LAPPLICATION DE L ARITHMÉTIQUE A LA GÉOMÉTRIE

Une des notions humaines les plus immédiates est celle de la continuité. La connaissance que nous avons des corps, par nos propres moyens, nous les donne pour continus : la continuité est, au premier chef, une notion expérimentale. 11 est donc bien naturel que cette notion de continuité existe dans la géométrie; quand Tesprit humain a fait de la géométrie, des recherches indirectes n'avaient pas encore pu lui faire soupçonner que, à un certain point de vue, la matière n'est peut-être pas continue. Dans tous les cas, ce n'est pas la géométrie qui aurait pu lui faire découvrir cette discontinuité.

La notion de continuité était même si immédiate que, évidemment, les premiers géomètres n'ont pas pensé qu'ils r admettaient implicitement dans leurs lignes et leurs surfaces géométriques. Une difficulté s'est présentée quand il s'est agi de mesurer les longueurs et les surfaces ou les volumes au moyen de nombres, et cela se comprend aisément. La notion expérimentale de nombre est venue à l'homme de l'observation d'objets distincts et voisins ^ ; c'est la discontinuité qui sépare deux objets solides qui est l'origine du nombre 2 ; la numération résulte donc de la constatation de discontinuités ; or l'arithmétique semble avoir précédé la géométrie.

1. Nous verrons plus lard que cette notion s'étend au canton du sens de la durée et que le nombre peut représenter une répétition d*artes dans le temps.

Lb Dantec. — Lois. 5

Donc, quand il s'est agi d'évaluer des grandeurs continues, il existait déjà un langage permetlant de parler de quantités d'objets distincts et c'est ce langage créé pour une fin donnée, qu'il a fallu appliquer à une fin toute différente. La transition a été facilitée par une constatation expérimentale, celle de l'addition des liquides, probablement. Si nous ajoutons dans un vase quatre volumes, préalablement distincts, d'eau ou de vin, nous obtenons un seul volume continu de liquide ; réciproquement nous pouvons répartir dans quatre vases distincts Teau préalablement contenue dans un seul vase. D'où l'idée fort simple d'évaluer le contenu d'un récipient en le vidant au moyen d'un vase étalon et en comptant le nombre des opérations nécessaires ; il est inutile d'insister sur la généralisation de ce procédé à la mesure de toutes les grandeurs continues par le secours d'une numération qui avait son origine dans la discontinuité ; il est également superflu de montrer comment cette opération a fatalement conduit à la considération des nombres fractionnaires. Ce qui est plus important c'est de comprendre comment cette application de l'arithmétique à la mesure des grandeurs continues a déterminé les mathématiciens à introduire dans la numération la notion inattendue de continuité. Malgré Torigine de la numération, origine que l'on ne peut se refuser à trouver dans les discontinuités séparant les objets distincts, on s'est servi des nombres pour évaluer des grandeurs continues et comme, par nature (du moins dans la notion qu'en ont les hommes) ces grandeurs varient d'une manière continue, il a fallu, pour que leur évaluation fut possible, imaginer aussi une échelle continue des nombres ; la variable algébrique x représente un nombre susceptible d'une variation continue.

Voilà, je pense, comment s'est introduite en algèbre la notion de continuité. Je n'ignore pas qu'il a été pos-

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sible, après coup, de donner de cette continuité d'origine expérimentale une définition mathématique dans un langage d'une extrême rigueur, mais j'ai constaté moimême, quand mes maîtres m'ont donné a priori cette définition parfaite, la nécessité d'un effort vers les conceptions naturelles et un certain désarroi de l'esprit^ Je comprends aujourd'hui que ce langage rigoureux est le résultat d'un perfectionnement progressif vers lequel tendent les efforts de tous les mathématiciens et qui éloigne de plus en plus l'analyse de son origine expérimentale et grossière ; peut-être, après quelques siècles, cet instrument perfectionné sera-t-il introduit de si bonne heure dans le cerveau de nos descendants, qu'il leur deviendra impossible de remontera son point de départ et qu'ils devront nier, sans hésitation, l'origine expérimentale des mathématiques.

A force de se perfectionner, les mathématiques sont devenues un instrument admirable, mais se sont en même temps dégagées de leurs entraves matérielles ; elles sont aujourd'hui un langage indépendant de la nature des objets dont elles doivent traiter et que beaucoup cultivent pour sa propre beauté sans le moindre souci d'application aux choses. Gela présente certainement de grands avantages au point de vue de la généralité de l'expression, mais cela prosente aussi de grands dangers pour ceux qui oublient ce qu'est notre logique et qui pensent que notre esprit est indépendant de la matière. La logique humaine est d'origine humaine et est bornée comme la nature humaine ; il faut se garder de l'appliquer à des phénomènes autres que ceux desquels elle provient, sous peine de ne plus rien dire de raisonnable. Les mathémaliques, dans leur état d'achèvement actuel, facilitent précisément les excursions hors des limites du monde humain ; elles présentent donc des dangers incontestables au point de vue philosophique; il est presque impossible

à un pur mathématicien de ne pas faire de métaphysique. Je vais essayer de montrer le danger du langage mathématique pour le raisonnement philosophique et je commencerai par rappeler à cet effet la restriction que j'ai faite précédemment (liv. I, chap. i) au sujet du critérium du sens commun, en spécifiant que ce critérium est à répreuve, uniquement dans les cas où il s'agit de phénomènes qui ont eu sur l'homme ou ses ancêtres une action suffisamment prolongée.