CHAPITRE II

Les propriétés des figures

7. Les philosophes grecs distinguaient quatre bran- , chès dans la science mathématique : arithmétique, géométrie, musique, astronomie. Mais la musique ne se sépare de l'arithmétique que là où elle dépend de la physique; l'astronomie telle que la concevaient les Grecs est une application de la géométrie à l'étude des phénomènes célestes. Donc, en fin de compte, l'édifice mathématique repose tout entier sur deux assises seulement : l'étude des nombres ou arithmétique, l'étude des figures ou géométrie.

De quel point de vue le mathématicien étudiera-t-il les figures? D'un point de vue semblable à celui où il s'était placé pour considérer les nombres.

Contrairement à ce que pourrait faire croire le mot qui la désigne, la « géométrie » n'a pas pour objet d'effectupr des mesures sur les longueurs, les superficies ou les volumes. C'est là proprement l'office des ingénieurs ou des arpenteurs. Et sans doute à l'origine ceux-ci se sont-ils intitulés « géomètres » ; mais Platon, qui mettait la tech-

nique au ban de la science, leur a défendu de porter* ce nom. Ne mérite, depuis Platon, d'être appelé géomètre que le savant désintéressé, qui étudie les figures pour ellesmêmes, avec le désir de découvrir leurs lois, leurs harmonies, leurs vertus secrètes.

D'ailleurs, de même que pour explorer le monde des nombres, il faut se servir du calcul, de même, pour se mouvoir dans le monde des figures il convient d'utiliser les notions et les procédés qu'ont imaginés les arpenteurs et qui servent à construire le» figures fondamentales et à comparer -ou à mesurer les grandeurs les plus usuelles. Remettons-nous rapidement en mémoire les principales données et opérations dont nous aurons ainsi à faire usage.

8. Pour composer ou décomposer une figure quelconque, pour en déterminer la structure et les caractères, on utilise surtout des lignes droites, construites avec la règle, et des circonférences de cercles tracées avec le compas. Même si la figure à étudier n'est formée ni de droites ni de cercles — s'il s'agit d'une ellipse, par exemple, -— c'est en étudiant Içs relations qu'a cette ellipse avec certaines droites et certains cercles auxiliaires qu'on en manifestera les propriétés.

Dans l'espace à trois dimensions, une autre figure fondamentale se présente ; le plan (dont nous avons des exemples en considérant une feuille de papier, la surface d'une table, la surface d'un mur) . Pour définir un plan particulier et pour obtenir tous les points de l'espace qui sont situés dans ledit plan, il suffit d'appliquer la remarque suivante : considérons deux droites qui se coupent aii point A et que nous supposerons indéfiniment prolongées

les' ma tréma TIQ UES 33

dans les deux sens (fig. 2 ; pour désigner ces droites, nous les appellerons « droite X' A X ou X' X » et « droite Y' A Y ou Y' Y »). Prenons ensuite un point quelconque B sur la première droite, un point C sur la seconde et joignons B et.C par une droite que nous prolongeons indéfiniment (droite Z'Z). Tous les points des trois droites X'X, Y'Y et Z'Z appartiendront à un même plan. Et, en répétant l'opération ci-dessus pour toutes les positions possibles du point B sur X'X et du point C sur YY, nous obtiendrons une infinité de positions diDé- ^ renies de la droite Z'Z, positions

qui toutes sont situées tout entières dans le même plan et dont Vensemble recouvre entièrement ledit plan,

9. La définition du {]Ian ainsi présentée nous suggère presque immédiatement certaines remarques bien connues, concernant la disposition relative des droites que Ton peut tracer dans un même plan. Nous observons que deux droites d'un plan se rencontreront généralement; elles se couperont en im point (et un seul) . Il nous apparaît cependant que cette règle comporte une exception. En effet, si deux droites tracées sur la même feuille de papier (le même plan) sont disposées comnie l'indique la figure 3 ci-contre» elles ne se rencontreront pas, quelque loin qu'on les prolonge : on dit en ce cas qu'elles sont parallèles.

Je n'insisterai pas ici sur l'importance de la notion de parallélisme. C'est certainement l'unje des notions géométriques que les praticiens (arpenteurs et architectes) ont

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connue et utilisée le plus anciennement. Elle est à la base des règles communément adoptées pour la construction des maisons. Lorsque plus tard les mathématiciens cherchèrent

à formuler en termes précis le contenu

A. <1« cette notion, ils en définirent ainsi

' ' la signification et la portée : par un

•^ C point A pris hors J^une droite B C on

FiG 3 ^^"' mener une et une seule parallèle

àBC(fig. 3).

10. Lorsqu'on analysé les caractères distinctifs des figures, on se trouve constanunent amené à comparer entre elles, ' ou bien à additionner ou à retrancher, plusieurs grandeurs de même espèce. Ce sont là des opérations avec lesquelles les travaux des arpenteurs ont depuis longtemps familiarisé l'humanité.

Deux figures quelconques seront dites égales, ou, plus précisément, congruentes, si, ea déplaçant l'une d'elles, on peut l'amener à coïncider exactement avec l'autre. C'est sur cette définition que reposent les démonstrations des cas d*égalité des triangles (il serait plus exact de dire : cas de congruence) qui sont enseignées aux écoliers.

Cela dit, considérons d'abord une portion de droite A B qui constitue ce qu'on

appelle une longueur. D'après Ji. I) B Ç

la définition qui précède on

pourra toujours comparer ^u J^ g»

point de vue de leur gran- j^g. 4

deur deux longueurs quelconques

A B et A' B' (fig. 4) . Appliquons en effet A' B' su

A B, en faisant coïncider les deux points A et A'. Si, une fois l'application faite, B' coïncide avec B, c'est que les longueurs sont égales. Si B' tombe à gauche de B, c'est que la longueur A' B' est plus petite que A B (c'est ce qui arrivera dans le cas de la figure 4 ci-contre) . Si au contraire B'' vient à droite de B, nous en concluons que A' B' est plus grande que A B. D'autre part, étant données deux longueurs telles» que A B et A' B', on saura toujours les additionner ou les soustraire l'une de l'autre. Portons, à partir de B, et sur le prolongement de AU (fig. 4) une longueur B C égale à A' B'' : la longueur A C sera alors la somme de A B et B C, donc la somme de A B et A' B'. Portons au contraire la longueur A' B' (supposée plus petite que A B) sur A B elle-même, et cela à partir de B vers la gauche ; cette longueur se trouve alors représentée par BD (égale à A' B', fig. 4) et AD est la différence des deux longueurs A B et A B'.

Ayant ainsi donné un sens précis aux opérations de . Y addition et de la soustraction appliquées aux longueurs, nous voyons immédiatement ce qu'il faut entendre par la multiplication ou la division d'une longueur par un nombre entier. -Je veux dire qu'étant donnée une longueur A B, nous saurons très facilement former une longueur double, triple, quadruple de A B, c'est-à-dire égale à la longueur A B tnultipliée par 2, par 3, ou par 4, etc. De même nous voyons clairement quel sens il faut attacher à l'expression « moitié, tiers ou quart de A B », c'est-àdire « longueur A B divisée par 2, par 3, par 4, etc »,