CHAPITRE IV

Le calcul algébrique

36. Nous nous sommes demandé dans le chapitre précédent quelles règles il fallait imposer à l'intelligence mathématique pour obtenir une science garantie contre toute erreur, et nous avons reconnu que nous devions combiner la si>éculation intuitive avec l'exercice du raisonnement logique. Suffit-il, cependant, de formuler ce précepte pour donner au mathématicien le moyen de réussir dans ses entreprises et de faire d'importantes découvertes? L'expérience montre vite qu'il n'en est rien. Les règles de la démonstration nous apprennent sans doute à faire des raisonnements justes, mais elles ne nous permettent pas de prévoir d'avance quels sont, parmi ces raisonnements, ceux qui conduiront au résultat cherché ou même à un résultat quelconque. Pour faire œuvre d'inventeur, il faut, en mathématiques, de l'habileté, du flair, de la chance aussi, et cela, les procédés euclidiens ne nous le donneront pas. Aussi le progrès des mathématiques reste-t-il, malgré la logique,, extrêmement incertain et aléatoire. Il dépend, en définitive, du igénie de quelques savants, c'est-à-dire de circonstances fortuites et absolument imprévisibles.

Ainsi devaient %eïi juger les mathématiciens de la grande époque grecque, et sans doute ne s'affligeaient-ils pas outre mesure à l'idée qu'il fallait posséder des dons particuliers pour pouvoir exercer leur art. N'était-ce point là, cependant, une opinion un peu trop hâtive, tenant à l'insuffisance de la science antique? On pouvait se le demander, et il était naturel de chercher à améliorer les conditions du travail mathématique afip d'en accroître le rendement. C'est ce qui fut fait au XVII® siècle. En complétant la logique euclidienne par l'adjonction d'une nouvelle et puissante méthode — la méthode du calcul algébrique — Descartes et ses contemporains espérèrent obtenir ce qu'Euclide n'avait pas su réaliser : un mécanisme facile, et en quelque sorte automatique, permettant de résoudre tous les problèmes des mathématiques (ou du moins un très grand nombre), sans hésiter sur la marche à suivre et sans avoir constamment à accomplir de nouveaux prodiges d'invention et d'initiative.

Dans quelle mesure les savants du XVII® siècle ont-ils obtenu ce résultat? Ce chapitre et les suivants nous permettront de nous en faire und idée. On verra que la méthode créée par ces savants s'est, en effet, montrée extra-

ordinairement efficace et qu'elle a complètement changé l'aspect de la science. N'en concluons pas, toutefois, que les anciens étaient dans l'erreur et qu'ils avaient méconnu les véritables caractères de la pensée mathématique. Grâce au calcul algébrique, sans doute, une multitude de problèmes sont ramenés à des problèmes déjà connus, en sorte qu'on peut les résoudre sans nouvel effort d'invention. Mais, à mesure que nous résolvons plus de problèmes, d'autres se posent devant nous, dont

certains sont d'un type entièrement nouveau. Et pour attaquer ces derniers, Talgèbre ne nous suffit plus, un nouveau fil cpnducteur nous est nécessaire; si bien que nous nous trouvons exactement dans la situation où étaient nos devanciers lorsqu'ils débutaient dans la science. En réalité, les conditions de la découverte mathématique sont restées les mêmes. Le génie y est aussi indispensable que jamais mais aujourd'hui, l'algèbre aidant, un grand nombre de questions fort importantes peuvent être traitées sans soù secours.

37. Qu est-ce au juste que F algèbre? La meilleure définition qu'on en puisse donner est, je crois, celle que j'indiquais il y a un instant : L'algèbre est un ensemble de procédés qui permettent de résoudre les problèmes par des calculs mécaniques et automatiques. *

Les Grecs connaissaient sans nul doute certaines règles de l'algèbre. Mais nous avons dit déjà qu'entre la théorie et la pratique les Grecs dressaient une barrière infranchissable,' et ce caractère machinal qu'ont tendu à prendre en tous temps les calculs pratiques, ils ne se souciaient pas de l'introduire dans la théorie. C'est pourquoi ce fut seulement au XVII® siècle que l'algèbre prit la signification et commença à remplir le rôle que nous lui assignons aujourd'hui.

Pour réaliser son dessein, l'algébriste s'efforce d'abord . de formuler une fois pour toutes un ensemble de recettes 'le calcul susceptibles d'être utilisées à première demande ! ians divers problèmes d'arithmétique. C'est là la première >artie de sa tâche. La seconde consiste à déterminer les ! procédés grâce auxquels on pourra résoudre par le calcul

t ■ ■■■■■■■ ■■■■Il I ■ — ■ ■■■ .■-■■■■■-■»■■■■■■ - ■ ■ ■II-» I — .^— ^

toutes sortes de problèmes variés qui, à première vue, ne relèvent pas de la science des nombres, mais plutôt de la géométrie, de la mécanique, de l'astronomie ou de la physique.

38. Les règles du calcul algébrique, disons-nous, devront s'appliquer, tout d'abord, aux grandeurs arithmétiques, c'est-à-dire aux nombres et aux fractions. Pour abréger le langage, je comprendrai à l'avenir ces dernières sous le nom général de a nombres ». Elles seront dites (( nombres fractionnaires », ce qui les distinguera des « nombres entiers ». Allons plus loin tout de' suite. Les règles de l'algèbre doivent être également applicables à des grandeurs géométriques, principalement à des longueurs, ou plutôt — si nous nous plaçons au point de vue du calculateur — à des « mesures de longueurs ». Or les mesures de longueurs s'expriment sans doute communément par des nombres, mais elles ne sont pas toujours de*nombres entiers ou fractionnaires au sens spécifié ci-des-

sus. En effet, on sait qu'il existe des longueurs dont la" mesure rigoureuse n'est pas un nombre- exact de mètres ou de fractions de mètre. Telle est, par exemple, l'hypo- ] ténuse du triangle rectangle dont les autres côtés sont tous deux d* 1 mètre : cette hypoténuse, qui d'après Pythagore

vaut V"X ne peut être exprimée par aucune fraction; saijs doute peut-on trouver une fraction fournissant une

valeur approchée ^ (et même aussi approchée que Von voudra) (*) de V 2 [la détermination d'une telle fraction

(''') Le sens de cette expression sera expliqué plus en détail à J< fin du présent chapitre (voir n° 53).

est l'opération appelée « extraction de la racine carrée de 2 )) ] ; mais, quelque loin que l'on pousse l'approximation, on n'obtiendra jamais la valeur exacte de vTT -^ fait que l'on énonce en disant que V 2 est une grandeur

incommensurable. Eh bien : à toutes les grandeurs de cette nature nous voulons que -soient applicables les calculs de l'algèbre.

Dans ce but nous préciserons ainsi qu'il suit la définition que nous donnerons en algèbre de la « quantité ». Considérons, à partir d'un point O, sur une demi-droite indéfinie O-X (fig. 29) , toutes les longueurs telles que O A, A B

O B. Nous pouvons regarder cel- q ^

les-ci (ou plus exactement leurs fig. 29

« mesures » par rapport à une

certaine unité de longueur telle que le mètre) comme consrtituant des « quantités ». Si la mesure de O A ou O B est un nombre entier ou fractionnaire, nous dirons qu'elle est une (( quantité rationnelle ». En cas contraire nous dirons qu'elle est « irrationnelle ». D'ailleurs, au lieu d'employer ici le mot « quantité », les algébristes ont pris l'habitude de dire plus hardiment « nombres rationnels ou irrationnels ». C'est là un simple artifice de langage, car, au fond, les « nombres irrationnels » diffèrent radicalement de ce que nous avons appelé « nombre » au chapitre premier du présent livre. Cependant la notion mathématique qu'expriment les nouveaux nombres est parfaitement claire et parfaitement précise, puisqu'elle équivaut exactement à celle de longueur d'un segmeni de droite (portion de droite) ,

Voilà donc quels sont les objets sur lesquels tout d* abord portera l'algèbre. Mais, poi;r pouvoir être d*un usage général, les règles de l'algèbre ne doivent pas cire spéciales à des nombres ou longueurs particulières. Chacune d'elles doit être valable pour toutes les quantités rationnelles ou irrationnelles. Aussi les énonce-t-on d'ordinaire en désignant la plupart des quantités qui y figurent par des lettres de Valphabet, lettres que l'on remolacera, dans les applications, i>ar telles valeurs numériques que l'on voudra. Aux lettres de l'algèbre, ou plus exactement aux valeurs qu'elles représentent, on donne fréquemment le nom dç'« quantités algébriques. » ou plus simplement de (( quantités )).

39. Si l'on effectue sur diverses quantités algébriques une .série quelconque d'opérations telles qu'additions, soustractions, multiplications, divisions, extractions de racines, on obtient de nouvelles quantités. Celles-ci peuvent être, si l'on veut, "figurées par de nouvelles lettres. On peut aussi les représenter par des combinaisons des lettres initiales jointes à certains « signes d'opérations ». Ainsi la somme des deux quantités a et b sera représentée par la combinaison de symboles a + b ou (a + 6) entre parenthèses. La somme de a, t et c s'écrira a + fc + c ou (a -h b + c) . La différence de a et b sera a — b ou (a — T- 6) . Le produit de a par b. s'écrira a X b, ou plus simplement a . b (avec un point entre a et 6) , ou, plus simplenient encore, a b (sans signe spécial entre a et 6) .

Le quotient de a par b s'écrit a : b ou -r- (sous forme

de fraction) .Le carré de a, ou produit de a par a, se

^^■^^i^^^^^^^M^i^ I ■ Il I ■ ^i^-^— ■■■ I ■■■■■! ^^— ■ ■■ I I - ■■ ■ ■ MBMM ■— ^^— —^^^^

figure par a^ Le cube de a, la quatrième puissance de a (voir n® 3) s'écrivent a\a\ etc. La racine carrée de a

(nombre dont le carré est égal à a) s'écrit Va, et

aussi a 2 . La racine cubique de a (nombre dont le cube

est égal à a) s'écrit ^ a, et aussi a a ^ etc. En combinant les règles d'écriture ainsi adoptées, on obtient des « formules » plus compliquées (que l'on appelle « expressions algébriques »). Ainsi le carré de a moins le carré* de b divisé par la somme des racines carrées

de a et de la différence b — 1 s'écrira — -^zr. , , .

Le produit de la somme a + fc par la différence a — b

s'écrira {a -h b) X (a — 6) , ou simplement (a + fc) .

ça — fc) . Le produit de a par le carré de fc s'écrira

« fc ', etc.

Quelle est la raison de tous ces symboles et quel usage en fera l'algébriste? Il se propose d'étudier a priori les différents 'types de formules que l'on i>eut imaginer, et cela en s'attachant, non pas aux valeurs numériques représentées (car ces valeurs varient avec la signification que l'on donne aux lettres, elles sont donc a priori indétermi" < nées) , mais bien à la structure, à la composition des formules, c'est-à-dire à leurs propriétés formelles. Ainsi l'algébriste mettra en évidence certaines équivalences, certaines relations entre formules différentes, relations dont X s tard il pourra tirer- parti, soit pour simplifier certains c :uls, soit pour en prévoir à l'avance les résultats, soit \ ir découvrir les propriétés des nombres ou des autres I ions mathématiques auxquels se rapportent ces calculs.

FORMULES ET 40. Montrons, par quelques exemples

EQUATIONS quel genre de relations l'algébriste obtient

ALGEBRIQUES. pour commencer (de ces relations il en

"""""""'"""'""'"""'"* tirera progressivement de nouvelles, de

plus en plus complexes) .

Le produit de la somme (a + b) par la différence (a — b) est évidemment égal à a fois {a — 6) , plus b fois (a — b) ; donc il est égal à a fois a (ou a ') , moins a fois b, plus a fois fc, moins b fois b (ou f ). On voit que a fois b (ou a b) est d'abord retranché pi^is ajouté. Donc ce produit disparaît dans le résultat et il reste seulement la différence a ^ moins b ^. En conséquence, on peut écrire :

Cette relation • (cjue je désigne par un numéro pour pouvoir m'y reporter par la suite) est souvent appelée identité. Par ce mot on veut indiquer que les « deux membres » de Téfealité (1), c'est-à-dire les e:tpressions algébriques écrites des deux côtés du signe = ont des valeurs identiques quelles que soient les valeurs numériques que Von donne aux lettres a e/b [ si par exemple on (( fait » a = 7 et t = 3, on a a + fc = 10, a — b = 4, cf = 49, fc^ = 9, et l'on voit que le produit 10 X 4 est bien identique à la différence 49 9;

si l'on fait a = 1 0, t = 8, le produit 1 8 X 2 est identique à 100 — 64, etc., etc.]

Une autre relation ou identité bien connue est la suivante :

(2) {a + by = a' + 2ab + b'

On rétablit en remarquailt que (a + fc)' est le produit de (a + h) par {a -\- h) , Or, ce produit est égal à a fois {a + b) plus b fois (a + fc) ou {a -\- ab) plus {a b + b^) , Ici, comme tout à Theure, nous avons deux fois, le produit a b, mais il est maintenant deux fois ajouté; donc il subsiste dans le résultat, multiplié par 2.

Par des raisonnements semblables on établit les identités classiques :'

(3) (a — b) ' = a' — 2ab + b'

(4) ' {a-{-b)' = a' + 3a'b + 3ab' -^b*

(5) a' — b' = (a — b) (a' + ab + b'). etc., etc.

41. Les identités de l'algèbre permettent, disions^ous tout à l'heure, de simplifier l'exécution et de prévoir les résultats de certains calculs. Parmi les calculs que vient ainsi faciliter l'algèbre, les plus usuels sont ceux qui ont trait à la recherche de certaines quantités inconnues que Ton suppose satisfaire à certaines conditions connues. Plaçons-nous en particulier dans l'hypothèse où les conditions connues (données par l'énoncé du problème qu'on traite) se laissent exprimer sous la forme d'égalités algébriques, liant les inconnues du problème à d'autres quantités supposées connues. De telles égalités sont appelées (( équations ». Les inconnues que l'on cherche seront dites (( solutions » ou « racines » des équations, et si, par le calcul, on parvient à déterminer leurs valeurs, on dira que l'on a « résolu )) les équations.

Soit, par exemple, à trouver une quantité inconnue x, qui satisfasse à la condition ou équation :

7x — 20=4x+ tO

Quel que soit x, évidemment, les deux « membres » de l'égalité ci-dessus restent égaux lorsque de chacun d'eux on retranche 4 x. On a donc 3*jc — 20= 10. Ajoutons 20 à chaque membre. Cela doime 3 x = 30. En d'autres termes, si V égalité proposée est bien satisfaite, il en sera de même de l'égalité 3 x = 30,et par conséquent x sera égal à 10. Inversement, si l'on fait X = 1 dans l'égalité proposée, on constate immédiatement qu'elle se trouvera vérifiée. Donc 10 est la valeur de l'inconnue cherchée. C'est la solution (solution unique) du problème posé.

Dans l'équation que noiis venons de considérer les nombres autres que l'inconnue sont des nombres arithmétiques ordinaires. On peut, plus généralement, envisager . une équation où figurent, en dehors de l'inconnue (ou des inconnues) des quantités qui sont, non point précisément connues, ma^s bien supposées connues : j'entends par là que ces quantités sont des lettres représentant des nombres qui sont regardés comme donnés et auxquels nous restons libres d'assigner telles valeurs qu'il nous plaira. Si, par exemple, a, b, c, d sont de telles quantités, nous pouvons prouver que l'équation

(laquelle se confond avec celle de tout à l'heure, quand

on y fait a = 7, .6 = 20, c = 4, J = 10), entraîne comme conséquence :

ax — c X ou (a — c) x = b + d

EUIe a donc pour solution ou racine : x =

42. Considérons maintenant l'équation (dite Ai second degré parce qu'elle contient le carré ou seconde puissance de 1* inconnue) .

x' — bx-^ c=

Pour la (( résoudre », nous observons que, quelles que soient les valeurs . des quantités x, b et c nous avons V identité (analogue aux identités du n** 40).

x^-bx-^-c = [x-^'^^Y=^]x

b — y/b' — Ac

C'est là un fait qu'il est aisé de vérifier en effectuant lé produit (*) qui figure au second membre de l'iden-

(^) Ce produit se trouve en effet égal à là somme

jT — ! — I X '

E,tfectuant toutes les multiplications et ajoutant ou retranchant les

88 LES MATHÉMATIQ UES

tité. Si donc Téquation proposée est satisfaite, le produit en question devra être nul. Or nous remarquons qu'un produit de deux facteurs ne peut être nul que si Tun au moins de ces facteurs est nul. Dans le cas pré-

cédent le premier facteur s'annule si x = ^

le second facteur s'annule si . = ^"^7=^

Pour chacune de ces valeurs de x (en général différentes) , le produit considéré sera bien nul et par conséquent réquation proposée sera satisfaite. Donc l'équation a deux racines, qui sont les deux valeurs de x que nous venons d'écrire (*) .

Exemple. — Soit fc = 6 et c = 8, c'est-à-dire soit considérée l'équation :

x' — 6x + 8 = (oux^ + 8 — 6x = 0)

Nous avons ici V — 4 c = 36 — 32 = 4, donc V V — ~? c = 2, et les deux valeurs de x ci-dessus

' • j • 6+2 . 6—2 ^ écrites deviennent x = — ^ — = 4 et x = ô — = 2.

Grâce aux formules générales que nous avons établies,

produits obtenus (suivant qu'ils sont précédés du signe - + ou — ) on constate que certains termes disparaissent, et il ne reste finalement que X* — t X -|- c.

(*) Dans (a plupart des cours d'algèbre on considère, comme type d'équation du second degré, au lieu de I équation x* — fcx-}"C=:0 ci-dessus envisagée, l'équation ax^ + 6 x -}~ c ^ 0. On obtient alors, pour les racines, des formules un peu plus compliquées.

nous pouvons affirmer à l'avance que ces deux valeurs 4 et 2 sont bien solutions de Téquation considérée; et en etfet'nous vérifions immédiatement que 4^+8 — 6x4 est bien égal à et de même 2* +8 — 6x2.

43. Citons encore, comme exemple de problème sur les équations, le cas où Ton a à trouver Jeux inconnues X et p satisfaisant à des conditions qui s'expriment par deux équations. Soient proposées les équations :;

{les lettres accentuées désignent naturellement d'autres quantités que les lettres non accentuées; toutes ces quantités, à l'exception de x et 3;, sont « supposées connues ») . Multiplions les deux' membres de la première équation par h\ L'égalité subsiste et nous avons donc :

. aVx^hh'y=cV

Multiplions les deux membres de la seconde équation par t. EJle devient (*) :

a'hx-\-hVv=c'h Retranchons maintenant l'une de l'autre les deux nou-

(*) Remarquons que le produit de h par h' ne diffère pas du produit de h' par h. On peut l'écrire indifféremment hh' ou }/h.

velles égalités. Les deux termes bb^^ disparaissent, et il reste :

ab^x — abx=cb^ — cb

Dans cette dernière égalité, l'inconnue }; ne figure plus.

cb' cb

On en tire immédiatement x=— 77 tï-. Telle est la

ab — a b

valeur de 1* inconnue x qui satisfait aux conditions du problème.

Par un calcul semblable, on trouverait la valeur incon-

ca' — J ac

nue de 3;. C'est la valeur p= /,

ab'

LES CALCULS DE 44, Tel est le mécanisme de l'algèbre,

L ALGEBRE SONT* grâce auquel, en progressant dans la voie

ILS TOUJOURS X .1 *j

, «t^™-:««\: ou nous venons seulement de nous engager,

LEGITIMES? . • j u- 1 j .*'* '

— .— ^-^»— on peut écrire de multiples identités et re-

soudre de nombreux types d'équations (non pas toutes les équations cependant) . Je n'insisterai pas davantage sur les calculs que l'on est ainsi conduit à effectuer, car la poursuite de ces calculs ne soulève aucune nouvelle difficulté de principe : dans la science moderne, les opérations de l'agèbre ont bien — ou peu s'en faut — le caractère machinal et automatique que leurs créateurs avaient désiré leur donner. EJles se révèlent, d'autre part, extrêmement fécondes, et ainsi les considérations qui leur servent de base se trouvent, après coup, justifiées par un succès de plus en plus éclatant.

Cette justification a posteriori était, il faut le reconnaître.

tout à fait indispensable pour permettre aux savants modernes d'écarter .définitivement les objections et les répugnances au^^quelles l'emploi des procédés de l'algèbre avait tout d'abord donné lieu.

La force de la méthode algébrique réside, avons-nous dit, dans ce fait qu'elle manie et combine des signes symboliques saoïs se préoccuper chemin faisant de la signification ou de la valeur de ces signes. Ainsi la résolution d'un problème mathématique par l'algèbre se présente schématiquement comme il suit : 1 ° on exprime l'énoncé du problème %ou% forme algébrique en le dépouillant de son caractère arithmétique ou géométrique (*) , et le traduisant (par exemple) en une ou plusieurs (( équations )) où entrent des quantités connues et inconnues représentées par des lettres; 2*'on manipule ces équations suivant les règles de l'algèbre en oubliant momentanément ce qu'elles représentent; 3° ayant obtenu la « solution » algébrique du problème, on interprète cette solution en la retraduisant en termes arithmétiques ou géométriques. Dans l'opération mathématique ainsi conduite on voit où gît, pour le théoricien rigoureux, le point délicat. Sommesnoi^s sûrs que la seconde phase de l'opération soit toujours légitime? Sans doute nous avons le droit de faire temporairement abstraction de ce que représentent nos formulés : mais c'est à la condition que ces formules représentent en tout cas quelque chose; s'il arrivait qu'à un moment donné elles ne puissent plus correspondre à aucune réalité (circonstance dont nous ne nous en apercevrions pas tout de £uite puisque nous nous sommes interdits d'inter-

(*) J'antic^e ici sur çç qui sere^ expliqué au chapitre suivant,

prêter, en cours de route, les formules que nous écrivons) alors les manipulations auxquelles nous nous livrons ne deviendraient-elles pas de purs non-sens ?

Pour lever cette objection il est nécessaire d'analyser beaucoup plus à fond que nous ne Tavons fait plus haut (n° 38) le contenu qu'on doit donner à la notion de « quantité algébrique » pour légitimer tous les calculs effectués sur elle. Et l'analyse ainsi faite oblige le mathématicien à donner à cette notion de quantité une exten-* sion considérable, si paradoxale même à certains égards, que seuls les succès remportés par l'algèbre peuvent la rendre acceptable à tous les esprits.

45. Dans les formules de l'algèbre figurent fréquem" ment, comme on l'a vu plus haut, des expressions telles

que Vô^ Va'' — J^t etc. Des valeurs numériques qu'ont ces expressions, nous faisons abstraction; i^iais sommesnous bien autorisés à affirmer qu'elles ont en tout cas des valeurs susceptibles d'être combinées (par le calcul) avec les valeurs numériques ordinaires (nombres entiers et fractionnaires) ? Admettre qu'il en est ainsi, c'est admettre d'abord que les « quantités irrationnelles )),du n° 38 sont des éléments tout à fait comparables aux « Tjuantités

rationnelles » ; c'est admettre, en d'autres termes, que V2

est un nombre de même espèce que 3 ou-=-. Manière

de voir qui ne nous surprend plus aujourd'hui parce que nous y sommes très habitués, mais qui est cependant toute conventionnelle et, aux yeux du philosophe, singulièrement hardie : elle ne se justifie, comme nous le disions tout à

l'heure que parce qu'elle ne donne lieu à aucune contradiction, et parce que nous y trouvons avantage.

NANTITES 4g^ Poursuivons notre analyse. Dana

I— ——.i— .—.— . les calculs algébriques apparaissent cons-

tamment des expressions telles que la suivante: a — t + c; et les règles de l'algèbre, calquées sur celles de Tarithmétique, stipulent que l'on a toujours a — h-{-c=^a-\-c — p t. Supposons cependant que a=2, t = 4, c=5; alors nous avons d'une part, a+a — 1=2 + 5 — 4=3; mais d'autre part, pour calculer a — t + c, il faut commencer par soustraire 4 de 2, ce qui est une opération absurde (puisqu'on ne peut pas soustraire un nombre d'un nombre plus petit). Ainsi, en appliquant automatiquement les règles de l'algèbre, nous nous trouvons constamment raisonner sur des opérations qui sont des non-sens. Et pourtant les raisonnements que nous faisons sont bons évidemment. Ils satisfont à la logique et ils conduisent à des résultats qui : — eux — correspondent bien à des réalités (ainsi la suite d'opérations 2 — 4 + 5 n'a en apparence pas de sens, et pourtant le résultat, 3,en a bien un) .N*est-il pas raisonnable de supposer que de tels raisonnements doivent pouvoir être légitimés moyennant certaines interprétations, moyennant certaine^ conventions? Et, en effet, reportons-nous à la figuration des quantités algébriques indiquée au n° 38. Toute longueur telle que OA, portée à partir de O e< à droite de O sur OX, représente v^e quantité algébrique. Mais pourquoi ne pas regarder aussi une longueur O A' portée à gauche de O, sur le prolongement de O X, comme une quantité algébrique? Nous considérerons la longueur OA (et la quantité qu'elle repré-

sente comme positive, la longueur O A' comme négative et nous caractériserons la différence des deux sortes de longueurs ou quantités par la définition suivante : (( Pour

ajouter sur la droite X'X,

. .- . ■ . une longueur positive, à par-

X A' C A X jjj^ jy point O ou, plus gé-

^ ,, néralement, à partir d'un

FiG. 30 . 1 •> 1 1

pomt quelconque C de la droite, on porte cette longueur à droite, et, pour retrancher la même longueur, on la porte à gauche. Au contraire, pour ajouter une longueur négative, on la porte à gauche à partir de C, et, pour la retrancher, on la porte à droite » .

De cette définition résultent presque immédiatement les règles qu'il faut suivre pour effectuer des calculs sur les longueurs ou quantités négatives.

Tout d'abord, nous remarquons qu'une longueur négative, telle que O A', n'est autre chose qu'une longueur positive retranchée à partir du point O ; en d'autres termes, une quantité négative est une quantité positive retran-

chée de zéro. Soit n la quantité négative considérée, p la quantité positive correspondante. Nous avons le droit d'écrire :

n = o — p ou n= — p, et par suite aussi p= — n.

La quantité positive p est appelée valeur absolue de la quantité n.

Soient maintenant considérées ensemble une quantité positive a et deux quantités négatives n, n de valeurs absolues p, p\ Supposons par exemple que a soit plus grand que p, mais plus petit que p\ Nou$ voyons aussitôt"

il LES MATHÉMATIQUES __, 95

aue : \° la somme n + n' est la quantité négative de valeur absolue p+p' (elle est figurée à gauche de O par une longueur O B égale à p+p') î 2° la somme a+n é^t obtenue en portant la longueur A à droite de O, suivant B J > O ^ A O A, puis ensuite la longueur B g,. — .p à partir de A et à gauche de A; p'^-^ le résultat est la longueur- O D fig. 31 (longueur a — p) ; 3° la somme

a+n', déterminée par le même procédé, donne comme résultat la longueur O D', quantité négative dont la valeur ' I absolue est p' — a. Partant de là, on peut additionner ou ^ soustraire sans difficulté toutes les quantités positives ou négatives.

Si Ton veut, d'autre part, effectuer sur ces quantités des multiplications on raisonnera comme il suit :

Le produit de la quantité négative n par la quantité positive a — produit que, suivant les habitudes de Tal- I gèbre, nous désignons par a n (ou n a) — est une quan- I tité négative de valeur absolue a p. En effet, a fois n, 1 c'est a fois p retranché de zéro; c'est par conséquent t — a p.

Le produit des deux quantités négatives n et n' — produit nn' — devra être regardé comme égal à la quan^ tité positive pp'. En effet, puisque moins p fois p' est pp' il faut admettre que,mozm p fois moins p', c'est — pp'. C'est là en réalité une convention, je veux dire une définition; car la notion de multiplication de deux quan- I tités négatives n'a a priori aucun- sens. Nous sommes obligés de définir ce que nous convenons d'entendre par là. D'ailleurs, une fois la multiplication définie, la division

le sera également (le quotient ou rapport -7- de deux

quantités a et t est la quantité dont le produit par b est égal à a) , ainsi que V extraction de racines carrées, cubiques, etc. Tous les calculs que nous effectuons- en algèbre sur les lettres a h, etc., auront ainsi désormais un sens bien déterminé, que ces lettres représentent des quantités positives ou bien des quantités négatives. Dans les deux cas, d'ailleurs, les quantités joueront des rôles absolument pareils; elles sont des éléments de calcul similaires et tous semblables, par conséquent, aux nombres de l'arithmétique qui forment une classe particulière de quantités positives.- Pour rappeler ce fait, il est d'usage de donner à tous ces éléments le nom de nombres algébriques (positifs ou négatifs).

NOMBRES 47. Je viens de dire que toutes les c^-

IMAGINAIRES. * rations de l'algèbre, supposées effectuées

^"'^"'"'^""~"'"""~* sur des quantités négatives, ont un sens précis. Cela signifie que l'exécution de l'une quelconque de ces opérations constitue un ' problème déterminé, mais non pas que le dit problème a nécessairement ime solution. Effectivement il est une opération assez usuelle qui, lorsqu'on l'applique à une quantité négative, ne donne point de solution, point de résultat : c'est l'extraction de la racine carrée (*). En effet, le carré a* d'une quantité positive a est naturellement positif; et, si a est une quantité négative, son carré, d'après la règle du

(*) La racine carrée d une quantité b est, par définition, la quantité dont le carré est égal à b.

• n? 46, est encore positif*: en d'autres termes, une quantité négative na pas de racine carrée.

Cette circonstance paraît, au premier abord, bien fâcheuse, car elle nous fait retomber dans la difficulté même qu'en introduisant les nombres négatifs nous nous efforcions précisément d'éviter. La question posée aux n**' 45 et 46 se présente devant nous encore une fois. Considérons, par exemple, la racine V fe' — fT que nous , avons rencontrée au n® 42, en résolvant l'équation du second degré x" — toc + c = 0. Si, par suite des valeurs prises par t ou c dans tel ou tel problème, la quantité b* — 4 c se trouve devenir négative, l'expression

V 6' — 4 c ne sera plus qu'un non-sens. Comment répKïndre, dès lors, de la légitimité des calculs portant sur de telles expressions, qui, suivant les valeurs des lettres, tantôt ont un sens, tantôt n'en ont pas, et que nous prétendons cependant manipuler de la même manière dans l'un et l'autre cas?

La difficulté s'évanouit si l'on a recours à une nouvelle convention, à une fiction, pour mieux dire, qui paraît fort étrange au premier abord, mais que la logique autorise.

Regardons la racine carrée du nombre négatif — I comme une* « quantité » fictive, qui n'existe pas dans le monde réel, mais qui, du point de vue logique, obéit aux mêmes règles et se prête aux mêmes opérations que les vraies quantités. Désignons cette pseudo-quantité par la lettre i et convenons de calculer sur cette lettre exactement comme sur les lettres qui représentent des quantités algébriques ordinaires.

De cette simple convention, nous tirons, en effectuant des calculs purement mécaniques, les conséquences suivantes :

De mêmç que le carré ? est égal à — =- 1 (car, par définition i=\/ — T, ce qui veut dire que i*= — ^ I), de même le carré de — i (ou produit de — i par — î) sera aussi égal à — 1 [car ( — i) X ( — i) = î*] . Cette première conséquence est à elle seule déjà précieuse, car elle introduit dans les calculs de Talgèbre une symétrie remarquable. Tout nombre positif a manifestement deux racines carrées égales et de signes contraires, car si le produit de a par a est égal à {>, il en sera de même du produit de -a par -a. Pareillement tout nombre négatif n aura désormais, grâce à la définition de t, deux racines carrées. Soit, en effet, p la valeur absolue de n (voir n** 46). Nous avons n= p multiple par — 1 ou p X ( — 1 ) . Appelons a une racine carrée de p telle que a=p. Les deux quantités ai et — ai seront alors toutes deux racines carrées de n, car toutes deux auront pour carré a*f ou Ta', c'est-à-dire — a*, ou — p, donc n.

Mais, poursuivons nos calculs. D'après nos conventions, nous pouvons multiplier z par une quantité quelconque (^) p en écrivant simplement ^z; ajoutons ^i à la quantité a; nous aurons a-f-^z'; cette expression (somme d'une quantité ordinaire et d'une quantité ordinaire multipliée par z) est appelée par les algébristes: quantité (ou nombre) imaginaire complexe ou simplement complexe. De cette définition résulte aussitôt que la somme

(*) Je me sers ici de lettres grecques afin d'éviter les confusions auxquelles on s'expose* si l'on emploie sans cesse les mêmes lettres â, b, c dans des sens constamment différents.

de- deux quantités complexes est une quantité complexe^ car si nous ajoutons y + Bi à a+Pi, nous obtenons (puisque nous sommes convenus de calculer sur î comme sur les quantités ordinaires) :

(*+P0 +(Y + Si) =(a+Y) +(P+S)Î.

ce qu*est bien la somme d'une quantité ordinaire et d*ime quantité ordinaire multipliée par z.

Je dis que pareillement le produit de deux quantités complexes est une quantité complexe. En effet, de même que le produit (*) " (a+P) (y + §) est égal à a7 + aS + PY + pS. de même le produit (a+p/) x(y + 8i) sera égal à ây + aSif+^z+^Si'; or i'= — I ; donc, en changeant Tordre des termes et groupant les deux termes du milieu, nous aurons :

(a+/3z) (Y + 8î)=:(aY — «) 4- (*8+/3y) f.

ce qui est bien une quantité complexe.

En passant ainsi en revue toute la série des opérations algébriques, nous parviendrons à la conclusion générale suivante dont la portée est considérable : 51 sur des quantités complexes quelconques on effectue une série d* opérations quelconques, les résultats des. opérations seront sûrement toujours des quantités complexes.

De là résulte aussitôt cette conséquence : Supposons que désormais les lettres a, b, c, etc., figurant dans

(*) Le signe X peut être supprimé dans Tindication du produit (Cf. N^ 39).

mO LÈS MATHÉMATIQUES

/ les formules algébriques représentent des quantité

complexes (du type a+Pi, somme d'une quantité ordinaire et d'une quantité ordinaire multiplié par î) . Alors, toutes les ejcpressions que nous écrirons représenteront elles-mêmes xles quantités complexes et toutes les opérations de l'algèbre se trouveront ipso facto légitimées dès le moment où l'on aura accepté nos conventions sur le symbole i. L'extraction de la racine carrée sera ellemême dorénavant une opération toujours possible, car on constate (^) que toute quantité complexe aura, comme les quantités ordinaires deux « racines carrées )), qui seront des quantités complexes.

Remarquons d'ailleurs que les quantités appelées complexes, ou certaines d'entre elles, peuvent éventuellement se confondre avec des quantités ordinaires; en effet, si dans l'expression a+^z, le nombre P devient nul, la quantité se réduit à a (quantité ordinaire). Ainsi l'algèbre des quantités complexes comprend comme cas particulier l'algèbre des quantités ordinaires, que l'on appellera (pour les distinguer) quantités ou nombres réels. En d'autres termes, la classe générale des nombres complexes comprend comme classe particulière celle des nombres réels.

48. Paradoxe, fantaisie, que tout cela, sera-t-on d'abord tenté de dire. Mais non, l'intervention des quantités imaginaires complexes répond à un besoin réel des mathématiciens et exprime un ensemble de vérités

^) Jai dit tout à Theure qu'il en est ainsi pour toute quantité positive ou négative. J'ajoute maintenant qu'il en est encore de même pour toute quantité complexe.

LES AfATHÉMATIQUES 101

pK>sitives. Elle nous sert à prouver que le mécanisme logique des opérations de l'algèbre n'implique en lui-même aucune contradiction et par suite est légitime. En termes plus précis, si une série de calculs, partant de données réelles et aboutissant à un résultat réel, nous fait passer en cours de route par des formules qui n*ont pas de sens réel, nous n'en arvons pas moins le droit d*affirmer que cette «érie de calculs est bien correcte et que le résultat en est valable. La critique fondamentale que l'on pouvait adresser à l'algèbre et que nous avons indiquée plus haut (n° 44) se trouve écartée. Débarrassé désormais de tout souci relatif à la légitimité de ses opérations, l'algébriste peut exécuter celles-ci d'une manière purement mécanique et machinale. Ainsi, avec moins d'efiort, il en tirera un meilleur rendement.

49. Je me suis efforcé de faire comprendre quel est le point de vue et quel est le point de départ de l'algèbre. L'exposé qui précède ne saurait, pourtant, donner une idée exacte de la variété, de l'ingéniosité et de la puissance des moyens que l'algébriste met en oeuvre pour perfectionner ses procédés. L'algébriste, nous l'avons dit, cherche à définir et à étudier a priori divers types d'opérations et de combinaisons d'opérations. Quel sens, cependant, faut-il donner ici au mot (( opération »? Ce sens n'est pas limité. A l'origine on s'est contenté d'envisager les quatre opérations de l'arithmétique (ainsi que l'opération appelée « extraction de racine » qui n'est au fond, que l'o^fération inverse d'une cer^iine multiplication) . Mais on peut concevoir bien d'autres manières de combiner les nombres ou de « déduire un

nombre d'un ou de plusieurs autres » (ce qui est l'objet poursuivi dans toute opération) . Ainsi, en définissant .des règles ad hoc^ on pourra créer de toutes pièces de nouveaux types de calculs. Tels sont les calculs de logarithmes^ bien connus de toutes les personnes auxquelles la pratique du calcul est familière. Tels sont aussi les calculs trigonométriques dont je dois ici dire quelques mots. .

CALCULS 50» Soit un cercle de centre O dont le

TRIGONOMETRIQUES . rayon est égal à l'unité (un mètre, par "^~~'"""'~^"^~" exemple) et soient A'A et B'B deux dîaniètrés de ce cercle qui se coupenl à angle droit (fig. 32)

XTS

PlG. 32

et que nous prolongeons indéfiniment dans les deux sens. Prenons un point quelconque M sur la circonférence et de ce point abaissons des perpendiculaires MP et MQ sur A'A et B'B (les pieds P et Q de ces perpendiculaires sont appelées" « projections » du peint M sur A'A et B'B). Cela fait, mesurons sur la circonférence la longueur curviligne A M et mesurons

d'autre part les longeurs O P et O Q. Nous dirons que la longueur O Q est le sinus de la longueur A M et que la longueur O P en est le cosinus. Ainsi à une quantité d'ailleurs quelconque (longueur A M) nous faisons correspondre deux autres quantités (sz'nus et cosinus de A M) par une « construction géométrique » effeotuée suivant des règles déterminées. Cette construction constitue une (( opération )), d'un genre particulier» effectuée sur la quantité A M.

D'ailleurs, si l'on veut rendre l'opération en question féconde et maniable, il est avantageux de compléter comme il ^it la définition qui précède :

I ° Convenons de considérer la longueur A M (de même que sa mesure) comme 'p052<zve si elle est portée sur la circonférence, dans le sens de la flèche, et au contraire comme négative si elle est portée en sens inverse. Cette convention est exactement celle que nous avons faite au n® 46 avec cette différence que les longueurs ici considérées sont portées, non sur une droite,

mais sur une circonférence : d'où cette circonstance nouvelle que les mêmes points se trouvent être ici les extrémités de plusieurs .longueurs différentes.

C'est ainsi que, sur la figure 33, A et M y-'^^L

sont les extrémités de la longueur positive ( \*

(arc de circonférence) /, figurée en trait [,^v y

plein, et.aussi de longueur négative Y tra- fig. 33

cée en pointillé. Ce n'est pas tout. La lon- ";ueur totale de la circonférence de rayon 1 est, comme on ait, une longueur comprise entre 6 et 7 et voisine de 2 X M 4; on le désigne par 2w, en appelant % la mesure le la longueur de la demi-circonférence (quantité irra-

tionnelle). Considérons dès lors la longueur Itz+I portée positivement sur la circonférence (ce qui donne : un tour complet sur la. circonférence plus l'arc en trait plein A M) ; elle a encore pour extrémités A et M ;

de même les longueurs 4îr+/, 6^+/, etc. et / — 27c, / — 4%, etc. (longueurs négatives) . Pareillement les

longueurs Ztc+T, ou T — 27c, etc.

2** Convenons de considérer la longueur O P (ou cosinus de A M) comme positive si elle est portée sur X' X (voir fig. 32) dans le sens de la flèche et comme négative si elle est portée en sens inverse. C'est la convention du n® 46. /

3° Convenons de. considérer la longueur OQ (ou sinus de A M) comme positive si elle est portée sur la droite Y' Y dans le sens de la flèche (verticalement) et comme négative dans le cas contraire. C'est la même convention appliquée à la droite Y' Y.

51. Ces conventions faites, nous voyons d'abord qu'à . toute quantité algébrique réelle correspondra un et- un seul sinus bien déterminé et un et un seul co^inust car toute quantité algébrique définit '(n."' 38 et 46) une longueur positive ou négative" que l'on peut, d'après les conventions ci-dessus porter sur la circonférence à partir de A. D'ailleurs on voit sur la figure 32 que si J'extrê- * mité de la longueur considérée tombe entre A et B (comme M) , le sinus et le cosinus sont tous deux positifs. Si elle tombe entre B et A' (comme N) on constate immédiatement (en construisant les « projections de N sur A' A et B' B) que le sinus est positif et le cosinus négatif. Si elle tombe en N' (entre A' et BQt

sinus et cosinus sont tons deux négatifs. Si elle vient en M^ le cosinus est positif, le sinus négatif. Ajoutons que, lorsque les longueurs de signes contraires A M et A. M' sont égales en valeur absolue (c'est-à-dire sont symétriques par rapport à A' A) , les perpendiculaires abaissées de M et M' sur A' A tombent au même point P (fig. 32) en sorte que A M et A M' ont même cosinus et des sinus égaux et de signes contraires ; en appelant, par exemple t la longueur A M et par suite — i la longueur A M', désignant d'autre part par cos t et cos { t) le cosinus de t et celui de — U et de même

pour le sinus, nous exprimerons comme il suit ce dernier fait : *

cos t=cos ( — t) ; sin t=sin ( — i) »

Nous avons là deux « formules trigonométriques », qui sont vraies pour toute valeur de la longueur, ou quantité algébrique i. D'après une remarque faite plus haut, ^nous aurons aussi (^) , quel que soit i :

(6) ' cos {In + t) =cos i; sin {2n-{-t) =sin i;

et, en nous référant aux propriétés géométriques du cercle et des droites de la figure 32, nous obtiendrons très facilement un grand nombre d'autres formules. A titre d'exemples, donnons-en ici quelques-unes :

Par définition la demi-circonférence de A en A' a

(*) Par cos (2 7C -j~ nous entendons le cosinus de la quantité

(2 TU -j- 0.

Soient, d'autre part, i et q deux longueurs quelconques portées sur la circonférence : on démontre que le sinus et le cosinus de leur somme auront toujours pour valeurs certaines sommes de produits formés avec les sinus et cosinus de t et de q, savoir :

sin (t-i-q) =sin iXcos q+cos tXsin q , cos {i-\-q) =cos iXcos q — sin tXsin q

{*) Rappelons-nous que les valeurs absolues de OA, OA , OB et OB^ égales au rayon du cercle, sont toutes égales à 1.

(**) La première résulte immédiatement du théorème de Pythag i (n** 21). Ainsi, sur la fig. 32, dans le triangle OMP, on a

OP' i- PM' = OM». Oi PM = CXJ et OM = 1.

pour longueur t:, le quart de cii'conférence A B a pour longueur"^- . Nous en concluons immédiatement que (*) :

5m îu===U; cos 7c= — I ; sm -tt- = I ; co5 -^ =

D'ailleurs, pour M coïncidant avec i^, le point P vient en A; donc on a sinûs de zéro ou sin 0=0 et cos 0=1.

D'autre part, on peut démontrer, que, quelle que soit la quantité /positive ou négative, on a toujours les relations (**) (ou (( identités ») suivantes :

(7) 5iy f + C05'f=l. ,

(8) sin t= cos ( ^^ — t ]• etc., etc.

m I é ^^.^^Ml ■■■■■■■■ -—■■ ■■ ■■ *■■ ■■■ IIMW^I— ■-■■■ Il ■■■ ■■l^ ■ ■ ■ 1^ ■■ ■ ■ I M^i^^—

Et ainsi de suite. En continuant de la sorte, on

constitue tout un système de calcul (calcul trigono^ métrique) qui rend de précieux services en mécanique

et en astronomie et qui joue également un rôle très important dans les mathématiques pures.

Je signale que dans ce calcul le rapport du sinus d'une quaiitité au cosinus de la même quantité est d'ordinaire appelé tangente trigonométrique, ou simplement iangente, de la quantité.

Remarquons, d'autre part, que la longueur A M, comptée comme il a été dit ci-dessus spr la circonférence de rayon 1 , peut être prise pour mesure de l'angle AOM (fig. 32) ; on pourra donc dire que sin U ces t sont le sinus et le cosinus de cet angle. D'une manière générale,

supposant donné un angle quelconque XOZ, coupons-le par la circonférence de centre O et de rayon 1 ; nous obtiendrons alors la figure 32, c'est-à-dire l'arc de cercle A M, son sinus, son cosinus : ces derniers seront, par définition, le sinus et le cosinus de l'angle XOZ.

[ ES infinies/ 52. Un autre genre de calcul — r- qui,

celui-là, est devenu la base essentielle de la technique mathématique moderne — est le calcul où l'on manipule des suites ou séries indéfinies d'opérations, se succédant suivant certaines lois déterminées.

L'idée première et l'application la plus simple du calcul en question se présente à l'occasion des nombres ou quantités que nous avons appelées « irrationnelles )) (no 38) .

Considérons par exemple, la longueur de la demi-circonférence de rayon 1 , dont la mesure est une quantité r^

irrationnelle, voisine de 3, 14 (voir n*^ 50). Le nombre

fractionnaire 3, 14 peut s'écrire sous la forme 3 H — Tjyirï

ou encore 3 + ttt H" TTjift • ^' ^'^^^ P^^ '^ valeur exacte

de TU [qui, étant irrationnelle, ne se trouve égale à

aucune fraction (*) ] , mais il en est une valeur approchée, et l'on démontre qu'il en diffère de moins d'un centième d*unité. Une valeur plus approchée de w (approchée à moins d'un millième d'unité) est le nom-

bre 3+ Jq +yQQ'+ j QQQ ; une valeur plus appro-

cependant aucune de ces vsJeurs n'est exacte. En ajoutant à la dernière un certain nombre de cent-millièmes d'unités, puis un certain nombre de millionièmes^ et ainsi de suite, on aura des valeurs de tu de plus en plus appfochées et pourtant on n'atteindra jamais tu ; pour l'atteindre, il faudrait ajouter « indéfiniment » des tertne^ dç plus en plus petits, c'est-à-dire donner à la somme ci-dessus un nombre infini de termes. Pour exprimer ce fait, on écrit l'égalité suivante :

(9) 't:=3+ yq + jQôf + j;ôôô"+ 1 0.000 "^

(*) Tout nombre qui, comme 3,14 est la somme dun nombre

entier et de fractions peut être écrit, si Ton* veut, sous la forme

d'une fraction unique. Ainsi 3,14 r= ,

où les points signifient que la série des opérations indiquées n'est pas et ne saurait être close. L'égalité (9) ne sera rigoureuse que si, par la pensée, nous y rétablissons la suite infinie des termes sous-entendus; mais,' telle

qu'elle est, elle suffit à nous montrer comment nous pourrons nous y prendre pour calculer % avec, une approximation aussi grande que nous le voudrons (une « approximation arbitrairement grande », disent les mathématiciens) . En effet, supposons que, déterminant autant de termes qu'il nous plaira de la somme ci-dessus, nous arrêtions cette somme à son lO"" ou à son lOO*", ou à son 200'' terme, etc. (en supprimant tous les termes suivants) ; nous jurons ainsi des valeurs s'approchant arbitrairement de la vraie longueur de la demi-circonférence.

Le second membre indéfiniment prolongeable de l'égalité (9) est ce qu'on appelle une série. Ses termes se succèdent suivant une certaine foi; en particulier, on voit qu'ils ont pour dénominateurs les puissances successives de 1 0, leurs numérateurs étant des nombres inférieurs à 10. L'ensemble des termes sous-entendus dans l'égalité (9) est appelé le « reste » de la série, reste d'autant plus petit que' l'on a écrit plus de termes. Le nombre tu est la « somme » de la série.