Tous les nombres irrationnels, tels que y/2 ou

\/^ pouvant être représentés par des séries semblables, dont ils sont les sommes. D'ailleurs, en appliquant certaines règles que les algébristes ont su établir, on parvient

IIP LES MATHÉMATIQUES

à « calculer » sur les. séries, c'est-à-dire à les ajouter, àr les retrancher et à les combiner de diverses manières. Ainsi l'on peut, par l'intermédiaire des séries, effectuer toutes sortes' d'opérations sur les nombres irrationnels. C'est là un fait d'une très grande portée, dont voici une première conséquence intéressante :

Lorsqu'au n° 38 nous avons voulu donner un sens à la notion de quantité irrationnelle, nous avons été obligés de faire appel à des considérations géométriques en nous référant à la notion de longueur. Nous voyons maintenant eue Ton peut définir les quantités irrationnelles, et apprendre à calculer sur elles, sahs autre secours que celui de l'artithmétique : un nombre irrationnel sera, par définition, la somme d'une certaine série de nombres rationnels. Au premier abord, cette définition nous trouble un peu parce que le mot « infini » a pour les non-mathématiciens (et il en fut de même pour les mathématiciens jusqu'^ la fin du XVII I® siècle) , quelque chose de mystérieux. Mais le mystère se dissipe complètement lorsqu'on comprend bien l'idée qui est couverte par ce mot, savoir la notioi) d' « approximation arbitrairement grande ». La somme d'une suite infinie, c'est — d'une façon précise — le nombre dont on peut calculer une valeur aussi approchée qu'on le veut à la condition de prendre (et d'additionner) suffisamment de termes dans une suite ou série infinie.

54.. En faisant usage des séries, on peut, non seulement donner une « expression » des nombres irrationnels déjà définis par d'autres considérations (tels que w

ou \/~2) , mais aussi définir pour la première fois une foule

LES MATHÉMATIQUES -__ m

: de nombre^ irrationnels nouveaux. Ainsi par exemple, la série :

: (10) 1 -i r + "TTTT + T^TôTTT +

a pour somme un nombre irrationnel, fameux dans la théorie des logarithmes, que l'on désigne d'ordinaire par la lettre e : la loi de succession des termes de la série (à partir du second) se voit immédiatement : on a des fractions de numérateur 1, dont les dénominateurs sont 1

(le premier nombre) (*) , puis le produit des 2 premiers nombres, puis le produit des 3 premiers nombres, des 4 premiers nombres, etc., etc.

Voyons maintenant comment on se servira des séries pour effectuer des calculs où figurent des lettres, c'està-dire des éléments dont la valeur n'est pas déterminée à l'avance, mais est susceptible de varier selon les problèmes que l'on traitera. Pour les raisons que nous avons exposées au début de ce chapitre, de tels calculs présentent un intérêt particulier par ce qu'ils permettent d'embrasser dans une seule formule — calculée d'avance — les solutions de problèmes nombreux et variés.

^^) La fraction — p est naturellement, égale à 1. Mais on écrit

- , au Heu de 1, pour mieux mettre en évidence la loi de succès- D des termes de la série.

1J2 ^ LES MATHÉMATIQUES . j

Soit t une quantité algébrique réelle (*) quelconque. Considérons la série :

(II) ' + -r+îxr+ 1x2x3 "^1x2x3x4

déduite immédiatement de la série (10) ci-dessus en y remplaçant les numérateurs des fractions par les puis^ sances successives de t. On démontre que», quel que soit t, il existe une certaine longueur ou quantité algébrique dont la somme ci-dessus devient arbitrairement voisine lorsqu'on en calcule de plus en plus de termes (en négligeant le reste, c'est-à-dire les termes sous-entendus) . On exprime ce fait en disant que la série (11) a effectivement une somme, laquelle est une quantité algébrique bien déterminée. On dit aussi que la série (II) est convergente. En appliquant d'une manière systématique ce mode de définition des quantités algébriques, par des séries infinie^, on parvient à des conséquences bien remarquables. Ainsi l'on constate que, quelle que soit la quantité t, la quantité cos t se trouve être égale à la somme de la série suivante :

(*) Nous It supposons réelle pour nous faire mieux comprendre. On parviendrait aux mêmes conclusions si on la supposait complexe {imaginaire).

Comme on le voit, cette série est formée en prenant les termes de la série (11) de deux en deux {à partir du premier) et les faisant précéder alternativement du signe + et du signe — . Pareillement Ton trouve que :

(13) 5În/- j —1x2x3+1x2x3x4x5

série obtenue en prenant les termes de la série (11) de deux en deux à partir du second et les faisant précéder alternativement des signes + et — .

On peut utiliser ces séries pour étudier les propriétés du cosinus et du sinus. Et l'pn peut, d'autre part, au moyen de séries analogues^ former d'autres expressions, d'autres formules algébriques, jouissant de propriétés importantes.

55. Nous reviendrons dans un prochain chapitre sur Tétude des séries et, pour l'instant, je me contente d'ajouter deux remarques à l'aperçu qui précède.

Il est clair que les séries sont surtout avantageuses pwur représenter des quantités irrationnelles ou des combinaisons algébriques qu'on ne pourrait obtenir au mo^en d'un nombre fini d'opérations (et, en effet, si un nombre fini d'opérations suffisait, pourquoi en introduirait-on une infinité?) . Néanmoins l'usage des séries n'est point limité à ce cas. C'est ainsi que l'exemple le plus simple et le plus classique de série convergente (série déjà étudiée par Archimède) est la progression géométrique infinie ayant pour somme un nombre rationnel.

n4 LES MATHÉMATIQUES

il a été dit au n° 4 (Chap. V') , mais dont Ja raison, au lieu d'être un nombre entier, soit un nombre rationnel r

inférieur à 1 . Supposons de plus (pour simplifier) que le

premier terme soit 1 . Alors les termes successifs de la

progression seront 1, r, r\ r*, etc.. Or on démontre que

N (pour r moindre que 1 comme il vient d*être dit) la série

est une série convergente (c'est-à-dire que la somme de ses n premiers termes approche de plus en plus d'une valeur déterminée lorsque le nombre n va grandissant) et, plus précisément, quelle a pouf sommé le nombre ration^

,nel (*) -1 . Ainsi, par exemple, lorsque r= -^ , (et

(*) Ce fait peut être déduit de la règle donnée au n** 4, après que Ton a étendu cette règle (ce qui est facile) au cas où la raison n*est pas un nombre entier. Le (n-t-l)*"* terme de la progression est r°. Donc la somme des n preiftiers termes est : ^

OU -: ou

Mais, quand n augmente indéfiniment, r" cl par suite -: devient de plus en plus petit. Donc, à la limite .{comme on dit), la somme (somme de tous les termes, en nombre infini, de la progression) se réduit à -; •

-Il II II.. I I II 1 , 1 1 1 .

par suite | = p =2 |, on a (*) : ♦

I H 2 I 2*" ' "S*" "^ TF . . . . =Z

Ainsi ici nous avons une série représentant un noipbre rationnel extrêmehient simple.

Autre remarque : Nous avons dit tout à Theure que Ton pouvait regarder les nombres irrationnels tels que

17, V~7« e, etc. comme des sommes de séries convergentes. Si, inversement, l'on part d!une série, c'est-à-dire d'une suite de termes se succédant suivant une loi déterminée, il n'est nullement certain que cette série représente une quantité, c'est-à-dire que la somme de ses « n premiers termes » s'approche d'une limite lorsque n devient arbitrairement grand. Ainsi considérons la série (14) écrite ci-dessus. D'après ce qui précède, si r est plus petit que 1 , cette série est ' convergente et a pour

somme , — (et ceci est vrai aussi bien lorsque r est

une quantité irrationnelle que lorsque r est rationnel) . Par contre, si r est un nombre plus grand que /, on démontre que la série (14) ne représente aucun nombre : en effet.

{*) Le carré» le cube, etc., de -:r- est égal à 1 divisé par le carré» le cube, etc., de 2.

m LES MATHÉMATIQUES

la somme de ses termes se trouve alors dévenir infiniment' grande lorsqu'on considère de plus en plus de termes. Quand une telle circonstance se présente (et cela arrivera le plus souvent si l'on considère une série choisie au hasard) , on dit que la série est divergente et qu'elle n'a pas de somme.