etc

la progression arithmétique de premier terme 6 et de raison 1 1 sera :

6, 1 7, 28, 39. 50, etc.

La progression artihmétique ainsi définie jouit, quels que soient le premier terme et la raison, de la propriété suivante : La somme des n premiers termes d'une progression arithmétique quelconque est égale au nombre obtenu en additionnant le premier et le dernier {le n®) termes de la progresàon, multipliant ensuite le résultat par le nombre (n) des termes considérés, et divisant enfin par 2. Exemple : Faisons la somme des 5 premiers termes de la progression 1, 8, 15, etc. écrite ci-dessus. D'après notre propriété, cette somme est égale à la somme des deux termes I et 29 (c'est-à-dire 30) . multipliée par 5 (ce qui donne 150) et divisée par 2 (ce qui donne 75) . En d'autres termes, on a l'égalité, facile à vérifier :

I + 8 + 15 + 22 + 29 = ^' -t 29i>il ^ 75 On obtient d'autres propriétés non moins admirables

en considérant, au lieu de la somme des termes de la progression, là somme des carrés de ces termes, ou la somme de leurs cubes, ou la sonmie de leurs quatièmes paUsances, etc.

Je rappelle que le carré d'un nombre est le produit de ce nombre par lui-même ; le cube est le produit du carré du nombre par le nombre lui-même; la quatrième puissance est le produit du cube du nonbre par le nombre luimême; et ainsi de suite. Ainsi, par exemple, le carré de 2 est 4, son cube est 4x2 (c'est-à-dire 8), sa quatrième puissance est 8x2 (c'est-à-dire 1 6) , etc. Le carré d'un nombre tel que 2. ^. 5 est figuré en arithmétique par la notation (signe d'écriture) suivante : 2', 3* ou 5". Le cube 'est figuré par la notation 2', 3* ou 5*, La •quatrième puissance est figurée par la notation 2*, 3* ou 5\ Et ainsi de suite.

Cela posé, considérons par exemple les 5 premiers termes de la progression, 1,8, 13, etc. La somme des carrés de ces termes est 1 + 8* + 1 5* + 22* 4- 29*. La somme de leurs cubes est 1 + 8' 4- 15* + 22* + 29*, etc. Eh bien, on constate que ces sommes ont des valeurs reliées* par une parenté remarquable à la valeur de la raison et à celle du premier terme de la progression. Et cette parenté existe quelle que soit la progression envisagée et quel que soit le nombre n des termes que l'on considère dans cette progression.

C'est là un fait auquel les grands mathématiciens français du XVII® siècle, notamment Fermât, Pascal, se sont vivement intéressés. Ils étudièrent en particulier la somme des carrés ou des cubes des n premiers nombres entiers. Ainsi ils remarquèrent (ce que savaient déjà les Grecs)

que la somme des carrés des n premiers nonibres (I, 2, 3, etc. jusqu'à n) est égale au nombre n, multiplié par n + 1 , multiplié ensuite par 2 n + 1 , divisé enfin par 6. Exemple : la somme des carrés des cinq premiers nombres (1 +2\+y + 4* + 50 est égale (*) à 5, multiplié par 5 4- 1 [ce qui donne 30], multiplié par 2 X 5 + 1 (ou 1 1) [ce qui donne 330] divisé enfin par 6 [ce qui donne 55] ; et, effectivement, nous vérifions que :

PROGRESSIONS 4. En dehors des progressions arithmétî- GEOMETRIQUES. ques, bien d'autres suites de nombres

jouissent ^de propriétés dignes d'attention, , notamment les suites appelées « progressions géométriques » . Donnons-nous un premier nombre appelé « premier terme » de la progression et un autre nombre appelé raison. En multipliant le premier terme par la raison, nous obtenons un second terme de la progression; multipliant ce terme, à son tour, par la raison, nous obtenons un troisième terme, et ainsi de suite; de proche en proche nous formons une suite indéfinie de nombres dite « progression géométrique ». Ainsi, par exemple, la progression ayant pour premier terme 4 et pour raison 3, sera :

4, 12, 36, 108, 3.24, 972. etc.

chaque terme se déduisant du précédent en multipliant ce précédent terme par 3.

(*) Le carré P de 1 étant égal à 1, j'écris 1 tout court.

L*une des principales propriétés de la progression géométrique est — comme dans le cas de la progression arithmétique — celle qui a trait à la somme des n premiers termes. Quel que soit n, cette somme se trouve égale au nombre obtenu en divisant Tune par Tautre : lo la différence entre le (n+l)"* terme (*) de la progression et le premier terme; 2® la différence entre la raison et le nombre /. — EXEMPLE : la somme des 4 premiers termes de la proposition 4, 12, 36, etc., écrite cidessus est obtenue en formant, d'une part, la différence 324 — 4 entre le cinquième terme et le premier (soit 320), d'autre part la différence entre la raison 3 et le nombre 1 (soit 2), puis en divisant 320 par 2, ce qui donne 160; et en effet, on peut vérifier immédiatement que 4 + 12 + 36 + 108 est bien égal à 160.

IMBRES PRE- S. Nous pourrions citer bien d'autres I E R S. PAC- propriétés des progressions ou suites de E U R S PRE- nombres de divers types. Mais il faut UERS. nous limiter et d'ailleurs ce n'est pas de

""""""""""""^ ce côté que nous découvririons les plus beaux trésors du pays des nombres. Plus remarquables encore sont les propriétés relatives aux diviseurs des nombres et aux nombres premiers. Toutefois l'intelligence de ces propriétés-là n'est possible que moyennant un grand effort d'abstraction, et c'est pourquoi nous n'en donnerons ici que le point de départ.

On sait que lorsqu'un nombre en divise exactement un autre (c'est-à-dire lorsque la division ne donne pas de

(*) Terme qui suif le n"* terme (le n™* terme est le dernier terme inclus dans la somme de n termes envisagée).

reste) , il est cKt diviseur de cet autre nombre. Ainsi 3 est \in diviseur de 6, de 27 ou de 330. Inversement les nombres tels que 6, 27 ou 330 sont dits multiples de 3, et l'on dit aussi qu'ils sont divisibles. par 3. Un nombre est toujours divisible par I ef par lui-même ; s'il n'a pas d'autres diviseurs il est dit nombre premier.

Cette dernière définition pose immédiatement un problème qui est f)eut-être le plus difficile de toute l'arithmétique et contre lequel se débattent encore les savants modernes. Considérons la suite des n premiers nombres (1, 2, 3, etc., jusqu'à n) et de cette suite extrayons les nombres qui sont premiers : nous obtenons ainsi une nouvelle suite, la « suite des nombres premiers inférieurs à n )) (ces nombres premiers étant de plus en plus grands à mesure que l'on avance dans la suite) , et nous devons, naturellement, nous poser les questions suivantes : Quelles sont les propriétés de cette « suite des nombres premiers inférieurs an»? Combien de termes comprend-elle? Existe-t-il une loi quelconque qui permette de trouver immédiatement tel terme de la suite que l'on- voudra (par exemple le 50°* ou le 1 000™* nombre premier) , ou qui permette de déterminer d'emblée les nombres premiers compris dans un intervalle arbitraire tel que l'intervalle de 10.000 à 10.020?

A ces questions nous ne savons pas répondre d'une façon précise. Sans doute est-il facile, en prenant tous les nombres un à un, de reconnaître quels sont ceux qui ne

sont pas premiers et d'obtenir par élimination les premiers (( nombres premiers »

* 1.2.3,5. 7. 11 13. 17. 1 9. 2 1 . 23. 29. etc. ;

et ainsi, à condition d'y mettre assez de temps, nous pcmrrions déterïniner autant de tenues que nous voudrions dç la suite des nombres premiers. Mais ce ii'est là qu*un calcul, — aveugle et pesant, — d'où ne se dégage aucune loi, aucune propriété. Le praticien {>eut s*en contenter, non le mathématicien. Ce que ce dernier cherche, c'est le secret qui précisément le dispensera de faire tous ces calculs et lui permettra de prévoir d'emblée le i"ésultat. C'est ainsi que tout à l'heure nous avons formulé des lois permettant de dire d*avance à quoi est égale une somme de termes, sans prendre la peine d'additionner ou même de former tous ces termes. Or, en ce qui concerne la suite des nombres premiers, nous ne connaissons pas de loi générale remplissant le même office. Mais nous possédons, par contre, pas mal de secrets particuliers qui nous révèlent des parentés liant entre eux les nombres premiers ainsi que divers autres nombres ou groupes de nombres connexes. Citons, à titre d'exemple, ce théorème de Fermât (1 640) : <( Si p est un nombre premier et a un nombre non Jrvîsible par p, la différence a^"^ — 1 est divisible par p [le symbole a^'^ désigne, comme on sait, la (p- 1)°' puissance du nombre a, c'est-à-dire le produit obtenu en multipliant (p - I ) fois le nombre a par lui-même] . Citons encore ce théorème de Wilson et Leibniz (fin du XVII® siècle) : (( 3i p est un nornbre premier, le produit desi (p-.l) premiers nombres [produit I X 2 X 3 X ...etc., jusqu'à (p - 1 ) 1 augmenté de I donne un nombre JivîiZe par p. Si au contraire p nest pas premier, le même roduit augmenté de 1 donne un nombre non divisible or p. )) En regard de la théorie des nombres premiers, les

mathématiciens ont édifié une théorie des nombres nonpremiers qui a rencontré moins de difficultés et dont les principes sont bien connus, car l'arithmétique pratique s*en ^st emparée et en a vulgarisé les applications.

Ainsi nul écolier n'ignore aujourd'hui que tout nombre non-premier peut être regardé comme un produit de facteurs qui sont des nombres premiers. (Par exemple, 735 est le produit obtenu en jnultipliant 3 par 5, . puis par 7 et encore une fois par 7, ce qu'on écrit :

L'opération consistant à remplacer un nombre quelconque par un produit de nombres premiers est appelée . (( décomposition du nombre en facteurs premiers ». Partant de là, on définit ce qu'on appelle le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres, c'est-à-dire le plus grand nombre par lequel tous les nombres considérés se trouvent être divisibles. On définit pareillement le plus petit commun multiple de plusieurs nombres, qui est le plus petit de tous les nombres divisibles à la fois par chacun des nombres considérés. Plus grands communs diviseurs et plus petits communs multiples jouissent de propriétés diverses et donnent matière à des théorèmes variés.

EQUATIONS * 6. Je signale, pour terminer ce chapitre,

ARITHMETIQUES. un problème dont l'étude met en jeu les

propriétés les plus complexes, les plus subtiles, de la théorie mathématique des nombres : le problème des équations arithmétiques. Il s'agit de trouver des nombres satisfaisant à certaines relations d'égalité formulées à l'avance.

Soit par exemple à trouver trois nombres tels que la

somme des carrés des deux premiers soit égale au carré du troisième.

Appelant jc, i?, z, les trois nombres inconnus nous disons que le problème proposé consiste à « résoudre l'équation »

On a ime solution de la question en faisant x^= 3, ^ = 4 et z = 5, et l'on peut déterminer une infinité d'autres groupes de trois nombres satisfaisant à la même équation.

Par contre. Ton a démontré qu'il n'existe aucun groupe de trois nombres entiers tels que la somme des cubes des deux premiers soit égale au cube du troisième. En d'autres termes, l'équation

n'a pas de « solution ». Fermât a, plus généralement, affirmé que, quel que soit le nombre m supérieur à 2 ^ l'équation

m I .111 in

où x"', };'", 2'" désignent les m™** puissances des nombres inconnus x, 3;, 2, na pas de solutions. Mais Fermât ne nous a pas laissé de démonstration de ce théorème, et tous les efforts faits depuis lui pour en établir la vérité sont demeurés infructueux.

Aussi bien les mathématiciens de l'époque moderne se

sont-ils, en majorité, quelque peu. détournés de l'étude des nombres. Ils ont relégué au second plan cette branche de la science, non pas, conune on le croit souvent, parce que c*est de toutes la plus abstraite et la plus inutile, mal plutôt parce, que, s'y trouvant submergés dans une mer de difficultés, ils n'aperçoivent pas le fil conducteur qui leur permettra de reprendre leur course interrompue et de la poursuivre avec sûreté.

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