H ' ■■ I II I II

la position de M. Mais, parmi toutes les positions de M dans le plan, envisageons celles pour lesquelles le rap-

M F port |v^ Tj - a une même valeur donnée. L'ensemble de?

valeurs de M ainsi définies constitue ce que l'on appelle un « lieu géométrique » de points jouissant d'une propriété commune (comparer n® 22) . C'est une courbe d'un certain type.

Or, on constate que, suivant que la valeur fiace assi-

gnee au rapport vûrrr est plus petite que 1 (ce qui veut

dire que M F est plus petit que M H) , plus grande que

1 , ou égale à I , la courbe considérée a l'une des trois ^ formes représentées par la figure 26. Dans le premier cas, la courbe est dite ellipse^ dans le second cas h^perbole^ dans le troisième cas parabole.

Et il se trouve que précisément l'intersection d'un cône et d'un plan pourra être (suivant la disposition du plan par rapport au cône) l'une ou l'autre de ces trois courbes et sera toujours l'une de ces courbes (*) . C'est pourquoi celles-ci — qu'elles soient ellipses, hyperboles ou paraboles — sont appelées « sections coniques ».

(*) ET^cephonnelIement, la courbe pourra dégénérer en anc droite ou en deux droites.

26. Rappelons brièvement quelques-unes des propriétés de ces courbes remarquables.

Nous avons donné ci-dessus une définition .de Tellipse / où intervient un point appelé foyer et une directrice. Or, il se trouve que Tellipse a deux^ foyers. En d'autres termes, la même ellipse, que nous avons définie en considérant le point F et la .droite D' D, peut être définie de lamême manière en partant d'un autre foyer F et d'une autre directrice. Et, si l'on considère les deux foyers simultanément, on reconnaît le fait suivant : Quel que soit le point M sur V ellipse, la somme de ses distances aux deux foy^ers, cesUà-dire la somme M F + M F' a toujours la même valeur (la même longueur) .

— Cette propriété est caractéristique de l'ellipse. Ainsr l'ellipse peut être considérée comme la courbe Fig. 27

formée par les points (le « lieu

géométrique » des points) tels que la somme de leurs Jîstances à deux points fixes du plan, F et F' soit égale à une même longueur donnée.

Prolongeons la droite FF' jusqu'à ses points de rencontre en A et B avec l'ellipse. Elevons d'autre part, au milieu O de FF^ la perpendiculaire à AB, qui coupe Tellipse en C et D. La figure de l'ellipse se trouve être symétriquement disposée par rapport aux deux droites AB et CD, fait qu'on exprime en disant que AB et CD sont des axes de symétrie de l'ellipse; AB (qui passe par les foyers) est le grand axe; BC est le petit axe.

Considérons, d'autre part, la tangente à l'ellipse au point M (droite TT' qui touche l'ellipse au seul point iVx) .

Cette tangente (fig. 27) jouit notamment de la propriété suivante : Les angles FMT et F'MT' (angles qu'elle forme avec. les droites joignant le point M aux deux foyers) sont deux angles égaux.

Signalons encore, à propos de Tellipse, la propriété suivante découverte par Pascal : Si un hexagone est inscrit dans une ellipse (c'est-à-dire a ses 6 sommets sur Tellipse) et si l'on prolonge chaque côté de l'hexagone jusqu'à sa rencontre avec le coté opposé (*) ♦ les 3 points de rencontre des 3 couples de côtés opposés de l'hexagone sont toujours situés sur une même ligne droite.

Nous avons dit que l'ellipse a deux foyers. Pour certaines ellipses, cependant, ces foyers peuvent être très près l'un de l'autre, et il peut même arriver qu'ils coïncident. Ils coïncident alors aussi avec le point O (milieu de FF') et l'ellipse devient un cercle de centre O; en ce cas, en effet, la somme des longueurs MF + MF' devient 2 MO, et la propriété dont jouit cette somme exprime simplement que pour tout point M de la courbe, le double de la distance au centre O (donc cette distance elle-même) a une même valeur. Il suit de là que les cercles sont des ellipses d'un type particulier (**) .

(*) Parcourant le contour de Thexagone à partir d'un premier côté, numérotons les côtés de 1 à 6 dans Tordre où nous les rencontrons. Nous appellerons côtés opposés de l'hexagone les côtés marqués 1 et 4, ou 2 et 5, ou 3 et 6.

(**) Si Ion définit l'ellipse au moyen du foyer F et de la directrice D D comme nous l'avons fait plus haut, on constate que, plus la directrice s'éloigne du foyer, plus l'ellipse se rapproche d'un

MF cercle (le rapport -jrrrj- devenant d'ailleurs de plus en plus petit).

Pour que l'ellipse ainsi définie devînt un cercle, il faudrait donc que la directrice s'éloignât jusqu'à distance infinie.

La courbe que nous avons appelée hijperbole jouit de propriétés analogues à celles de Tellipse, quoiqu'un peu différentes. L'hyperbole a, comme l'ellipse, deux foyers. Mais ici c'est la différence (et non plus la somme) des distances d'un point quelconque de la courbe aux deux foyers qui conserve toujours la même valeur.

La parabole, par contre, n'a qu'un foyer. Pour cette courbe, on le remarquera, la propriété du foyer et de la directrice énoncée plus haut devient particulièrement simple : Pour tout point M de la parabole, la distance MF au foyer et la distance Mhi à la directrice (fig. 25) se trouvent être des longueurs çg^^les.

iOURBES DIVER* 27. Les sections coniques jouissent en- >ESi — CYCLOlDE. core d'un grand nombre d'autres pro- """""""""""""""""^ priétés, qu'il serait trop long d'énumérer. Aussi ces courbes ont-elles pendant longtemps suffi à contenter la curiosité des géomètres. Les écoles du monde grec ont concentré sur elles toute leur attention et. elles n'ont qu'exceptionnellement considéré quelques autres courbes, comme la conchdide et la cissoïde, dont tous les traités de géométrie nous donnent la définition.

A partir du XVII® siècle, cependant, les géomètres ont imaginé de nouvelles méthodes qui leur ont permis d'étudier, une inunense variété de courbes inédites. Je dois au moins V une mention à celle de ces courbes qui entre 1650 et 1700 a fait le plus de bruit : la roulette ou cy^cloïde.

Considérons un point M fixé à une circonférence. Lorsque la circonférence roule sur une droite, le point M décrit une courbe, qui est composée d'une série de demi-

boucles toutes égales entre elles (fig. 28), et qui est appelée roulette ou c\fcloïde [ainsi, un clou fixé sur la circonférence d'une roue de voiture décrit une cycloïde lorsque la roue roule sur une route plane; supposons qu'au commencement du mouvement le clou soit à terre en A; il s'élève a Dartir de A, puis s'abaisse,

en B lorsque la roue a décrit un tour complet; et ainsi de suite] . La cycloïde a de nombreuses propriétés concernant notamment sa longueur, sa tangente, et les figures que l'on peut engendre): en la faisant tourner autour de l'axe ABC ou en effectuant d'autres opérations. Voici, à titre d'exemple, la propriété qui caractérise la longueur de la courbe, prise de A à B (longueur de la demi-boucle de c^cloide) : cette longueur est égale à huit fois le ray^on du cercle roulant qui la définit.