CHAPITRE XIII

Considérons un système entièrement défini géométriquement et dans lequel nous remarquerons en particulier deux corps A et B formés d'une substance homogène; étudions, comme nous venons de l'indiquer, les géométries successives de ce système à des moments bien déterminés et supposons que nous puissions, au moyen de ces géométries successives, prévoir une géométrie ultérieure du système; nous en aurons fait Tétude mécanique complète.

Considérons maintenant un autre système, identique au premier, sauf quant à la nature des corps A et B qui auront changé chimiquement et seront devenus A,, B^, tout en conservant la même géométrie et la même homogénéité; nous constaterons que la formule mathématique qui nous permettra de prévoir une géométrie ultérieure de ce système sera différente de la première ; il en sera de même pour un troisième système A„ B^, différant uniquement des deux premiers par la nature chimique des corps A et B; ce troisième système nous fournira une troisième formule et nous constaterons aisément que nous pouvons passer de la première à la seconde ou à la troisième en changeant certains coefficients numériques.

Si nous répétons la même épreuve au moyen d'un autre système comprenant les deux corps A et B, et en remplaçant successivement, dans ce système, chacun de

ces deux corps par les corps de même géométrie qui nous ont servi dans la première série d'expériences, nous établirons encore pour ce système, une série de formules mathématiques différentes, permettant de prévoir dans chaque cas une géométrie ultérieure du système; mais, ces formules mathématiques différentes pourront encore se transformer^ Tune dans l'autre par le changement de certains coefflcients numériques.

Et ceci sera trouvé vrai pour toute une série de systèmes différents comprenant les deux corps géométriquement définis, A et B. Or, chose imprévue et tout à fait remarquable, quel que soit le système mécanique considéré, que ce soit celui de la première, de la deuxième, de la troisième série d'expériences, nous pourrons, dans chacun d'eux, passer de la formule relative à A et B à la formule relative à A^ et B, ou à la formule relative à A, et Bj par le môme changement des mêmes coefficients; autrement dit, chaque corps A, A,, Ag, B, B,, B^, pourra être considéré comme apportant dans chacun des systèmes considérés, un coefficient constant qui lui est personnel. Avec quelques conventions relatives à un choix d'unités, on pourra donc accoler à chacun des corps A, A,, Aj, etc., un coefficient personnel qui l'accompagne dans tous les systèmes dont il fait partie et qu'on appelle la masse de ce corps \

* Notre langage étant ici excessivement général, il n'est pas inutile de donner un exemple concret de cette série de systèmes mécaniques dans lesquels on considère principalement deux corps A et B. (En réalité le système considéré ici n'est pas réellement complet; il Test pratiquement et cela suffit.) (Voy. chap. xvii.)

Soient, par exemple, deux pendules AO et OB (fig. 1) dont Tun est immobile et vertical, l'autre maintenu dans la position OB. Je lâche OB, il descend et frappe OA qui se met en mouvement à son tour et monte, par exemple, j'usqu'en 0.\'. Si je fais un certain nombre d'expériences avec ce système, en faisant varier seulement la hauteur h de laquelle je laisse tomber le pendule B, je pourrai résoudre entièrement le problème mécanique que je me suis posé (par exemple, au moyen d'un appareil enregistreur qui notera les positions exactes de A et de B aux divers moments de l'expérience), et il me sera possible de prévoir ensuite, lorsque je lâcherai B d'une hauteur quelconque a-, non seulement la hauteur y à

Voilà un premier résultat qui nous donne la notion numérique de masse pour des corps de même géométrie. Rappelons-nous maintenant que nous avons, dans

laquelle montera À, mais même toutes les particularités de son mouvement. Donc pour un système donné de corps A et B j'aurai résolu entièrement un problème mécanique par de simples mesures de géométrie et de temps.

Mais je suppose, maintenant, que je remplace le corps B par un corps géométriquement identique, et formé d'une autre substance, que, au lieu d'une boule de liège par exemple, je prenne une boule de plomb, le corps A restant identique à ce qu'il était précédemment. Je constaterai que la

Fig. J.

première partie du phénomène n'aura pas sensiblement changé, c'est-àdire que le corps B mettra le même temps à venir heurter A, mais le sort de A sera tout différent et il montera bien plus haut que la première fols ; si de même je change la nature de A sans changer sa forme, le phénomène changera encore...

Donc, étant donné un certain système, A, B entièrement détei^miné, je pourrai établir par l'expérience une relation mathématique, fonction de la hauteur. /i, c'est-à-dire que, après un certain nombre d'expériences faites, sur ce système, avec des hauteurs h différentes, je pourrai prévoir ce qui se passera lorsqu'on recommencera l'expérience, sur le même système, avec une hauteur arbitraire h, comme point de départ. La même chose se produira évidemment avec un autre système A, B, géométriquement identique au premier, mais différant de lui par la nature des solides AetB; seulement la formule sera différente.

Au lieu de changer la nature des substances A et B, nous aurions pu changer la longueur l du pendule en conservant les mêmes substances ; nous aurions encore trouvé, pour le nouveau système, une formule différente de la première, mais la géométrie analytique nous aurait permis de passer aisément de la première à la seconde en introduisant la longueur / dans l'équation : notre formule aurait dépendu alors de deux paramètres, h et l, et nous aurions eu une formule générale nous permettant de prévoir le résultat de l'expérience pour une valeur quelconque de h et une valeur quelconque de l.

toutes nos expériences, considéré des corps A et B formés, chacun pour son compte, d'une substance homogène; il nous sera facile de constater que, pour d'autres

Eh bien ! si nous comparons les diverses formules obtenues pour des systèmes différant, non plus par la longueur ly mais par la nature de la boule B, nous constatons de même qu'il est facile de passer de l'une à l'autre, sans changer la forme mathématique de l'équation, en remplaçant, dans chaque cas, un coefficient constant par un autre coefficient, qui vaille avec la substance étudiée. Cela étant connu, toutes les fois que nous aurons à remplacer la boule B par une boule de substance nouvelle, nous ferons une première expérience avec une longueur / et une hauteur h. Nous comparerons le résultat de cette expérience à celui d'une expérience précédente faite avec la môme longueur et la même hauteur et nous en déduirons le coefficient correspondant à la nouvelle boule B, ce qui nous permettra de prévoir ensuite tout ce qui arrivera avec les différentes valeurs de / et de h.

Nous avons donc une série de coefficients «jli, [Xj, [Jl» correspondant à une série de boules B,, B„ Bn. Si maintenant nous recommençons une série d'expériences en substituant à A les diverses boules B^, B,,.Bn, nous constatons facilement que ce qui importe dans nos formules c'est le rapport d'un coefficient relatif à la boule qui est en B et d'un coefficient relatif à la boule qui est en A. Et par conséquent en nous arrangeant de manière à ce que notre coefficient soit 1 quand Aet B sout identiques, et en choisissant à l'avance comme terme de comparaison, une certaine boule A qui nous servira d'unité, nous trouverons une série de coefficients w,, m^^ »in, qui seront ce qu'on appelle les masses des boules B,, B,, Bn, évaluées avec la masse de A prise pour unité. Kt cela posé nous pouvons écrire une formule générale permettant de prévoir à l'avance tout ce qui arrivera à notre système OAB précédemment défini, formule qui contiendra trois paramètres, /i, /, et m, auxquels il suifira de substituer des valeurs précises, A,, l^, ?w„ pour que le système soit entièrement déterminé (A est supposé constant dans le système et sert d'unité). Et cette formule générale qui nous permettra de prévoir le mouvement du système entièrement connu, pourra nous servir également à mesurer la masse m d'un corps nouveau B, par une expérience unique.

Ainsi donc nous avons été conduits à la définition de la masse m d'un corps par le souci de généraliser la formule relative au mouvement d'un système Héfini géométriquement.

Cette définition n'aurait aucune importance s'il fallait faire des expériences et des calculs analogues à ceux dont nous venons de parler, toutes les fois qu'un corps donné B est introduit dans un système. Supposons que nous expérimentions successivement des systèmes tout à fait différents et dont nous sachions faire l'étude mécanique complète, c'està-dire dont nous sachions prévoir l'état à un certain moment fixé à l'avance, si nous en connaissons un certain nombre d'états précédents à des moments bien déterminés. Eh bien, si, dans un tel système, nou^ remplaçons lo corps B, par le corps Bj, nous saurons passer de la première formule à la seconde et nous y arriverons pécisément en substituant le nombre m, au nombre m^ dans les coefficients de l'équation. Autrement dit encore, si, au lieu de nous proposer de généraliser la formule du mouvement de notre système OAB «lans lequel B est remplacé successivement par B,. B„ Bn, nous nous proposons de généraliser la formule d'un autre système quelconque, dans bquel B sera remplacé successivement par B,, B,, Bn, nous arriverons au résultat au moyen des mêmes coeffi-

corps A^ B^ également définis géométriquement et ayant des volumes différents de A et de B, il existera aussi des masses numériquement définies qui les accompagneront dans tous les systèmes où nous voudrons bien les placer. Or, si nous employons successivement pour constituer A^ et B^ les mêmes substances chimiques homogènes que nous avons employées pour constituer A, B, A^, Bp Ag, B^, etc., nous constaterons que pour une même substance chimique, les masses de A^ et de A',, par exemple, sont dans le rapport de leurs volumes, et cette remarque nous permet de mesurer pour une substance chimique homogène déterminée, la masse de Tunité de volume. Ce rapport de la masse au volume dans les corps homogènes donne une allure concrète à notre notion purement mathématique de masse; on en a même conclu h une définition de la masse par la « quantité de matière », ce qui est, non pas une définition de la masse mais, jusqu'à un certain point, une définition dune matière donnée, par Tune de ses propriétés, la masse de Tunité de volume ou densité.

Nous avons supposé, dès le début, que les corps A et B sont homogènes; si nous avons affaire à des corps hétérogènes nous sommes en présence de problèmes beaucoup plus compliqués lorsque nous étudions des systèmes quel-

cients ?w,, «i^, nin ; autreaient dit encore, si pour un système quelconque nous avons établi, comme nous venons de le faire pour notre système OAB, une formule générale au moyen de paramètres dont Tun m est relatif à la nature du corps B, et si nous nous servons expérimentalement de ce système pour déterminer la valeur m^ relative au corps B,. nous obtiendrons la môme valeur qu'avec le système OAB. Autrement dit. enfin, nous constatons que chaque corps emporte avec lui, dans tous les systèmes dont il fait partie, une propriété spéciale que l'on appelle sa masse.

Cet exemple de deux pendules qui se choquent ne donnerait pas une bonne méthode do détermination des masses ; j'ai choisi cet exemple simple, pour rendre ma narration plus concrète et voilà tout. La machine d'ATwooD eût été un meilleur modèle, mais un peu plus complexe. Macii a montré comment on pourrait déterminer les masses par le régulateur à force centrifuge. En fait, une fois établie la constance de la masse, c'est la balance qui vaut le mieux.

conques; il faut, en effet, tenir compte de Thétérogénéité dans la description géométrique complète de chaque corps; rhétérogénéité est une sorte de géométrie interne et Texpérience montre que cette géométrie interne a une influence considérable sur le sort des systèmes. Notre notion de masse, à laquelle nous avons été conduits par le souci de généraliser la formule relative au mouvement d un système défini géométriquement, ne nous permet pas de généraliser cette formule, quand il s'agit de corps hétérogènes. Nous devons décomposer chaque corps hétérogène en un certain nombre de parties homogènes et alors nous avons à étudier un ensemble extrêmement complexe où varient non plus deux seulement, mais un très grand nombre de corps différents.

On peut choisir cependant des systèmes particuliers, dans lesquels Tinfluence de Thétérogénéité ne se fasse pas sentir; tel est, par exemple, le système qu'on appelle une balance. Une balance est un système mécanique choisi de telle manière que deux corps homogènes de même masse, placés sur ses deux plateaux, lui assurent, soit le repos dans une certaine position, soit un mouvement d'oscillation symétrique autour de celte position. On constate que, dans un tel système, on peut remplacer sans changer le mouvement, l'un des corps homogènes de masse M placé sur l'un des plateaux par une série de corps différents de masses ?n^, ?n^, in^, telles que :

î/îi + mo + WÎ3 = M ;

observation qui conduit a parler de la masse totale m^ + m,^ + 7n.^j d'un ensemble hétérogène. Mais il ne faut pas oublier que cette définition n*a de valeur que pour certains systèmes très spéciaux comme la balance et que, le plus souvent, on ne peut pas remplacer dans un système un corps homogène par un ensemble hétérogène

de même masse totale, môme si cet ensemble hétérogène (ce qui d'ailleurs n'est pas nécessaire pour la balance) a exactement la même géométrie externe que le corps homogène considéré. En réalité, pour définir géométriquement un système, il faut tenir compte de toutes les masses homogènes avec les positions qu'elles occupent; pour définir une masse hétérogène il faut la supposer décomposée en parties homogènes et tenir compte des masses de ces parties en même temps que de leur situation ; suivant la nature du problème on trouvera des manières mathématiques plus ou moins simples d'introduire dans les équations, à la fois ces masses partielles et leur position respective (moment d'inertie, centre de gravité, etc.). Je n'ai pas à m'occuper ici de ces questions ; je voulais seulement montrer l'origine mathématique de cette notion de masse qui résulte du besoin de généraliser les formules et qui tire une importance considérable de la loi expérimentale de la conservation de la masse.