « Je suppose qu'on ait défini préalablement l'opération X -\- i, qui consiste à ajouter le nombre 1 à un nombre donné x » {pp. cit., p . 13). Si le nombre x dont il parle était le nombre des croix de la tombe du roi Gralon, l'opération x -{- i serait difficile à définir, si au contraire le nombre x d'une quantité quelconque d'objets donnés est forcément le même quelle que soit la manière dont on répartit les objets pour les compter, cela seul démontre évidemment les propriétés d'associativité :

et de commutativité :

a + 6 zz: 6 + <ï>

puisque, si l'une quelconque de ces deux propriétés était controuvée, cela renouvellerait le miracle de Guaradur. Du moment, donc, qu'on s'accorde le droit déparier d'un nombre donné comme d'une chose qui a un sens précis, il devient ensuite superflu de démontrer les lois de l'addition. Et cependant, les raisonnements de M. Poingaré ont un intérêt capital, mais ce n'est pas parce qu'ils nous prouvent la légitimité des opérations ordinaires de l'addition; la légitimité de ces opérations est démontrée par une expérience sans cesse renouvelée et seuls ceux qui croient à l'essence divine de l'esprit humain peuvent éprouver l'impression qu'une vérité expérimentalement établie prend

1. H. Poingaré. La science et V hypothèse y Paris, Flammarion, d903. Lb Dantbc. — Lois. *

plus de certitude quand elle a été retrouvée par un raisonnement : « L'induction mathématique, dit M. Poincaré, c'est-à-direladémonstration par récurrence, s'imposenécessairement, parce qu'elle n'est que l'affirmation d'une propriété de l'esprit lui-même. » {Op, cit., p. 2i.) Les mathématiciens ont rhabitude de parler de l'esprit comme d'un outil d'essence supérieure et dont le fonctionnement est, a priori^ impeccable, pourvu qu'on s'en serve congrûment. Les biologistes au contraire, convaincus que l'esprit de l'homme est, comme tous les autres mécanismes de son individu, le résultat d'un perfectionnement évolutif, ne sauraient attribuer àla logique une valeur absolue.

Je répète à ce sujet ce que j'ai déjà dit précédemment (livre I, chap. i) : « L'instinct est, dit Romanes, un mécanisme adapté, antérieur à l'expérience individuelle. » J'ajoutj immédiatement : <c mais postérieur à l'expérience ancestrale et provenant de cette expérience ancestrale grâce à l'hérédité des caractères acquis. » La logique est l'instinct par excellence; c'est le résumé héréditaire de l'expérience ancestrale, la quintessence de cette expérience prolongée pendant des milliers de siècles au cours desquels nos ancêtres se sont frottés au monde extérieiir. Il est donc infiniment probable, grâce au rôle sans cesse actif de la sélection naturelle, que notre logique est adéquate à l'ensemble des phénomènes qui ont pu retentir sur la vie de nos ancêtres, mais il n'est pas mauvais, néanmoins, que nous en vérifiions la valeur, avant de nous en servir, dans chaque cas particulier, parce que nous ne savons pas a priori quels sont exactement les phénomènes auxquels l'espèce humaine s'est frottée assez longtemps pour en avoir une expérience définitive. C'est précisément cette vérification que M. Poincaré a faite avec le plus grand soin dans le premier chapitre de /« science et r hypothèse. Je ne conclurai donc pas avec lui que « la démonstration par récurrence s'impose nécessairement parce qu'elle n'est

que raffîrmation d'une propriété de l'esprit lui-même » mais bien que, la démonstration par récurrence^ qui est Tapplication de Tesprit au problème de l'addition ou de la multiplication, conduisant à des résultats conformes à ceux que nous fournit l'expérience, cette partie de notre logique est bonne.

Cette manière de raisonner ne manquera pas d'étonner bien des gens. Elle est cependant tout à fait indispensable si Ton se pose les questions par lesquelles M. Poincaré commence le premier chapitre de son livre : « La possibilité môme de la science mathématique semble une .contradiction insoluble. Si cette science n'est déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie? » Si nous considérons la logique comme un instinct acquis au cours de l'évolution spécifique, le problème si souvent posé, de savoir quelle est, dans une science donnée, la part de l'expérience et celle du raisonnement, se transformera en celui-ci dont la solution est évidemment beaucoup moins angoissante pour nous : dans une science donnée^ quelle est la part de l'ex^ périence individuelle et quelle est celle de r expérience ancestraie ?

En particulier, cette manière de parler nous empêchera de nous étonner devant la prétendue liberté des conventions que Ton reconnaît dans les principes fondamentaux des sciences : « Ces conventions, dit M. Poincaré, se rencontrent surtout dans les mathématiques et dans les sciences qui y touchent. C'est justement de là que ces sciences tirent leur rigueur ; ces conventions sont l'œuvre de la libre activité de notre esprit, qui, dans ce domaine, ne connaît pas d'obstacle. Là notre esprit peut affirmer

parce qu'il décrète; mais entendons-nous; ces décrets s'imposent à notre science qui, sans eux, serait impossible ; ils ne s'imposent pas à la nature. Ces décrets, pourtant, sont-ils arbitraires? Non, sans cela ils Seraient stériles. L'expérience nous laisse notre libre choix, mais elle le guide en nous aidant à discerner le chemin le plus commode, » (0/). cit,, p. 3.) M. Poincaré revient à plusieurs reprises sur la distinction entre la (iberté et rarbitrairej relativement aux conventions que nous pouvons choisir comme point de départ; cette distinction me paraît bien subtile; si notre imagination verbale nous permet d'exprimer les fantaisies les plus abracadabrantes, notre logique ne peut sortir d'un cadre qui lui est tracé par sa nature, et sa nature est précisément adéquate à celle des objets du monde où nous vivons ; seul un spiritualiste peut croire (doit même croire) à la liberté absolue de l'esprit humain ; pour un biologiste, le mécanisme de notre raisonnement est déterminé; écoutez d'ailleurs cette nouvelle citation du môme auteur : « La géométrie dérivet-elle de l'expérience ? Une discussion approfondie nous montrera que non. Nous conclurons donc que ses principes ne sont que des conventions; mais ces conventions ne sont pas arbitraires, et transportés dans un autre monde (que j'appelle le monde non euclidien et que je cherche à imaginer), nous aurions été amenés à en adopter d'autres, » (0/?. cit,^ p. 5.) Je reviendrai tout à l'heure sur cette hypothèse du monde non euclidien, mais ne voyezvous pas déjà que si les lois d'un autre monde hypothétique doivent amener notre esprit à adopter d'autres conventions, c'est que notre esprit n'est pas libre du monde? Oh ! je sais bien que M. Poincaré l'entend autrement; pour lui le rôle de l'expérience est seulement de nous guider <c en nous aidant à discerner le chemin le pluâ commode ». C'est là le leit-motiv de tout son ouvrage ; la seule raison que nous ayons d'adopter plutôt telle géomé-

EXPÉRIENCE INDIVIDUELLE ET EXPÉRIENCE ANGESTllALE wS

trie que telle autre, c'est que la première est plus commode ! Et vraiment pour quiconque admet Tcssence divine de Tesprit humain, l'opinion désolante du grand mathématicien est difficile à combattre ; mais il n'en va pas de même pour un déterministe qui étend le déterminisme jusqu'aux phénomènes de Tentendement et qui croit à Forigine évolutive de la logique.

Le danger de la croyance spiritualiste s'est manifesté par Terreur évidente de certaines personnes qui « ont été frappées de ce caractère de libre convention qu'on reconnaît dans certains principes fondamentaux des sciences. Elles ont voulu généraliser outre mesure et en même temps elles ont oublié que la liberté n''est pas ï arbitraire. Elles ont abouti ainsi à ce qu'on appelle le nominalisme et elles se sont demandé si le savant n'est pas dupe de ses définitions et si le monde qu'il croit découvrir n'est pas tout simplement créé par son caprice. Dans ces conditions la science serait certaine, mais dépourvue de portée. » (Op. cit., p. 3.) Voilà donc le seul reproche que M. Poin- CARÉ trouve à faire à l'erreur des nominalistes : « ils ont oublié que la liberté n'est pas l'arbitraire ! » Je voudrais bien connaître une définition précise qui me permette d'établir une distinction entre ces deux termes ; pour s'opposer hTarbitrairCy l'expression liberté devrait signifier « obéissance aux lois », c'est-à-dire, en un mot, déterminisme I

Plaçons-nous donc de nouveau au point de vue déterministe : L'expérience ancestrale a développé chez nous un mécanisme déductif qui est excellent pourvu qu'on l'applique à un point de départ ?'écl, à une notion expérimentale précise*; si l'on s'amuse à appliquer la machine déductive à un point de départ contraire à Vexpérience^ qu'obtiendra-t-on ? On ne démontrera pas pour cela que la machine est mauvaise, mais on pourra lui faire donner de mauvais résultats. L'histoire des géométries non euclidiennes est fort intéressante à cet égard.

M. PoiNCARÉ démontre que la géométrie ne dérive pas de Texpérience et je me propose de discuter tout à l'heure cette affirmation ; en particulier le postulatum d'Euclide ne lui paraît pas pouvoir être considéré comme nous étant imposé par la logique; il conclut donc, nous l'avons déjà vu : <c que les principes de notre géométrie ne sont que des conventions; mais ces conventions ne sont pas arbitraires et transportés dans un autre monde (que j'appelle le monde non euclidien et que je cherche à imaginer), nous aurions été amenés à en adopter d'autres. » {Loc, cil,) Certainement, dans un autre monde, nous serions amenés à adopter d'autres conventions (parce que ces conventions, cela le prouve précisément, ont une origine expérimentale), mais, dans cet autre monde, que serait notre logique que M. Poincaré considère implicitement comme invariable ? Elle serait éyiàQvavckQiii différente de ce qu'elle est dans le monde actuel et adéquate aux phénomènes de cet autre monde. Nous ne pouvons pas savoir ce qu'elle serait. En tout cas, appliquer notre logique actuelle aux choses d'un monde imaginaire dans lequel [a + b) serait différent de [b + a), ce serait commettre Une pétition de principe ; les déductions faites, dans le monde non euclidien, avec une logique originaire du monde euclidien, ne riment à rien^ Voici d'ailleurs une phrase dans laquelle M. Poincaré ne s'éloigne pas trop de cette manière de voir : « Ce cadre où nous voulons tout faire rentrer, c'est donc nous qui l'avons fait ; mais nous ne l'avons pas fait au hasard, nous Tavons pour ainsi dire fait sur mesure et c'est pour cela que nous pouvons y faire rentrer les faits sans dénaturer ce qu'ils ont d'essentiel. » [Op. cit., p. 5.) C'est que nous sommes nous-mêmes dans la nature que nous

1. 11 ne s'ensuit pas, pour cela, que ces déductions, si elles sont faites avec le souci constant d'éviter des contradictions, conduisent à des contradictions obligatoires. M. Poincaré démontre, par exemple, que la géométrie de LowATCHEWsKY n'est que là traduction, dans un langage qui paraît humainement absurde, de la géométrie euclidienne.

éludions ; nous sommes un résultat des lois naturelles auxquelles nous appliquons nos investigations et, quand nous faisons un postulat à la mesure de notre logique^ nous le faisons en même temps à la mesure du monde que nous habitons. Si donc nous avons la précaution de prendre un point de départ expérimental et d'y appliquer notre logique (dans les limites oîi nous avons ht droit de le faire, ainsi que nous le verrons tout à Theure), « nos décrets, contrairement à ce que dit M. Poincaré de nos libres conventions, s'imposent non seulement à notre science, mais à la nature elle-môme de laquelle découle notre science ».

Admettant l'indépendance absolue de la logique, M. Poincaré songe à l'appliquer dans un monde dont les lois seraient autres que celles de notre monde : « Des êtres dont [esprit serait fait comme le nôtre et qui auraient les mêmes sens que nous, mais qui n'auraient reçu aucune éducation préalable (ceci prouve que l'auteur, s'il néglige l'expérience ancestrale, croit à l'expérience individuelle) pourraient recevoir, d'un monde extérieur convenablement choisi, des impressions telles qu'ils seraient amenés à construire une géométrie autre que celle d'Euclide et à localiser les phénomènes de ce monde extérieur dans un espace non euclidien ou môme dans un espace à quatre dimensions. Pour nous, dont l'éducation a été faite dans notre monde actuel, si nous étions brusquement transportés dans ce monde nouveau, nous n'aurions pas de difficulté h en rapporter les phénomènes à notre espace euclidien. » {Op. cit., p. 68.)

L'auteur qualifie cette assertion de paradoxe ; mais souvent un prétendu paradoxe cache une erreur dont la découverte ouvre une porte nouvelle sur la vérité. En réalité, cette phrase du grand géomètre est l'affirmation de ce fait qu'il considère (avec la majorité des mathématiciens), Tesprit humain comme une entité absolue dont les raisonnements sont indépendants des lois du monde

dans lequel il fonctionne et auquel il emprunte seulement un point de départ'. Un biologiste ne saurait raisonner ainsi.

Si un être fait conime nous était transporté dans un monde « convenablement choisi » et tel qu'il en reçût des impressions capables de le conduire à une géométrie non euclidienne, il est probable qu'il mourrait purement et simplement, son mécanisme n'étant pas adapté aux lois naturelles du monde ambiant ; sa logique le tromperait à chaque instant puisqu'elle ne serait pas, elle non plus, adéquate aux phénomènes extérieurs. Il mourrait et ne ferait aucune géométrie. Mais lesspiritualistesqui croient à l'essence spéciale de l'esprit, au lieu d'y voir un. mécanisme adapté faisant partie d'un organisme matériel, oublient facilement qu'il est nécessaire, pour penser, d'avoir un corps en bon état de fonctionnement; et il n'est pas inutile de leur rappeler, en le détournant de son sens ordinaire, l'aphorisme célèbre : Primum vivere^ deinde philosophari.

N'oublions pas notre origine et répondons à ceux qui parlent d'un monde non euclidien ou de tout autre produit fantaisiste de l'imagination : Si les choses étaient autrement^ nous aussi nous serions autrement^ car nous ne pourrions exister qu'adéquats aux choses.

Cela n'empêche pas d'ailleurs que ces conceptions bizarres puissent être utiles; M. Poincaré en a tiré des résultats pratiques pour l'intégration des équations linéaires (p. 58). Mais alors, il faut y voir uniquement un artifice analogue à celui du calcul des imaginaires. Quand j'étais élève de mathématiques spéciales, j'avais comme

1. Un peu plus loin, M. Poincaré imagine avec quelques détails, un monde qull appelle non euclidien (p. 83-87) et qu'il suppose encore, chose tout à fait inadmissible, peuplé d êtres semblables à nous^ et il conclut : « Des êtres comme nous, dont l'éducation se ferait dans un pareil monde, n'auraient pas la même géométrie que nous. » 11 n'y a peut-être pas de meilleur exemple à donner pour montrer le danger des raisonnements qui oublient l'origine matérielle et évolutive de notre logique.

camarades quelques anciens pour lesquel je professais la plus vive admiration et qui parlaient couramment, comme d'une chose familière à leur pensée féconde, des points cycliques imaginaires qui sont à l'intersection de tout cercle avec la droite de Tinfini, et d'autres choses aussi merveilleuses pour un débutant; et j'étais tout fier à l'idée que je serais, moi aussi, initié à ces notions sublimes qui choquent le bon sens vulgaire. Heureusement pour moi, un professeur plein d'esprit scientifique m^apprit à me défier de ce langage, ou du moins à comprendre ce qu'il cachait, si je tenais à m'en servir pour la résolution de certains problèmes. La théorie des imaginaires n'est qu'un artifice commode, dont on a le droit de se servir après avoir démontré expérimentalement qu'on peut lui appliquer les règles ordinaires du calcul sans ôtre conduit à des contradictions. De ce que le calcul des imaginaires est extrêmement fécond, il ne s'ensuit pas que Ton ait le droit de supposer qu'il existe des nombres dont le carré est négatif et que l'affirmation : « le carré de tout nombre est positif » soit seulement une convention commode. Si, de même, la géométrie de Lowatchewsky conduit à des artifices utiles, il ne faut pas en conclure que le postulat d'EucLiDE ne correspond pas à une réalité et peut être considéré comme une libre convention.

M. DE Freycinet, dans un livre intitulé : De rexpérience en géométrie a répondu aux philosophes qui considèrent les axiomes de la géométrie comme des conventions : « Les concepts de la géométrie, dit-il en commençant, sont suggérés par la vue du monde extérieur, » et un peu plus loin (p. 19) : « Privés du spectacle de la nature, nous n'aurions pas imaginé les surfaces et les lignes géométriques. » Ces deux propositions ne sont d'ailleurs guère

différentes de raffirmation de M. Poincaré : « Si donc iln y avait pas de corps solides dans la nature, il n*y aurait pas de géométrie. » (Op. cit,^ p. 80.) Cependant les deux auteurs, s'ils paraissent s'entendre sur ce point particulier, divergent profondément quant aux conclusions : « Les figures géométriques, dit M. de Freycinet, ont pour condition essentielle de satisfaire aux lois naturelles. Soit que ces figures émanent directement de la considération des objets réels, soit qu'elles aient été créées parle géomètre, elles doivent reposer sur les données de l'expérience. Celles-ci d'ailleurs sont en petit nombre, car, nonobstant l'infinie variété des formes, les éléments premiers qui entrent dans leur composition sont identiques » (p. 24). Au contraire, M. Poincaré, de ce qu'il n'existe pas dans la nature un plan rigoureusement plan ou une droite rigoureusement droite, arrive à cet énoncé assez imprévu « que Texpérience joue un rôle indispensable dans la genèse de la géométrie, mais que ce serait une erreur d'en conclure que la géométrie est une science expérimentale, même en partie. Si elle était expérimentale, ajoute-t-il, elle ne serait qu'approximative et provisoire. Et quelle approximation grossière ! » (Op. cit.^ p. 90.)

Au fond du débat, il y a certainement un manque d'entente sur la définition des mots « expérience, science expérimentale ». M. de Freycinet le fait remarquer d'une manière fort claire; je n'ai d'ailleurs par qualité pour intervenir dans ce débat entre deux puissants géomètres ; le but que je me propose en écrivant cet article est simplement d'insister, au point de vue biologique, sur des questions qui ont été laissées de côté par ces deux savants.

Ceux que ne satisfait pas le dogme de l'origine divine de l'esprit humain, sont obligés, nous l'avons vu précédemment, de considérer notre sens logique comme le résumé héréditaire de Texpérience anccstrale, de penser que cet admirable mécanisme nous a été transmis en

vertu de l'hérédité des caractères acquis. Nous devons maintenant nous demander quel est le degré Je fini avec lequel les connaissances acquises par nos ancêtres se sont fixées dans notre hérédité spécifique. C'est là une question très délicate et à laquelle certaines comparaisons pourront préparer le lecteur.

Après un grand nombre de générations ayant parlé la môme langue, les parents donnent naissance à des enfants qui ne savent pas, sans Tavoir appris, parler le langage maternel. Du moins ces enfants tiennent-ils de leurs ascendants une certaine disposition des organes de la parole qui leur permet de prononcer plus facilement les éléments phonétiqu(»s de leur idiome. Ainsi, il n'y a pas hérédité de loiU le langage, mais de certains traits généraux qui le caractérisent. Aucun langage humain n'est aussi ancien dans l'expérience des hommes que les lois naturelles immuables auxquelles ont été soumis tous les animaux depuis l'apparition de la vie. Il est donc à prévoir que la trace héréditaire laissée par l'observation de ces lois dans les organismes animaux sera plus complète et plus profonde que celle qui résulte de l'emploi, à peine plusieurs fois séculaire, d'un langage particulier. Laissons encore une fois la parole à M. de Freycinet : c( Les auteurs, depuis Euclide, ont continué de désigner sous le nom générique (/\ixiomeSj un certain nombre de vérités indémontrables par le raisonnement, qui sont continuellement invoquées au cours de démonstrations géométriques. Ces axiomes rentrent dans deux catégories fort différentes. Les uns sont d'ordre purement logique et n'appartiennent pas en propre à la géométrie : ils trouvent leur emploi dans toutes les sciences. Telles sont les évidences : « Le tout est plus grand que la partie » ; « Deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles » ; « Deux quantités égales peuvent être augmentées ou diminuées de la môme quantité sans cesser d'être égales ».

La liste pourrait être allongée au ddlà môme des bornes qu'elle reçoit dans les Traités ; car ceux-ci sont loin d'énumérer toutes les vérités de cette nature sur lesquelles on a Toccasion de s'appuyer. Beaucoup d'entre elles sont admises implicitement et ne soulèvent aucune difficulté... Les- axiomes de la deuxième catégorie au contraire, sont spéciaux à la géométrie et, comme elle, prennent leur source dans l'expérience, c'est par l'observation du monde extérieur qu'on en a acquis la connaissance. La logique est impuissante à les établir » (p. 67, 68). Et l'auteur énumère ensuite, en montrant comment nous les tirons de l'observation du monde, les lois naturelles suivantes : « La ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre ; d'un point à un autre on ne peut mener qu'une seule ligne droite ; une ligne droite peut être prolongée indéfiniment dans les deux sens ; une ligne droite peut servir d'axe de rotation ; une ligne droite qui a commencé à s'éloigner d'une autre ne peut pas ensuite s'en rapprocher et réciproquement ; dans un plan on peut tracer des lignes droites dans tous les sens. »

Certaines personnes seront peut-ôtre disposées à discuter la question de savoir si une expérience personnelle est vraiment nécessaire à l'établissement de tous ces axiomes de deuxième catégorie, ou si quelques-uns d'entre eux sont déjà fixés dans notre hérédité et s'imposent à notre logique. La question est assez futile et d'ailleurs il est impossible d'y répondre. Nous sommes forcément élevés dans le monde môme où a évolué notre espèce et les notions que nous acquérons étant enfants s'ajoutent à notre patrimoine héréditaire, sans que nous ayons aucun moyen de distinguer ce qui est hérité de ce qui est personnellement acquis. Il faudrait supposer pour le savoir qu'un enfant est élevé dans un autre monde, régi par d'autres lois..., mais un biologiste ne fera pas volontiers cette hypothèse ; et nous devons nous contenter de nous

EXPERIENCE INDIVIDUELLE ET EXPÉRIENCE ANCESTRALE Cl

dire que tout ce que nous savons, nous le savons par expérience personnelle ou par expérience anceslrale.

Dans les connaissances sûrement innées entrent, dans tous les cas, les vérités de la première catégorie de M. de FuEYCiNET, celles qui constituent noire machine à raisonner ; ce sont pour nous des évidences, des vérités instinctives.

Rappelons-nous maintenant ce que nous avons dit précédemment (cliap. ii) relativement à la nature de Texpérience humaine, tant ancestrale que personnelle ; j'espère que nous trouverons là Texplication de ce fait que M. Poincaré a nié et dont la négation est môme la base de tout le système de ce grand mathématicien. La géométrie est une science expérimentale y et cependant^ elle nest ni approximative ni provisoire, (Voy. la proposition contraire dans M. Poincaré; op, cit., p. 90.)

Voici d'abord une remarque de M. de Freycinet : « Le mot « expériencî; » éveille d'ordinaire une idée qui n'est pas tout à fait celle qu'il faut avoir en géométrie. Dans les sciences naturelles, l'expérimentation porte sur des choses concrètes ; pour vérifier par exemple, que les poids des corps sont proportionnels à leurs masses', on prend des substances diverses, qu'on laisse tomber simultanément dans le vide, et Ton constate l'identité de la chute. Aucune faculté transcendante n'est mise en jeu dans cette épreuve, où il s'agit de noter simplement un fait matériel. En géométrie, il en va différemment. Les observations faites sur le corps sont le prélude d'opérations d'un autre ordre. Après avoir reconnu, je suppose, qu'une règle rigide s'applique, dans tous les sens, sur une glace

1. Voyez plus bas, chap. xv, la démonstration du fait que cette proportionnalité est conventionnelle et sert à mesurer les poids.

bien dresséç, on réduit par la pensée et Ton amincit de plus en plus la règle et la glace de manière à n'avoir plus devant soi qu'une longueur et une surface insaisissables. En outre, on dépouille cette ligne et cette surface des moindres irrégularilés que l'exécution matérielle avait pu laisser subsister dans les objets primitifs ; on substitue des types parfaits. aux spécimens imparfaits que l'art avait créés et Ton attribue aux premiers, en termes absolus, les relations parfois approximatives trouvées pour les seconds. Ainsi la coïncidence à peu près complète observée entre la règle et la glace est regardée comme tout à fait rigoureuse quand on passe à la ligne et à la surface. On est autorisé à agir de la sorte ; car les très légers écarts ^ qui se manifestent sur les objets réels s'atténuent avec le progrès de leur fabrication et seraient mathématiquement nuls si l'on pouvait opérer sur les produits achevés. » {Introduction^ pp. ix, x.)

Il est peut-être possible d'exprimer la même opinion en laissant moins de vague dans cette mystérieuse opération mentale qui d'après M. de Freycinet suit l'observation des phénomènes extérieurs grossiers. Nous y arrivons en <îffet en nous rappelant que l'expérience humaine est l'expérience de faits qui sont à l'échelle humaine. M. Poincaré nous a dit que la notion du plan ne peut pas provenir de la vue d'une eau tranquille, que la notion de droite ne dérive pas de la vue du fil à plomb, parce que la surface de l'eau n'est pas un plan parfait, parce que le fil à plomb n'est pas une droite idéale. Je me rappelle avoir éprouvé, étant enfant, une véritable stupeur en regardant, au microscope, le fil d'un rasoir qui, ainsi grossi, ressemblait à une scie gigantesque. Nos ancêtres auraient probablement éprouvé le même étonnement si on leur avait dit que la surface de l'eau tranquille n'est pas un plan parfait. Ce que je puis affirmer, sans crainte d'être contredit par personne, c'est que si l'industrie pouvait réa-

liser un plan parfait, les moyens naturels d'investigation de rhomme ne lui permettraient pas de constater une différence quelconque entre ce plan parfait et le plan imparfait qu*est la surface de Teau. Nos ancêtres n'ont pas eu à imaginer des plans, ils en ont vu ; ils n'ont pas eu à imaginer des droites, ils en ont vu; ils ont vu un cercle parfait en regardant le soleil ou la pleine lune. Je regarde, par ma fenêtre, les toits rouges des maisons paysannes ; ceux de mes plus proches voisins me paraissent formés de tuiles grossières toutes distinctes les unes des autres, de sorte que le rebord des toits est une ligne sinueuse et irrégulière ; mais si je jette les yeux sur le coteau lointain de Kerénoch, les maisons que je vois me représentent au lieu d'assemblages grossiers de tuiles et de pierres, des figures géométriques parfaites ; le faîte et le bord inférieur du toit sont des lignes rigoureusement droites. Et cependant, j'ai vu construire ces maisons, je sais que l'artisan a employé pour les bâtir les matériaux ordinaires ; je puis m'en rendre compte avec une lunette d'approche ou simplement en allant moi-môme jusqu'au coteau. Cela n'empêche pas que le charpentier illettré, par son travail dépourvu de rigueur scientifique, m'a fait voir des quadrilatères tels que je n'en imagine pas de plus précis. J'ai donc (et mes ancêtres ont eu avant moi), simplement en regardant au dehors, la notion rigoureuse des éléments de la géométrie, sans avoir besoin de me livrer à ce travail d'idéalisation dont parle M. de Frcycinet et qui mettrait en jeu des facultés transcendantes. Je conçois des surfaces et des lignes parfaites parce que je les ai vues telles autour de moi. J'oserais presque dire que c'est V imperfection de nos moyens d observation personnels qui détermine la perfection et la pureté de nos concepts, si je ne considérais comme tout à fait abusif de traiter d'imparfaits des organes qui nous donnent, sur la nature environnante, des renseignements

faits à notre mesure humaine. Ce sont ces renseignements qui sont à la base de notre expérience tant personnelle qu'ancestrale ; c'est d'eux que résulte notre logique ; c'est sur eux que travaille notre logique quand elle fait de la géométrie.

Gela n'empêche pas que nous ayons pu, en nous servant précisément de ce travail mental, pour construire des appareils perfectionnés, pénétrer plus avant dans la connaissance de la structure des objets qui nous entourent; je sais que les quadrilatères formés par les toits de Kerénoch sont imparfaits, mais ceci est une connaissance postérieure à la première vision avec laquelle j'ai fait de la géométrie.