PT + OT = OP

FiG. 21

ce qui signifie (^) : le carré de la puissance du point P, plus le carré du ray^on du cercle, égale le carré de la distance du point P au centre du cercle.

Soient maintenant deux cercles de centre O et O' qui se coupent en deux points A et B (fig. 21).

Menons la droite qui passe par A et B et prenons un point

i'^) Cette dernière propriété ne se présente sous cette forme que st le point P est hors du cercle. Au contraire, la propriété qui caractérise la (( puissance )) vaut pour toute position du point P hors du centre ou à l'intérieur.

quelconque P sur cette droite. D'après la définition de la puissance, le point P a par rapport au cercle O une puissance égale à P A X P B et par rapport au cercle O' une puissance aussi égale à P A X P B. Donc il a même puissance par rapport çiux deux cercles. Mais, le point P est quelconque sur la droite A B ou ses prolongements. Donc la droite dans son eiisemble jouit de cette propriété que chacun de ses points a même puissance par rapport aux deux cercles. .On l'appelle axe radical des deux cercles, et Ton dit qu'elle est le « lieu géométrique des points qui ont même puissance par rapport aux deux cercles ».

Voici encore une propriété quantitative du cercle qui définit un « lieu géométrique » remarquable : Considérons un cercle dont AD soit un diamètre. Joignons A à un point B quelconque du cercle, et sur A B prolongé, prenons une longueur A B' telle que

FiG. 22

A B X A B' = A D. Nous constatons que le point B' se trouve sur la droite perpendiculaire à A D menée par D.

Répétant la même construction pour diverses positions de B sur le cercle (fig. 22), nous obtenons toujours un point B^ situé sur la même droite perpendiculaire à A D. Cette droite, indé-. finiment prolongée dans les deux sens, est dite figure, inverse du cercle. Elle est, dit-on, aussi Je « lieu géométrique » des points B' jouissant de la propriété que, si l'on appelle B le point oii la droite A B' coupe le cercle,

on ait l'égalité A B X A B' = AD.^

^YGONES 23. On appelle polygone régulier un

RÉGULIERS polygone (voir n*» 15) dont tous les "'""'"'""""""""' angles sont égaux entre eux et tous les cotés égaux entre eux. Les plus simples des polygones réguliers sont le triangle équilaiétal (triangle dont les trois côtés sont égaux) , le carré (quadri a'ère dont les nuatre côtés sont égaux et dont les quatre angles sont droits)» puis le pentagone régulier (à 5 côtés), V hexagone (à 6 cotés), etc..

Dans tout cercle on peut inscrire des polygones réguliers d*un nombre arbitraire de côtés. Je veux dire qu'on peut construire des triangles équilatéraux, des carrés, etc., ayant tous leurs sommets sur la circonférence du cercle.

D'ailleurs les polygones réguliers d'un même nombre de côtés inscrits dans un même cercle ont tous des côtés de même longueur, et cette longueur est liée à celle du rayon du cercle par une relation remarquable.

C*est ainsi que si R est le nombre qui mesure le rayon du cercle, le triangle équilatéral inscrit aura i;n côté

— 2 ' l'hexagone régulier inscrit aura un côté égal au

rayon du cercle (la fig. 23 représente en pointillé un triangle équilatéral inscrit et ec traits pleins un hexagone régulier inscrit, dont un côté quelconque, A B, est égal au rayon O A) .

PlG. 23

FIGURES A TROIS 24. Toutes les figures que nous avons DIMENSIONS. — considérées dans les pages qui précèdent POLYÈDRES RÉ- sont des figures tracées sur un plan, des GULIERS. — figures planes. Les figures à trois dimen- CONEi sions sont un peu plus difficiles à étudier

et surtout à représenter (parce qu'il est est impossible d*en dessiner l'image exacte sur un tableau noir ou une feuille de papier; il faut se contenter d*en tracer des projections, des coupes, ou des représentations conventionnelles faites selon certains modes de perspective) . Elles jouissent néanmoins de propriétés nombreuses et remarquables. Ces propriétés, on les trouvera exposées en détail dans tous les traités de géométrie. Je les passe ici sous silence, car les exemples tirés de la géométrie pJane suffisent sans' doute à nous donner une idée du point de vue auquel se placent les géomètres et des fruits qu'ils ont récoltés. J'indique toutefois que, d'après Platon, c'est dans la géométrie à trois dimensions (appelée stéréométrie) que se rencontrent les figures les plus, 'parfaites, les plus riches en propriétés harmonieuses : ce sont la sphère d'abord, les poljfèdres réguliers ensuite, c'està-dire les figures limitées par des droites et des plans dont toutes les faces sont des polygones réguliers symétriquement disposés. II y a exactement cinq polyèdres réguliers. Les pl)is simples sont le cube et le tétraèdre (ou pyramide formée de quatre faces qui sont des triangles équilatéraux égaux) . Viennent ensuite V octaèdre (figure à huit faces égales qui, sont des triangles éouilatéraux), le dodécaèdre (figure à 12 faces égales qui %oni des triangles équilatéraux) , Vicosaèdre (figure à 20 faces égales qui sont des triangles équilatéraux) .

Bien d'autres figures à trois dimensions sont dignes d*être étudiées, par exemple le iore (figure en forme de couronne) , le cylindre, le cône. Cette dernière figure est obtenue, comme on sait, en considérant un cercle (cercle de base) , ainsi qu*un point S (sommet du cône) , hors du plan du centre de base, et en traçant l'ensemble des droites qui vont du sommet S aux points A, B, C, etc., de la .

circonférence du cercle (flg. 24) . L'ensemble des droites ainsi définies forme une couche superficielle en forme de cornet que l'on appelle la surface du cône.

T I N S 25. Lorsque l'on coupe un cône par un

ONIQUES plan, V intersection du plan et- de la sur- ~""""~"^""~" face du cône est une courbe plane qui, évidemment, doit jouir de propriétés particulières. Effectivement, cette courbe appartient à une famille de figures qui,

avec certaines vari'antes, présente des caractères spécifiques particulièrement saisissants : la famille des sections coniques.

Considérons, dans un plan, un point fixe F, appelé joyer, et une droite fixe D' D, appelée directrice (flg. 25) . Puis envisageons un point M variable dans le plan et prenons sa distance au point F (longueur M F) et sa distance à la droite D' D (longueur M H comptée sur la ;rpendiculaire abaissée de M sur D' D) . Le rap-