CHAPITRE III

La démonstration mathéir^tique.

28«J*ai cherché à faire comprendre, ou du moins à faire deviner, quel est le genre de vérités que prise le mathématicien, quelles sont les choses qu*il cherche à découvrir lorsqu'il explore le monde des nombres ou celui des figures. Mais ces vérités — si précieuses pour l'humanité parce qu'elles sont éternellement vraies — comment les obtient-on, comment les découvre-t-on, comment s'assure-t-on qu'elles sont bien telles que nous les supposons?

Sans doute, toute assertion relative aux nombres ou aux figures peut toujours, et très facilement, être* soumise soit à l'épreuve du calciiU soit à l'épreuve du dessin. Si je dis que la somme des n premiers nombres entiers est égale à la moitié du produit du nombre n par le nombre n + 1, je puis immédiatement vérifier mon, dire pour telles valeurs de n qu'il me plaira. Un calcul immédiat me montre en effet que la somme des 5 premiers nombres est bien égale à la moitié de 5 X 6, c'est-à-dire 15, que la somme des 7 premiers nombres est bien égale à la moitié de 7 X 8, ou 28, que la somme

des 1 premiers nombre» est bien égale à la moitié de 1 X 1 1 ; et ainsi de suite. Si je dis, d'autre part, que les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un même point, je puis encore vérifier cette assertion en des^ sinant avec une règle un triangle quelconque, en en cons^ truisant (*) les hauteurs et en constatant ainsi que lep ^ trois hauteurs concourent bien en un même point. Si jf dis qu'un cône est coupé par un plan suivant une ellipse,^ une hyperbole ou une parabole, j'énonce un fait un peu plus difficile à contrôler que les précédents, parce qu'il se rapporte à une figure à trois dimensions. Mais je puis encore néanmoins justifier mon affirmation en dessinant des projections ou des coupes de ma figure à trois dimensions. S'il me plaît, d'ailleurs, je puis également procéder à une vérification directe : je prendrai. un cône matériel (tel qu'un pain de sucre) et, le fendant avec un couteau, je constaterai que la fente a pour figure l'une des courbes appelées « sections coniques ». De semblables vérifications sont toujours réalisables. Mais l'on voit immédiatement pourquoi elles n'ont pas suffisahiment de force pour fonder, d'une manière solide et définitive, les vérités des mathématiques.

Et d'abord, pour /:e qui est du dessin, il n'a jamais une exactitude rigoureuse; il n'est qu'approximatif; il ne saurait donc prouver que les vérités énoncées sont absolument vraies, mais seulement qu'elles sont à peu près vraies. Et, lorsqu'il s'agira de propriétés très complexes, dont le dessin concret ne saurait donner

{*) Avec une équerre ou, d'une façon plus précise, à l'aide du compas et de la règle, en appliquant des procédés bien connus des arpenteurs.

^(qlrune idée grossier^, qui peut prévoir jusqu'où nou$ ^' risquerons de descendre dans Y « à peu près » > "l '^"Màis il y a plus. Supposons que nous réussissions à faire des dessiîis rigoureusement parfaits. II restera que les figures dessinées par nous sont toujours des figures indi- ^ivîHuelles; bien qu'elles appartiennent à un type théorique \\^éral (celui dont nous étudions les propriétés) — par v! exemple, le type triangle^ ou hexagone, ou ellipse — , ces figures ont néanmoins forcément une orientation, des proportions et diverses particularités qui leur sont spéciales. Comment, dès lors, pouvons-nous être sûrs que la propriété dont nous constatons la présence dans une figure déterminée ne tient pas justement aux particu- Utités de celle-ci et qu'elle se retrouvera toute pareille dans les autres spécimens du type général ? Là est l'objection fondamentale à laquelle sont exposés tous nos I procédés de vérification, ceux qui reposent sur le calcul comme ceux qui reposent sur le dessin. Ainsi pour reprendre l'exemple que nous présentions tout à l'heure, il nous est facile, sans doute, de vérifier la propriété de I la somme des n premiers nombres pour n = 5, pour n = 7, pour n = 10 et pour autant de valeurs spéciales de n que nous le désirerons. Mais de quel droit affirmons-nous d'avance que la propriété est encore vraie pour toutes les autres valeurs de n — valeurs en nombre infini, qu'il nous est matériellement impossible de mettre toutes à l'épreuve les unes après les autres ?

29. Ces remarques étaient familières aux philosophes grecs, et ils en avaient conclu que les vérités mathématiques sont étrangères au domaine de la connaissance

64 LES MATHÉMAT IQ UES

sensible; elles se trouvent sur un plan plus élevé; elles appartiennent à un monde sur lequel les sens n'ont pas de prise et où seule pénètre 1* intell igence ; c'est par une sorte de vision de l'esprit, — di' intuition, disaient les Grecs — , et non par les yeux du corp's, que nous pouvons les apercevoir et ensuite nous en rendre maîtres.

Si cette faculté d'intuition, dont nous parlent les Grecs, existe réellement — et il semble que sans elle les caractères distinctifs de la pensée mathématique seraient inexplicables — il faut admettre, n'est-il pas vrai, qu'elle n'est pas le privilège de quelques-uns et que tous les hommes peuvent à tout instant en faire usage. En fait, cependant, il n'est pas douteux que l'intuition se manifeste en nous avec une intensité plus ou moins grande et d'une manière très intermittente. N'en profite que qui sait s'en servir. Comment donc devrons-nous nous y prendre pour la mettre à même de s'exercer et comment la stimulerons-nous afin de lui faire fournir tout ce qu'elle peut donner 7 L'intuition mathématique, d'autre part, est plus ou moins pure. Soit que l'intelligence ne s'affranchisse pas suffisamment de l'influence des sens et des illusions où ils nous font tomber, soit que son mécanisme ne fonctionne pas d'une manière parfaite, il lui arrive de ne pas vbir juste du premier coup. Conunent donc nous assurerons-nous que notre intuition ne s'est pas trompée et que telle vérité, que nous pensons apercevoir, est bien en effet une vérité?

En d'autres termes, pour faire œuvre de mathématicien, l'intuition pure et simple ne nous suffit pas. Il faut que nous ayons un moyen de la faire travailler et aussi un moyen de la contrôler.

A vrai dire la préoccupation que nous laissons voir ici n'a peut-être pas existé au même degré à toutes les époques. Les premiers Pythagoriciens considéraient, semblc-t-îl, les vérités mathématiques comme autant de trésors secrets qu*il ne fallait pas profaner en donnant au premier venu le moyen de les acquérir. Aussi ne se souciaient-ils pas de codifier et de formuler les méthbdes qui permettent à tout homme sensé d'atteindre les propriétés des nombres et celles des figures. L'important pour eux était dé savoir que ces propriétés existent. Or cela ils le savaient avant même peut-être de l'avoir établi par un raisonnement absolument probant. Il est des cas, en effet, où la conviction morale qu'à défaut de preuve formelle nous pouvons avoir d'une vérité a, par suite des circonstances, la valeur d'une certitude. Et en ce cas cette conviction — bien qu'inexistante pour un esprit critique et sceptique — suffit cependant à enthousiasmer le véritable savant, celui qui a un sens aigu de la vérité spéculative. Cependant l'attitude adoptée par les premiers Pythagoriciens n'a point été longtemps en faveur dans le monde savant. Elle disparut rapidement, et en Grèce même, pour faire place à Ime disposition toute différente. En effet, le génie grec était complexe et varié. Dans ce même pays où l'on sentait si profondément la beauté intrinsèque des choses mathématiques et la joie que l'intelligence trouve dans leur possession quel que soit le chemin par où elle s'y est élevée, dans ce même pays, on avait aussi au plus haut degré le goût de la logique et de la dialectique ; on y était très sensible au plaisir que procure à l'homme la poursuite et la conquête même de la vérité. En tout bon Grec, ne l'ouUions pas, il y a un rai-

sonneur, un sophiste au vrai sens du mot, et la science mathématique, fruit de la pensée grecque, a profité de ce trait national. Bien vite, en effet, les auteurs de cette science ont reconnu que les propriétés mathématiques peuvent être établies — prouvées — d'une manière rigoureuse et systémarfque, par l'emploi de certains procédés généraux que la logique détermine. Et, dès lors, ils ont posé d'une main ferme et sûre les « règles de la démonstration mathématique ».

30. Convient-il d'insister ici sur ces règles et sur l'appareil logique de la démonstration? Je crois bien que non; car c'est là probablement ce que connaissent le mieux, — ce que ne connaissent que trop peut-être — la plupart des hommes et des femmes à qui l'on a enseigné les rudiments des mathématiques. A notre époque, le nom seul de mathématicien évoque aussitôt dans les esprits l'idée de raisonnement en forme, d*axiomes énoncés sur un ton tranchant, de syllogismes pesants et de calculs rébarbatifs indéfiniment alignés. C*est à ces signes que l'homme du monde croît reconnaître l'esprit géométrique, auquel, pour avoir lu Pascal sans le comprendre, il oppose naturellement l'esprit de finesse, c'està-dire son propre esprit. Quelle erreur, quel aveuglement, soit dit en passant. Non, la logique n'est point l'objet principal de l'activité du mathématicien. Elle est seulement l'instrument dont il se sert pour s'assurer la pleine possession de ses' trésors. La logique joue dans la science le même rôle exactement que dans la vie. Mais, ayant affaire à une matière particulièrement subtile, le savant doit employer les formes de raisonnements les plus affi-

nées, alors que Thomme du monde se cotitente ordinaireii^ent des plus grossières. Dans la logique de la vie courante, n'estai! pas constant que, si un homme est dans l'erreur, son contradicteur doit avoir raison, que si une cause est multipliée par deux il en est de même de l'effet, que les conditions variables des phénomènes évoluent toujours dans le même sens à moins qu'elles ne soient au contraire continuellement oscillantes? Autant de fautes de raisonnement que le mathématicien lui aussi a commises naguère, ïX)ur son propre compte, mais dont il a su depuis longtemps se mettre à l'abri en perfectionnant son outil logique et en s' imposant des règles de déduction extrêmement sévères et minutieuses.

31. Le modèle auquel se conforment les mathématiciens pour bâtir leurs démonstrations a été, comme je le disais plus haut, fixé par les Grecs. Il apparaît dans toute sa pureté chez Euclide. C'est en appliquant les principes du vieux maîtte alexandrin que l'on a édifié un vaste système mathématique auquel il était lui-même, bien loin de songer.

• La méthode consiste à prendre un point de départ rigoureusement déterminé : définitions, d'une part; postulats et -axiomes, d'autre part, — ces derniers complétant les définitions, soit en en affirmant la légitimité ou en en précisant le contenu, soit en énonçant certaines propriétés primordiales qui caractérisent les notions auxquelles se rapportent les définitions. De ce point de départ tout le reste doit être déduit par un purocessus logique au moyen de certaines méthodes que les Grecs ont soigneusement an^ysées : méthode de la démonstration sy^n-^

thétique, méthode de la démonstration analytique (on la reconiiaît à ce trait, dans les cours élémentaires de mathématiques qu*elle débute en « supposant le problème résolu ))), méthode de la démonstration par V absurde, etc., etc. Les résultats auxquels conduisent toutes ces démonstrations sont ensuite ordonnés et classés sous forme de lemmes (ou propositions préparatoires) , de théorèmes (propositions principales) , de corollaire^ (propositions accessoires, conséquences des théorèmes) , et ainsi de suite.

32. Comme exemple de démonstration faite suivant les règles, je titerai la démonstration du théorème énoncé plus haut au n^ 1 8 : « La somme des angles d*un triangle quelconque est égale à deux angles droits ».

On a défini, au début de la géométrie, Tangle droit, moitié du plus grand angle possible dont les deux côtés sont en prolongement l'un de l'autre (n*^ 11). De là résulte que l'angle dont les cotés sont sur une même droite, comme l'angle B A D ' de la figure 1 2 a pour valeur deux angles droits. On a défini, d'autre part, avant toute démonstration, les droites parallèles, et l'on a posé ce postulat : « Par un point pris hors d'une droite on peut mener une et une seule parallèle; à cette droite ». Partant de là et des autres définitions et axiomes, on a pu (( démontrer » les théorèmes qui . font l'objet de notre n^ 1 7 et qui ont trait à l'égalité des angles alternesinternes, correspondants, etc., formés par des droites parallèles.

Une fois parvenus à ce point, nous pouvons donner une démonstration logique rigoureuse du théorème du n° 18 Par le point A, dirons-nous, nous menons la parai-

lèle A E a la droite B C (cela est possible d'après l'axiome énoncé ci-dessus). Alors, d'après le théorème sur les angles alternes-internes, les angles marqués 2 et 4 sur la figure 12 se trouvent égaux. De même, d'après le théorème sur les angles correspondants, les angles «marqués 3 et 5 sont égaux entre eux. Il suit de là que la somme des trois angles 1 , 2, 3 est égale à la somme des trois angles 1 , 4, 5. Mais cette dernière somme n'est autre que l'angle B A D dont les deux côtés sont en ligne droite. Donc elle vaut deux angles droits. C. Q. F. D. (Ce qu'il fallait démontrer).

33. Donnons encoxe un autre exemple de démonstration en prouvant que la somme des n premiers nombres entiers est égale à la moitié du produit de n par n + 1 (n** 2). — Ecrivons sur une ligne, les uns à côté des autres, les n premiers nombres à partir de 1, et écrivons au-dessous les mêmes nombres pris dans l'ordre inverse à partir de n (les nombres non explicitement écrits seront remplacés par des points) :

Cela fait, additionnons chaque nombre de la première ligne avec le nombre situé au-dessous. Nous obtenons 1 +'n, puis 2 + n — 1, c'est-à-dire 1 + n, puis 3 + n — 2, c'est-à-dire encore 1 + n, etc. ; on voit que quand nous passons d'une addition à la suivante, le nombre que nous prenons sur la première ligne augmente

d'une unité, le nombre situé au-dessous diminue d'une unité, donc le résultat de l'addition ne change pas et donne toujours 1 + n.

Mais il y a n nombres sur notre ligne. Donc nous avons à faire n additions qui toutes donnent pour somme 1 + n. Et, par suite, la somme totale de toutes les sommes partielles ainsi formées est n fois le nombre 1 -hn, ou « n multiplié pàY n + 1 ». Mais qu'est-ce que cette somme totale ? C'est une somme qui comprend tous les nombres de la première ligne (chacun une fois) et, en outre, tous les nombres de la seconde ligne. Or chacune de nos lignes contient les n premiers nombres. Donc notre somme totale, c'est deux fois la somme des n premiers nombres. J'en conclus que : deux fois la somme des n premiers nombres = produit de n par n + 1 , ou encore : somme des n premiers nombres = moitié du produit de n par n + 1 . C. Q. F. D. (Ce quil fallait démontrer) .

Tel est le raisonnement que l'on trouve dans la plupart des' cours d'arithmétique et dont j'ai volontairement allongé l'exposé afin d'en bien dégager toutes les parties et tous les détails. C'est par des raisonnements semblables, mais de pJus en plus complexes, que toutes les pi'opriétés mathématiques — celles dont il a été question dans nos deux premiers chapitres comme celles que l'on rencontrera dans la science la plus avancé^ — doivent être justifiées et « démontrées ».

34. Les règles de la démonstration, on le voit, sont aisées à définir. Ce qui est difficile, c'est de les appliquer, et surtout d'en tirer des propriétés vraiment belles et

dignes d'attention. Une autre difficulté provient du fait suivant. Nous avons dit que, pour construire logiquement les mathématiques, il faut se donner d*abord un point de départ .(définitions, axiomes, et postulats). Or comment saurons-nous si le point de départ que nous adoptons est bien le meilleur qu'on puisse prendre, et comment même pourrons-nous être sûrs qu'il est bien correct, qu'il est légitime ?

Une première réponse nous vient tout d'abord à Tesprit. La logique est, en mathématiques, l'auxiliaire de l'intuition. Or, s'il est vrai que l'intuition est exposée à se tromper lorsqu'elle s'exerce - sur des données complexes, ne doit-on pas la tenir pour infaillible tant qu'elle se borne aux notions élémentaires? Ainsi, pour obtenir ses définitions et ses axiomes, le logicien, en somme, n'aurait qu'à écrire sous la dictée ce que l'intuition lui fera connaître. Ce n'est que sur les propriétés d'un caractère moins immédiat que nous lui demanderions d'exercer un contrôle.

A la réflexion, cependant, cette vue trop paresseuse ne saurait nous satisfaire. Une longue expérience nous a rendus méfiants et nous voudrions construire une science dont là base même ait une certitude, une justification logique. Or, de ce point de vue, la géométrie d'Euclide elle-même — ce modèle admirable — laisse fort à désirer. Sans doute peut-on dire que le point de départ d'Euclide se trouve légitimé par le fait que le géomètre en a tiré un système impeccable et qu'aussi loin que l'on pousse les conséquences logiques de ses prémisses on n'y découvre jamais aucune contradiction, aucun défaut d'aucune sorte. Mais, répondront les dialecticiens intransigeants, la

science, ni aucune de ses parties, ne sera jamais close, et de ce que la géométrie euclidienne est jusqu'ici inattaquable on ne saurait conclure en toute rigueur que, si nous en poursuivons le développement, nous ne tomberons par un jour dans des contradictions qui nous forceront à en modifier certains fondements.

Pour construire une science vraiment inébranlable, il est nécessaire de soumettre les axiomes qui lui servent de base à Une série d'épreuves logiques extrêmement déli- *cates (pour simplifier nous pouvons appeler d'un nom unique, « axiomes .», toutes les données initiales posées ou postulées par les mathématiciens ; car ces données s'expriment toutes par des propositions logiques qui, du point de vue formel, sont de même espèce) .

En premier lieu, le mathématicien doit s'assurer que les axiomes dont il part pour construire une théorie sont des axiomes compatibles. J'entends par là des axiomes qui ne se contredisent pas les uns les autres et tels qu'on puisse affirmer à l'avance que toutes les propositions obtenues en les combinant seront elles aussi exemptes de contradiction. Les axiomes de la géométrie euclidienne sont bien en ce sens (et ceci répond à la question posée il y a un instant), des axiomes compatibles; mais c'est seulement récemment que l'on a pu démontrer qu'ils jouissent

de cette propriété.

En second lieu, il convient d'examiner si les axiomes

envisagés sont bien suffisants, et si leur énoncé est rigoureusement complet. C'est là une condition que les axiomes euclidiens ne remplissent qu'imparfaitement (bien qu'à cet égard' Euclide soit beaucoup plus circonspect que la plupart de nos traités élémentaires de géométrie) .

Eln effet, indépendamment des hypothèses qu'ils formulent, les Euclidiens, sans y prendre garde, utilisent parfois dans leurs démonstrations certains principes « évidents » qu*ils négligent d'énoncer explicitement. Il y a là une faute qu'il importe de corriger. Toutes les vérités qui ne sont pas des conséquences logiques des axiomes doivent sans exception être elles-mêmes comptées comme des axiomes; et toutes les assertions que l'on entend impliquer dans un axiome doivent apparaître tout au long dans nos énoncés. C'est ainsi que le professeur. H ilbert distingue comme autant d'axiomes indispensables de la géométrie toute une série de faits que l'on croyait naguère pouvoir sous-entendre : ceux-ci, par exemple : « Soient A, B, C, trois points d'une même droite; si le point B est entre A et C, le point B sera aussi entre C et A » ; « De trois points quelconques d'une droite, il y en a toujours un et un seul qui est entre les deux autres )>, etc.

En troisième lieu, notre système initial d'axiomes ne devra être regardé comme bien choisi que s'il ne comprend pas d'axiome superflu (axiome dont la vérité résulte de celle des autres axiomes) , et s'il ne peut pas être remplacé par un autre système d'axiomes strictement équivalent et pourtant plus simple; dans ce dernier cas en effet, nous devrions, à vertu égale, préférer les axiomes qui sont les plus simples.

En quatrième lieu, enfin, il conviendra de rechercher si les axiqjnes soumis à examen forment ou non — logiquement parlant — un bloc indissoluble. En d'autres ^ termes, il faudra voir si l'on peut, sans absurdité, et sans retirer tout sens aux axiomes maintenus, supprimer quelques-uns des axiomes et au besoin les remplacer par d'au-

très. Sans doute, à supposer que l'on modifie de la sorte le système des axiomes considérés, tout le système des conséquences de ces axiomes se trouvera par là même transformé. On obtiendra, en conséquence, un chapitre de science nouveau, où des propositions qui naguère étaient fausses seront devenueis des vérités. Mais qu'importe, si le nouveau système est bien cohérent et s'il est exempt de tout défaut logique? Ne doit-on pas en ce cas le considérer comme « tout aussi vrai » que le système auquel, par routine peut-être, nous nous étions attachés primitivement?

35. Le cas que nous imaginons ici s'est présenté, comme on sait, à propos du fameux (( postulat des parallèles ». Euclide avait affirmé, à titre de postulat, que, par (*) un pcfini pris hors à* une droite^ on peut mener à celle-ci une parallèle et une seule. Toutefois, il avait distingué ce postulat des autres parce que la propriété énoncée ne lui paraissait pas être un fait vraiment immédiat, vraiment primordial. La propriété, semblait-il, eût dû être l'objet d'un théorème plutôt que l'objet d'un axiome. D'où un doute, qui porta d'abord les successeurs d'Euclide à se poser la question suivante : Le postulat des parallèles ne serait-il pas un axiome superflu, une proposition qui I>euf être démontrée à l'aide des vérités premières de la géométrie? -Cependant tous les efforts tendant à « démontrer » le fameux postulat restèrent infructueux, et, au ^ début du XIX® siècle, la question apparut soudain sous un nouveau jour. Non, le postulat des parallèles n'est pas un

(*^) L*énoncé d'Euclide est présenté sous un forme un peu différente mais équivalente.

axiome superflu, mais c'est un axiome qui ne fait pas bloc avec les autres axiomes eudidiens. Si Ton abandonne cet axiome en gardant les autres, on ne ruine nullement ces derniers; mais on obtient un nouveau système de géométrie, fort différent de celui d'Euclide, tout aussi légitime cependant. Un tel système nous est offert par la « géométrie de Lobatschewsky » (dite « géométrie non-euclidienne ))) dans laquelle on peut, par tout point, mener une infinité de parallèles à une droite quelconque. Une autre géométrie non-euclidienne est celle de Riemanii; celle-ci jette par-dessus bord non seulement le postulat des parallèles, mais^ aussi d'autres axiomes traditionnels, car, dans cette géométrie, les lignes droites ne peuvent avoir une longueur infinie : d'après elle on ne peut^ par un poiiit, mener à une autre droite aucune parallèle.

Les personnes étrangères à l'analyse mathématique ont été longtemps intriguées par l'énigme que leur paraissaient poser ces (( géométries non-euclidiennes » sorties brusquement du néant. Il n'y a cependant là aucun mystère. Les géométries non-euclidiennes portent sur d'autres faits mathématiques que les géométries ordinaires. Et ces faits d*abord nous surprennent un peu parce que nous n'avions pas su les découvrir par intuition directe et parce que nous avons quelque peine à les « imaginer )>. Mais il y a bien d'autres théories, dans les mathématiques modernes, qui dépassent notre imagination et oii seule l'intuition la plus dégagée des sens est capable de progresser, avec le secours de la logique. Ce qui est particulier aux théories non-euclidiennes, c'est qu'on y emploie dans un sens inusité des mots consacrés par un usage millénaire (droite, cercle, etc.). C'est là une question de vocabulaire.

76 LES MATHÉMATICIUES

Peut-être serait-il raisonnable de réserver le nom même de (( géométrie » au système euclidien, parce que c'est le système le plus simple, parce que, lors même que nous l'abandonnons, c'est encore à lui que nous nous référons pour interpréter les autres (*) . ^ais, quelque nom que nous lui donnions, n'oublions pas que la « géométrie noneuclidienne » énonce des faits réels, nullement • f aatai sistes. Au sens physique du mot c'est même elle, peut-être, qui exprime la réalité la plus vraie, celle qui a une existence concrète; car, selon les vues aujourd'hui fort, envogue d'un grand savant moderne, Albert Einstein, le monde où nous vivons ne serait pas, comme on l'a cru longtemps, un espace géométrique euclidien : ce serait un monde non-euclidien.

(*) Ainsi, pour expliquer ce qui se passe dans ce que la géométrie de Riemann appelle un ce plan », on a coutume de comparer ce « plan » à la surface d une sphère ordhiaire. Les (( droites » tracées dans le plan de Riemann seront comparables à des arcs de cercles tracés sur la sphère et ayant pour centre le centre de la sphère. De tels arcs ont toujours une longueur finie (si la sphère est elle-même, comme on le suppose, de dimension% finies) et il est clair qu'ils se coupent tous entre eux (il n*y a donc pas de couple d*arcs jouissant de là propriété — que possèdent les parallèles -r- de ne pas St rencontrer quelque loin qu'on les prolonge). Les mêmes circonstances se présentent pour les « droites » de ,1a géométrie dç Riemann,